Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. 2. I.A.2) Montrer que A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. 3. I.B.1) Soit A \in S_n(\mathbb{R}). On suppose que A est définie positive.\\ Pour tout i \in [[1; n]], montrer que la matrice A^{(i)} est définie positive et en déduire que \det(A^{(i)}) > 0. 4. I.B.2) Dans les cas particuliers n = 1 et n = 2, montrer directement que toute matrice A \in S_n(\mathbb{R}) vérifiant la propriété P_n est définie positive. 5. I.B.3) Soit n \in \mathbb{N}^*. On suppose que toute matrice de S_n(\mathbb{R}) vérifiant la propriété P_n est définie positive.\\ On considère une matrice A de S_{n+1}(\mathbb{R}) vérifiant la propriété P_{n+1} et on suppose par l’absurde que A n’est pas définie positive.\\ a) Montrer alors que A admet deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à des valeurs propres (non nécessairement distinctes) strictement négatives.} 6. I.B.3) b) En déduire qu’il existe X \in M_{n+1,1}(\mathbb{R}) dont la dernière composante est nulle et tel que {}^t\!XAX < 0. 7. I.B.3) c) Conclure. 8. I.C) Soit A une matrice de S_n(\mathbb{R}). A-t-on l’équivalence suivante :\\ A est positive \Leftrightarrow \forall i \in [[1; n]], \det(A^{(i)}) > 0 ? 9. I.D) Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en entrée une matrice M \in S_n(\mathbb{R}) et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie « true » si la matrice M est définie positive, et « false » dans le cas contraire. 10. II.A – Montrer que l’application (P, Q) \mapsto \langle P, Q \rangle est un produit scalaire sur \mathbb{R}[X].} 11. II.B – On note P_n^{(n)} le polynôme dérivé n fois de P_n.\\ Déterminer le degré de P_n^{(n)} et calculer P_n^{(n)}(1). 12. II.C – Soit n \in \mathbb{N}^*. Montrer que, pour tout Q \in \mathbb{R}_{n-1}[X], \langle Q, L_n \rangle = 0.\\ \textit{Indication : on pourra intégrer par parties.} 13. II.D.1) Pour tout n \in \mathbb{N}, on pose I_n = \int_0^1 P_n(u) du.\\ Calculer, pour tout n \in \mathbb{N}, la valeur de I_n. 14. II.D.2) En déduire pour tout n \in \mathbb{N} la relation : \langle L_n, L_n \rangle = \frac{1}{2n + 1}. 15. II.E – Déterminer une famille de polynômes (K_n)_{n \in \mathbb{N}} vérifiant les deux conditions suivantes :\\ i. pour tout n \in \mathbb{N}, le degré de K_n vaut n et son coefficient dominant est strictement positif ;\\ ii. pour tout N \in \mathbb{N}, (K_n)_{0 \leq n \leq N} est une base orthonormale de \mathbb{R}_N[X] pour le produit scalaire \langle \cdot, \cdot \rangle.\\ Justifier l’unicité d’une telle famille.} 16. II.F – Calculer K_0, K_1 et K_2. 17. III.A.1) Calculer H_2 et H_3. Montrer que ce sont des matrices inversibles et déterminer leur inverse. 18. III.A.2) Montrer la relation :\\ \Delta_{n+1} = \frac{(n!)^4}{(2n)! (2n+1)!} \Delta_n\\ \textit{Indication : on pourra commencer par soustraire la dernière colonne de \Delta_{n+1} à toutes les autres.} 19. III.A.3) En déduire l’expression de \Delta_n en fonction de n (on fera intervenir les quantités $c_m = \prod_{i=1}^{m-1} i!$ pour des entiers m adéquats). 20. III.A.4) Prouver que H_n est inversible, puis que \det(H_n^{-1}) est un entier.} 21. III.A.5) Démontrer que H_n admet n valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) strictement positives. 