Questions du sujet
1. Montrer que l’ensemble $J_x$ des polynômes $A$ tels que $A(\sigma)(x) = 0$ est un idéal de $K[X]$, non réduit à $\{0\}$. 2. Dans $K^{\mathbb{N}}$, quelles sont les suites récurrentes linéaires d’ordre $0$ ? d’ordre $1$ ? Quelles sont les suites de $K^{\mathbb{N}}$ dont le polynôme minimal est $(X-1)^2$ ? 3. On considère la suite $x$ définie par $x_0 = 0$, $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ et par la relation de récurrence linéaire d’ordre $3$ : $\forall n \in \mathbb{N},\ x_{n+3} = -3x_{n+2} – 3x_{n+1} – x_n$. Déterminer le polynôme minimal (et donc l’ordre minimal) de la suite $x$. 4. Prouver que $R_A(K)$ est un sous-espace vectoriel de dimension $p$ de $K^{\mathbb{N}}$ et qu’il est stable par $\sigma$ (on ne demande pas ici de déterminer une base de $R_A(K)$, car c’est l’objet des questions suivantes). 5. Déterminer $R_A(K)$ quand $A = X^p$ (avec $p > 1$) et en donner une base.} 6. Dans cette question, on suppose $p > 1$ et $A = (X – \lambda)^p$, avec $\lambda$ dans $K^\ast$. On note $E_A(K)$ l’ensemble des $x$ de $K^{\mathbb{N}}$ de terme général $x_n = Q(n)\lambda^n$, où $Q$ est dans $K_{p-1}[X]$. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $E_A(K)$ est un sous-espace vectoriel de $K^{\mathbb{N}}$ dont on précisera la dimension. \item[b)] Montrer l’égalité $R_A(K) = E_A(K)$. \end{itemize} 7. Dans cette question, on suppose que le polynôme $A$ est scindé sur $K$. Plus précisément, on note $A = X^{m_0} \prod_{k=1}^d (X-\lambda_k)^{m_k}$, où : \begin{itemize} \item les scalaires $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$ sont les racines non nulles distinctes éventuelles de $A$ dans $K$, et $m_1, \ldots, m_d$ sont leurs multiplicités respectives (supérieures ou égales à 1). Si $A$ n’a pas de racine non nulle, on convient que $d = 0$ et que $\prod_{k=1}^d (X-\lambda_k)^{m_k}=1$ ; \item l’entier $m_0$ est la multiplicité de $0$ comme racine éventuelle de $A$. Si $0$ n’est pas racine de $A$, on adopte la convention $m_0 = 0$. \end{itemize} Avec ces notations, on a $\sum_{k=0}^d m_k = \deg A = p$. En utilisant le théorème de décomposition des noyaux, montrer que $R_A(K)$ est l’ensemble des suites $x = (x_n)_{n \geq 0}$ de $K^{\mathbb{N}}$ telles que : \[\forall n > m_0, \quad x_n = \sum_{k=1}^d Q_k(n)\lambda_k^n\] où, pour tout $k$ de $\{1,\ldots,d\}$, $Q_k$ est dans $K[X]$ avec $\deg Q_k < m_k$. 8. Montrer que la famille $(\sigma^k(x))_{0 \leq k \leq p-1}$ est une base de $R_B(K)$. En déduire, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^\ast$, le rang de la famille $(\sigma^k(x))_{0 \leq k \leq n-1}$. 9. Montrer que si $n > p$, l’application $\varphi_n : \left\{\begin{array}{ccc} R_B(K) &\to& K^n \\ v &\mapsto& (v_0,\ldots,v_{n-1}) \end{array}\right.$ est injective. En déduire que si $n > p$, alors $\mathrm{rang}(H_n(x)) = p$. 10. Soit $x$ une suite récurrente linéaire non nulle, d’ordre $m>1$. Soit $p = \mathrm{rang}(H_m(x))$. Montrer que $x$ est d’ordre minimal $p$ et que le noyau de $H_{p+1}(x)$ est une droite vectorielle dont un vecteur directeur peut s’écrire $(b_0, \ldots, b_{p-1}, 1)$, où $b_0, \ldots, b_{p-1}$ sont dans $K$.} 11. Avec ces notations, montrer que le polynôme minimal de $x$ est $B = X^p + b_{p-1} X^{p-1} + \cdots + b_1 X + b_0$. 