Questions du sujet
1. I.A.1) Donner une expression développée de $L_m(x)$ pour $m=1$ et pour $m=2$. 2. I.A.2) Calculer $L_m(1)$ pour tout $m \in \mathbb{N}^*$. Préciser $L’_m(0)$. 3. I.B.1) Étudier suivant $m$ l’existence ainsi que l’ordre de multiplicité des éventuelles racines de $L_m$ et de $L’_m$ dans l’intervalle $]0,1[$. 4. I.B.2) En considérant le signe de $L”_m(x)$, étudier la monotonie de l’application $x \mapsto L_m(x)$ sur l’intervalle $]0,1[$. 5. I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative de $L_m$ sur $[0,1]$. On précisera les points à tangente horizontale, on montrera l’existence d’un centre de symétrie et on précisera la convexité.} 6. I.C.1) Résoudre le système : \[ \begin{cases} L’_m(x) = L’_m(y)\\ (x, y) \in [0,1]^2 \end{cases} \] 7. I.C.2) Résoudre le système : \[ \begin{cases} x+y+z = 1\\ L’_m(x) = L’_m(y) = L’_m(z)\\ (x, y, z) \in [0,1]^3 \end{cases} \] 8. I.C.3) Résoudre le système : \[ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4 = 1\\ L’_m(x_1)=L’_m(x_2)=L’_m(x_3)=L’_m(x_4)\\ (x_1,x_2,x_3,x_4)\in[0,1]^4 \end{cases} \] 9. II.A – On rappelle et on admet que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, la famille $(X-a)^p_{0\leq p\leq n}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. Vérifier que l’application $[P]\mapsto T_{a,n}(P)$ définit un projecteur de $\mathbb{R}[X]$. Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal de $\mathbb{R}[X]$ et en donner un générateur. 10. II.B – Pour $P$ de $\mathbb{R}_n[X]$, déterminer les polynômes de Taylor d’ordre $m$ en $0$ et en $1$ du polynôme $U(X) = R(X)L_m(1-X) + S(X)L_m(X)$.} 11. II.C.1) Montrer que l’application $\Phi$ définie par $\Phi(P)(X) = P_0(X) L_m(1-X) + P_1(X) L_m(X)$ est un projecteur de $\mathbb{R}_n[X]$. 12. II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application et donner pour chacun une base. 13. III.A.1) À l’aide de la première partie, déterminer un polynôme $Q_1$ tel que : \[ \deg Q_1 \leq 3,\quad Q_1(-1) = 0,\quad Q_1(1) = 1,\quad Q_1′(-1) = 0,\quad Q_1′(1) = 0 \] Existe-t-il d’autres polynômes remplissant ces cinq conditions ? 14. III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un polynôme $Q_2$ tel que : \[ \deg Q_2 \leq 5,\quad Q_2(-1) = 0,\quad Q_2(1) = 1,\quad Q_2′(-1)=Q_2′(1)=0,\quad Q_2”(-1)=Q_2”(1)=0 \] 15. III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcs $\gamma_1$ et $\gamma_2$.} 16. III.C.2) Donner l’expression développée de la fonction $\gamma_3$ (on ne demande pas sa représentation graphique). 17. III.C.3) Montrer que pour $a>3$, le raccord coupe l’axe des ordonnées en deux points distincts que l’on précisera. 18. IV.A.1) Soit $M\in E_3$. Justifier l’existence d’un $(u_i,v_i,w_i,h_i)_{i\in I}$ de $\mathbb{R}^4$ avec $u_i+v_i+w_i+h_i=1$ tel que si l’on pose pour $j\in I$, $g_j = u_ix_j + v_iy_j + w_iz_j + h_i$, on ait $M = \sum_{i=1}^4 g_i A_i$, $g_i(A_j) = \delta_{i,j}$. 19. IV.A.2) Pour $i\in I$, on considère la forme linéaire $\varphi_i$ de $\mathbb{R}^3$ définie par : $ \varphi_i(x,y,z) = u_ix + v_iy + w_iz + h_i $. Quel est le rang de la famille $(\varphi_i)_{1\leq i\leq 4}$? 20. IV.B.1) Préciser $G(A_i)$ pour $i\in I$ et en déduire $G(G_i)$.} 21. IV.B.2) Vérifier que tout point de $\Delta$ est le barycentre du système pondéré $(A_i,g_i)$, $i\in I$. 22. IV.B.3) Déterminer $\alpha$ de sorte que pour tout point $M$ de toute arête $[A_i,A_j]$ avec $i\neq j$, $G(M) = \alpha$. 23. IV.C.1) Montrer que $\Delta$ est un compact de $E_3$. 24. IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre, $G$ admet un maximum et un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où ils sont atteints. 25. IV.C.3) Calculer $G(O)$ et déterminer la différentielle de $G$ en $O$.} 26. IV.C.4) Déterminer les points de $\Delta$ en lesquels la différentielle de $G$ est nulle. 27. IV.C.5) Montrer que la fonction $G$ admet sur $\Delta$ un maximum et un minimum et déterminer ces extremums et de $G$ sur $\Delta$ ainsi que les points où ils sont atteints. 