22. III.B.1) Soit n \in \mathbb{N}. Montrer qu’il existe un unique polynôme \Pi_n \in \mathbb{R}_n[X] tel que\\ \|\Pi_n – f\| = \min_{Q \in \mathbb{R}_n[X]} \|Q – f\|. 23. III.B.2) Montrer que la suite (\|\Pi_n – f\|)_{n \in \mathbb{N}} est décroissante et converge vers 0. 24. III.B.3) Montrer que H_n est la matrice du produit scalaire \langle \cdot, \cdot \rangle, restreint à \mathbb{R}_{n-1}[X], dans la base canonique de \mathbb{R}_{n-1}[X]. 25. III.B.4) Calculer les coefficients de \Pi_n à l’aide de la matrice H_{n+1}^{-1} et des réels \langle f, X^i \rangle.} 26. III.B.5) Déterminer explicitement \Pi_2 lorsque f est la fonction définie pour tout t \in [0, 1] par $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$. 27. IV.A.1) Calculer s_1, s_2 et s_3. Conjecturer de manière générale la valeur de s_n en fonction de n. 28. IV.A.2) Soit n \in \mathbb{N}^*.\\ a) Montrer qu’il existe un unique n-uplet de nombres réels $(a_p^{(n)})_{0 \leq p \leq n-1}$ vérifiant le système de n équations linéaires à n inconnues suivant :\\ $\left\{ \begin{aligned} a_0^{(n)}+\frac{a_1^{(n)}}{2}+\cdots+\frac{a_{n-1}^{(n)}}{n}&=1\\ \frac{a_0^{(n)}}{2}+\frac{a_1^{(n)}}{3}+\cdots+\frac{a_{n-1}^{(n)}}{n+1}&=1\\ \quad\vdots\\ \frac{a_0^{(n)}}{n}+\frac{a_1^{(n)}}{n+1}+\cdots+\frac{a_{n-1}^{(n)}}{2n-1}&=1\\ \end{aligned} \right.$\\ b) Montrer que $s_n = \sum_{p=0}^{n-1} a_p^{(n)}$. 29. IV.A.3) On définit, pour tout n \in \mathbb{N}^*, le polynôme $S_n$ par : $S_n = a_0^{(n)} + a_1^{(n)} X + \ldots + a_{n-1}^{(n)} X^{n-1}$.\\ Montrer que, pour tout $Q = \alpha_0 + \alpha_1 X + \ldots + \alpha_{n-1} X^{n-1} \in \mathbb{R}_{n-1}[X], \; \langle S_n, Q \rangle = \sum_{p=0}^{n-1} \alpha_p$. 30. IV.A.4) Exprimer s_n à l’aide de la suite de polynômes (K_p)_{p\in\mathbb{N}} définie à la question II.E. 31. IV.A.5) Pour tout p \in [[0; n-1]], calculer $K_p(1)$.} 32. IV.A.6) Déterminer la valeur de s_n. 33. IV.B.1) Soit p \in \mathbb{N}^*. Montrer que $\binom{2p}{p}$ est un entier pair.\\ En déduire que, si n \in \mathbb{N}^* et p \in [[1; n]], alors $\binom{n+p}{p}\binom{n}{p}$ est un entier pair. 34. IV.B.2) Pour tout n \in \mathbb{N}, montrer qu’on peut écrire :\\ $K_n = \sqrt{2n+1}\Lambda_n$\\ où $\Lambda_n$ est un polynôme à coefficients entiers que l’on explicitera.\\ Parmi les coefficients de $\Lambda_n$, lesquels sont pairs ? 35. IV.B.3) Soit n \in \mathbb{N}^*.\\ a) Calculer $h_{i,i}^{(-1,n)}$ pour tout $i \in [[1; n]]$ ; on donnera en particulier une expression très simple de $h_{1,1}^{(-1,n)}$ et $h_{n,n}^{(-1,n)}$ en fonction de n.\\ b) Calculer $h_{i,j}^{(-1,n)}$ pour tout couple $(i, j) \in [[1; n]]^2$ ; en déduire que les coefficients de $H_n^{-1}$ sont des entiers.\\ c) Montrer que $h_{i,j}^{(-1,n)}$ est divisible par 4 pour tout couple $(i, j) \in [[2; n]]^2$.}FAQ
Une matrice symétrique définie positive est une matrice carrée réelle dont toutes les valeurs propres sont strictement positives, et qui vérifie que, pour tout vecteur non nul X, le produit scalaire XᵗAX est strictement positif. Cette notion est incontournable car elle intervient dans la théorie des formes quadratiques, l’optimisation, la diagonalisation et l’étude des valeurs propres. Beaucoup d’outils d’algèbre linéaire et d’analyse, exigés au concours Centrale, s’articulent autour de ce type de matrices. Savoir utiliser ces propriétés te permettra de briller sur ce type de questions et de gagner en efficacité lors de l’épreuve.