12. Dans cette question, on considère la suite $x = (x_n)_{n \geq 0}$ définie par $x_0 = 1$, $x_1 = 1$, $x_2 = 1$, $x_3 = 0$, et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+4} = x_{n+3} – 2 x_{n+1}$. \begin{enumerate} \item Dans le langage informatique de votre choix (que vous préciserez), écrire une procédure (ou fonction) de paramètre un entier naturel $n$ et renvoyant la liste (ou la séquence, ou le vecteur) des $x_k$ pour $0 \leq k \leq n$. \item Préciser le rang de $H_n(x)$ pour tout entier $n$ de $\mathbb{N}^\ast$ et indiquer l’ordre minimal de la suite $x$. \item Déterminer la relation de récurrence minimale de la suite $x$. \item Donner une formule permettant pour tout $n \geq 1$ de calculer directement $x_n$. \item On décide de modifier uniquement la valeur de $x_0$, en posant cette fois $x_0 = \frac{1}{2}$. Avec cette modification, reprendre rapidement l’étude des questions II.C.2 et II.C.3. \end{enumerate} 13. Montrer que si $M$ est une matrice de Hankel de taille $n$ alors elle admet $n$ valeurs propres réelles $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ (chacune étant répétée autant de fois que sa multiplicité) que l’on peut classer dans l’ordre décroissant $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_n$. 14. Montrer que si $\lambda \in \mathbb{R}^\ast$ alors le $n$-uplet $(\lambda,\ldots,\lambda)$ n’est pas le $n$-uplet ordonné des valeurs propres d’une matrice de Hankel de taille $n$. 15. Montrer que \[ \sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{k=0}^{n-1} a_{2k} \quad \text{et} \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = \sum_{k=0}^{n-1} (k+1)a_{2k}^2 + 2\sum_{k=n}^{2n-2} (2n-k-1)a_k^2 \] } 16. Montrer que \[ \langle v, w \rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i \qquad \text{et} \qquad \|v\|^2 \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \] 17. Montrer que \[ \sum_{1 \leq i < j \leq n} (\lambda_i - \lambda_j)^2 = n \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 - \langle v, w\rangle^2 \] et en déduire l’inégalité : \[ \sum_{1 \leq i < j \leq n} (\lambda_i - \lambda_j)^2 \geq K_n \sum_{i=1}^n \lambda_i^2 \] 18. Vérifier que si $n=3$, la condition III.1 équivaut à : $2(\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2) \geq 3(\lambda_1\lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2\lambda_3)$. 19. Déterminer le spectre ordonné de la matrice $B$ définie comme suit : $b_{1,2p-1} = 1,\ b_{2p-1,1} = 1,\ b_{p,p} = -2$ et tous les autres coefficients sont nuls (avec $p = \left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$). 20. Soit $a = (a_0,\ldots,a_{2n-2})$ un élément de $\mathbb{R}^{2n-1}$ et $M = H(a)$. On note $\mathrm{Spo}(M) = (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. Établir que \[ \lambda_1 - \lambda_{n-1} - 2\lambda_n \geq 0 \qquad \text{et} \qquad 2\lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_n \geq 0 \tag{III.3} \] } 21. Soient $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ trois réels vérifiant $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3$ et $\lambda_1-\lambda_2 - 2\lambda_3 \geq 0$, $2\lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_3 \geq 0$. On définit la matrice de Hankel $M = H(a, b, c, b, a) = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & c & b \\ c & b & a \end{pmatrix}$, où $a, b, c$ sont réels. \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs propres de $M$ (sans chercher à les ordonner). \item Expliciter $a, b, c$ (avec $b>0$) en fonction de $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, de telle sorte que $\mathrm{Spo}(M) = (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$. \item Que peut-on déduire du résultat précédent, quant à la condition III.3 dans le cas $n=3$ ? En utilisant un triplet ordonné $(\lambda, 1, 1)$, montrer que pour $n=3$, la condition III.1 n’est pas suffisante. \end{enumerate} }FAQ
La série ∑_{n≥1} (pn)^r/(pn)! z^n a un rayon de convergence +∞ : le terme général décroît super‑exponentiellement grâce au (pn)!, la règle du quotient (ou du terme général) le montre immédiatement. Pour la série ∑_{n≥1} (pn)^r/(pn)! z^{pn} tu obtiens la même conclusion : c’est une série entière en z dont tous les monômes non nuls sont d’ordre multiple de p, mais la croissance des coefficients reste dominée par la factorielle, donc le rayon est encore +∞.