28. IV.D.1) Déterminer les points non réguliers de $\Sigma$. 29. IV.D.2) Montrer que pour tout $M$ de $\Delta$, il existe un et un seul point du segment $[O,M]$ qui appartienne à $\Sigma$. 30. IV.D.3) Qu’en déduit-on pour l’intersection de $\Sigma$ avec $B(O,3)$? On précisera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi qu’avec la sphère $S(O,3)$.} 31. IV.D.4) Préciser les sections de $\Sigma$ et de $B(O,3)$ par le plan médiateur de $[A_3,A_4]$, d’équation $x + y = 0$. Les représenter sur une même figure. 32. IV.D.5) Décrire l’animation que donne la vue des surfaces de niveau $S_\alpha = \{M \in \Delta \mid G(M)=\alpha\}$ lorsque $\alpha$ varie de $G_{\min}$ à $G_{\max}$. On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre.}FAQ
Le sujet fait intervenir plusieurs notions fondamentales sur les polynômes, notamment le développement des polynômes, l’étude de leurs racines, la multiplicité, ainsi que les propriétés de monotonie, de convexité et de symétries. Tu es aussi amené à travailler sur des bases polynomiales et sur le lien avec les développements de Taylor. Important pour le concours, savoir manipuler ces outils te permettra de t’attaquer efficacement à bien d’autres problèmes de maths au programme.
Dans cet exercice – et plus globalement, dans tout le programme MP – tu retrouves très fréquemment des systèmes à plusieurs inconnues, souvent polynomiaux et symétriques. Savoir résoudre ces systèmes, c’est maîtriser des techniques de factorisation, de changement de variables et d’étude fine des dérivées. Cet entraînement te prépare à des sujets variés du concours Centrale et à progresser en compréhension des structures algébriques. Pour voir comment aborder concrètement ces systèmes, pense à débloquer le corrigé sur Prépa Booster : tu y trouveras des méthodes détaillées et personnalisées.
Dans la partie IV du sujet, on revisite la géométrie du tétraèdre, la notion de barycentre, et l’interprétation affine. Tu manipuleras des systèmes de coordonnées barycentriques et tu devras analyser la position de points, les propriétés de compacité du tétraèdre, et résoudre des problèmes d’optimisation sur ses faces et arêtes. Ce type d’outil est indispensable pour réussir les dernières parties de nombreux sujets, qui mobilisent géométrie et analyse de fonctions sur des domaines concrets.
Le sujet te plonge dans le monde des applications linéaires, des projecteurs et des espaces vectoriels de polynômes. Savoir reconnaître un projecteur, déterminer ses sous-espaces propres et leurs dimensions, comprendre la structure d’un noyau ou d’une image, ce sont des compétences centrales que tu réutiliseras dans d’innombrables exercices et oraux de maths sup ou spé.
Maîtriser la multiplicité d’une racine, c’est savoir détecter la finesse du comportement du polynôme près de ses zéros : maximum, minimum, point d’inflexion ? Cela joue un rôle crucial pour bien tracer la courbe, comprendre l’allure globale de la fonction, et résoudre des problèmes d’optimisation ou d’interprétation géométrique dans les sujets d’annales Centrale.
L’étude des maximums et minimums d’une fonction sur un ensemble compact, comme un tétraèdre, fait intervenir toutes tes connaissances sur la continuité, l’extrémum global, et la géométrie dans l’espace. C’est typiquement ce que tu dois maîtriser pour être à l’aise sur la dernière partie d’un sujet d’écrit, et ça prépare également très bien aux attentes des examinateurs en oral.
Le sujet combine algèbre, analyse, géométrie, systèmes linéaires et même une pointe de topologie par l’étude de compacts et de surfaces. S’entraîner sur ce type d’annale, c’est progresser en rigueur, en technique et en rapidité. Pour t’aider à réussir tous ces types de questions et améliorer ta méthode, pense à débloquer le corrigé détaillé sur Prépa Booster : tu auras des explications pas à pas, des conseils de rédaction et des astuces pour gagner du temps le jour J.