Les valeurs propres caractérisent le comportement d’une matrice, et la positivité (ou la définie positivité) permet d’assurer une stabilité et une certaine « bonne structure » dans les problèmes d’algèbre linéaire et d’analyse. En CPGE, surtout en MP, les exercices font souvent appel à des raisonnements où il s’agit de démontrer ou d’utiliser l’existence de valeurs propres réelles, leur signe, ou leurs propriétés de multiplicité dans des contextes comme la diagonalisation, le calcul de déterminants, et l’étude des formes quadratiques. Maîtriser ces notions, c’est se donner les moyens de résoudre efficacement de nombreuses questions types concours comme celles posées à Centrale.
Les bases orthonormées de polynômes, comme les familles de polynômes de Legendre ou Hermite, sont construites à partir d’un produit scalaire particulier sur l’espace des polynômes. Elles facilitent la projection, l’approximation et la résolution de nombreux problèmes, notamment l’optimisation quadratique et l’analyse fonctionnelle. Leur étude permet d’approfondir la compréhension des espaces vectoriels de dimension finie et le passage à l’orthonormalisation (procédé de Gram-Schmidt). Cette notion apparaît très fréquemment dans les sujets de concours, car elle met en jeu des méthodes puissantes et transversales qui servent dans beaucoup d’autres chapitres ! Pour des corrigés détaillés sur ces familles et la résolution complète du sujet, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Pour réussir ce type de question, il faut parfaitement comprendre la logique mathématique qui sous-tend la propriété à tester (par exemple, la caractérisation d’une matrice définie positive en termes de mineurs principaux strictement positifs). Il faut aussi traduire cette idée en instructions claires, structurées et conformes à la syntaxe du langage imposé. Le sujet de Centrale 2011 propose par exemple d’automatiser le test de positivité définie : maîtrise les bases de l’environnement (Maple, Mathematica), teste sur de petits exemples, et pense à annoter ton code pour gagner en clarté !
Le produit scalaire sur un espace de polynômes permet de définir des notions de longueur, d’orthogonalité, et facilite énormément le calcul d’approximation de fonctions, de projections et de développements de Fourier généralisés. Cette structure introduit des outils puissants et transversaux, utilisés dans beaucoup de domaines comme l’analyse, les équations différentielles et l’algèbre linéaire. Sa maîtrise aide à résoudre de nombreux exercices, notamment en optimisation ou en orthonormalisation, très fréquents au concours Centrale.
Les déterminants de matrices particulières, comme la matrice de Hilbert, se traitent efficacement en reconnaissant d’abord leur structure (liaison avec les suites de polynômes orthogonaux, symétries, récurrences). Les sujets de concours te demandent souvent d’établir ou d’utiliser une relation de récurrence ou de simplifier par des opérations sur les lignes et colonnes pour révéler des formules élégantes. Entraîne-toi à manipuler ces matrices et à exploiter la combinatoire ou les propriétés algébriques pour gagner du temps. Si tu veux voir des méthodes complètes étape par étape, tu peux débloquer les corrigés : chaque technique y est détaillée dans le contexte du concours !
Approcher une fonction par projection orthogonale sur l’espace des polynômes (par exemple, obtenir le polynôme de degré n qui minimise l’erreur au sens du produit scalaire choisi) est une technique puissante. Elle apparaît dans différents contextes (polynômes de Legendre, approximation quadratique, moindres carrés) et synthétise plusieurs compétences : calcul intégral, orthogonalisation, étude de convergence. Cette démarche te permet de maîtriser des raisonnements matures attendus en école d’ingénieur et facilite le traitement de nombreuses questions classiques en MP, notamment à Centrale.
Les questions portant sur la parité et la divisibilité, via des coefficients binomiaux ou des propriétés arithmétiques, permettent de tester ta capacité à relier l’algèbre linéaire, la combinatoire et la théorie des nombres. Cela peut servir à démontrer que certains coefficients matriciels sont entiers, ou divisibles par un nombre donné, ce qui garantit la cohérence de certaines solutions et permet d’anticiper des simplifications ultérieures dans des calculs. Cette transversalité mathématique est un atout recherché par les correcteurs des concours.
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