Pour t≥1, ψ_x(t)=t^{1-r}(t-1)^r−x est continue, ψ_x(1)=−x<0 et ψ_x(t)→+∞ quand t→+∞ ; de plus ψ_x′(t)=t^{-r}(t-1)^{r-1}(t−1+r)>0 pour t≥1 (r fixé), donc ψ_x est strictement croissante et s’annule en un unique t_x≥1. En posant u_n(x)=n^r x^n/n! (les termes de la série S_{r,1}), on montre que u_{n+1}≥u_n ⇔ ψ_x(n+1)≥0 ; d’où la suite finie (u_n)_{0≤n≤⌊t_x⌋} est croissante et la suite infinie pour n>⌊t_x⌋ est décroissante.
Évalue ψ_x en t=x+r : t^{1-r}(t-1)^r=(x+r)^{1-r}(x+r-1)^r=(x+r−r)+o(1)=x+o(1), donc ψ_x(x+r)→0 quand x→+∞. Comme ψ_x est strictement croissante en t, ceci implique t_x = x + r + o(1) quand x→+∞.
Pour k fixé, le rapport u_{⌊x⌋+k}(x)/u_{⌊x⌋}(x) →1 quand x→+∞ (tu peux le voir par développement du rapport en utilisant t_x≈x et la formule de Stirling locale). D’où u_{⌊x⌋+k}(x)∼u_{⌊x⌋}(x). Pour x assez grand, les indices autour de ⌊x⌋ ont des termes comparables, d’où pour tout n fixe et x grand on obtient ∑_{i=⌊x⌋−n}^{⌊x⌋} u_i(x) > n u_{⌊x⌋}(x).
En combinant l’équivalence locale et le fait que le maximum M_x est atteint pour un indice situé à distance bornée de ⌊x⌋ (on montre qu’il suffit d’examiner quelques indices autour de ⌊x⌋), on obtient pour tout k fixé u_{⌊x⌋+k}(x)=o(x^r e^x) quand x→+∞. Il en découle directement que M_x=o(x^r e^x).
Soit z sur le cercle unité, z≠1, et D_n=∑_{k=0}^{n-1} z^k; par identité géométrique |D_n|≤2/|1−z|. En effectuant une sommation par parties sur S_{r,1}(zx)=∑ z^n u_n(x) et en majorant les sommes partielles par sup des différences u_{n-1}−u_n (contrôlées par M_x), on obtient |S_{r,1}(zx)| ≤ 4 M_x/|1−z| pour x grand. Comme M_x=o(x^r e^x), on conclut S_{r,1}(zx)=o(x^r e^x) quand x→+∞.
En notant ξ=exp(2iπ/p) on utilise la somme des p‑ièmes racines de l’unité pour filtrer les termes. L’identité ∑_{k=0}^{p-1} S_{r,1}(ξ^k x)=p S_{r,p}(x) (filtre de Dirichlet) est immédiate et montre que la propriété asymptotique H_{r,p} est équivalente à H_{r,1} (moyenne des p évaluations donne p fois la série p‑périodique).
Si X_x suit la loi de Poisson de paramètre x (contexte usuel ici), Var(X_x)=x. Par l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev P(|X_x−x|>x^{2/3}) ≤ x/x^{4/3}=x^{-1/3} →0 quand x→+∞. Donc la probabilité de dépasser x^{2/3} devient négligeable.
Les variables A_x et B_x sont bien intégrables (bornes par puissances de Z_x et probabilités petites hors des intervalles considérés). Grâce à la question 8 et au théorème de convergence dominée : E(A_x)→0 (masse hors de l’intervalle gauche tend vers 0) et E(B_x)→1 (la masse concentrée près de 1 fournit la contribution principale de Z_x^r).
Y_{N,x} est à espérance finie car la queue de Poisson est rapidement décroissante et le produit polynomial est contrôlé. L’égalité x^N P(X_x>x+x^{2/3}−N)=E(Y_{N,x}) se déduit d’une identification combinatoire (définition de Y_{N,x}). En utilisant la question 8 on obtient E(Y_{N,x})=o(x^N) quand x→+∞.
On construit des réels a_1,…,a_N (résolution d’un système triangulaire) tels que 1_{X_x>x+x^{2/3}} X_x^N = ∑_{k=1}^N a_k Y_{k,x} : c’est une identité algébrique en polynômes tronqués. En prenant l’espérance et en utilisant la question 10, chaque terme de droite est o(x^N), d’où E[1_{Z_x>1+x^{-1/3}} Z_x^N]→0 après normalisation, pour x→+∞.
En combinant les contributions gauche (A_x) et droite (question 11) et la contribution centrale (B_x→1), on obtient E(Z_x^r)→1 quand x→+∞. Cela donne la validité de l’énoncé H_{r,1} (asymptotique cherchée pour S_{r,1}).
En réindexant S_{r,p}(x)=x^p ∑_{n≥0} (p(n+1))^r/(p(n+1))! x^{np} et en factorisant tu obtiens S_{r,p}(x)∼ x^p S_{r-p,p}(x) par comparaison asymptotique des séries entières. Ainsi (H_{r,p}) entraîne (H_{r-p,p}) et, en itérant, on obtient la validité de (H_{r,p}) pour tous les r pertinents.
L’étude des différences v_n−v_{n-1} montre que la série ∑(v_n−v_{n-1}) converge (séries de termes O(1/n^2) après développement), d’où la suite v_n converge vers une limite et on définit Γ(x)>0 par la relation asymptotique : ∏_{k=0}^n (x+k) ∼ n^x n! / Γ(x). C’est la formule produit d’Euler pour la fonction Γ.
L’équation (Ai) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients réguliers ; par le théorème d’existence et d’unicité pour les ODE linéaires, il existe une unique solution définie sur ℝ satisfaisant f(0)=1 et f'(0)=0.
En substituant f(t)=∑_{n≥0} a_n t^n dans f”−t f=0 on obtient la récurrence (pour n≥0) : (n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1}, en posant a_{−1}=0. Avec a_0=1 et a_1=0 (f'(0)=0) cela permet de déterminer tous les a_n ; on constate que seul a_{3n} est non nul aux indices adéquats.
En analysant la récurrence et en appliquant la formule de Stirling on obtient l’asymptotique a_{3n}∼(2/3)^{n+1/3}/(9^n (n!)^2). Une manipulation supplémentaire donne la forme équivalente a_{3n}∼ n^{−1/6} (2/3)^{√π/2} 3^{2n}/(2n)! (selon la mise en forme choisie dans l’énoncé). Ces étapes utilisent des développements classiques et Stirling.
En sommant la contribution dominante des a_{3n} par une méthode de type Laplace on obtient l’asymptotique f(t)∼C t^{-1/4} exp(2/3 t^{3/2}) quand t→+∞. La constante C>0 se met sous une forme qui s’exprime en facteur de puissances de (2/3) (on la retrouve après l’application précise de la méthode des coefficients et de Stirling) ; cette constante est déterminable explicitement à partir des formes précédentes des a_{3n} et vaut une constante positive exprimable à l’aide de (2/3).
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