Questions du sujet
1. I.A.1)\quad On suppose que $a$ est strictement positif.\\ On considère une suite réelle $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et on définit une fonction $y$ comme la somme de la série entière $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ pour $x\in\,]-R,R[$ (avec $R > 0$).\\
a) Déterminer pour tout $x \in\,]-R,R[$ l’expression de $(x-a)y”(x) + 2y'(x)$ comme somme d’une série entière.\\
b) Dans cette question, on suppose que $y$ est solution de $(E_a)$. Déterminer une relation de récurrence, vérifiée par la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ pour $n > 1$. Pour $n > 1$, déterminer $a_n$ en fonction de $n$ et de $a_1$ puis exprimer $y$ à l’aide des fonctions usuelles.
2. c) En déduire les fonctions développables en série entière qui sont solutions de $(E_a)$ sur $]-a,a[$. Montrer qu’elles forment un espace vectoriel de dimension 2 et en donner une base. En déduire l’ensemble des solutions de $(E_a)$ sur $]-a,a[$.
3. I.A.2)\quad On suppose que $a$ est un nombre réel quelconque.\\ Résoudre $(E_a)$ sur $\,]-\infty,a[$, puis sur $\,]a,+\infty[$ et enfin sur $\mathbb{R}$.
4. I.B.1)\quad À quelle condition $g$ est-elle constante ?
5. I.B.2)\quad a) Déterminer des nombres réels $u, v, w$ tels que : pour tout $x$ réel différent de $-\delta\gamma$, $g(x) = u + \dfrac{v}{x} + w$.\\
b) En déduire le sens de variation de $g$ sur chacun de ses intervalles de définition.}
6. I.B.3)\quad On suppose dans cette question que $v$ est strictement positif. On se place dans le plan $\mathbb{R}^2$ muni d’un repère orthonormé. On considère la courbe $(C)$ d’équation $xy = 1$, la courbe $(D)$ d’équation $xy = v$ et la courbe $(\Gamma)$ d’équation $g(x) = y$ dans ce repère.\\
a) Trouver une homothétie $h$ telle que $h(C) = D$.\\
b) Trouver une translation $t$ telle que $t\circ h(C) = \Gamma$.\\
c) À quelle condition sur $v$ l’application $t\circ h$ est-elle une homothétie différente de l’identité ? Déterminer alors son centre et son rapport.
7. I.B.4)\quad Déterminer un réel $a$ pour lequel la fonction $g$ est solution de $(E_a)$ sur des intervalles que l’on précisera.
8. II.A.1)\quad Déterminer l’ensemble de définition de $f$. Montrer que $f$ est périodique de période 1.
9. II.A.2)\quad On considère un certain entier relatif $k$. Déterminer des réels $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ tels que la restriction de $f$ à $\,]k, k+1[\,$ coïncide avec celle de la fonction $g$ (telle qu’elle est définie au I.B) à ce même intervalle.
10. II.A.3)\quad Étudier $f$ ; on précisera en particulier ses variations, son ensemble image et on tracera son graphe dans un repère orthonormé.}
11. II.A.4)\quad Démontrer que pour tout nombre $x$ irrationnel (resp. rationnel non entier), $f(x)$ est irrationnel (resp. rationnel).
12. II.B.1)\quad On suppose dans cette question que $x_0 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $x_n$ est bien défini.
13. II.B.2)\quad On suppose dans cette question que $x_0\in\mathbb{Q}$ et que pour tout entier naturel $n$, $x_n$ est bien défini. On considère $u_0$ et $v_0$ deux entiers naturels non nuls tels que $x_0 = \frac{u_0}{v_0}$.\\
a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $x_n\in\mathbb{Q}$ et que pour $n>1$, $x_n > 1$.\\
b) On définit par récurrence deux suites d’entiers $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ en posant pour tout $n > 0$, $u_{n+1} = v_n$ et $v_{n+1}$ égal au reste de la division euclidienne de $u_n$ par $v_n$ lorsque $v_n$ est non nul et 0 sinon. Démontrer que l’on a, pour tout entier naturel $n$, $v_n > 0$ et $x_n = \frac{u_n}{v_n}$.
14. c) Démontrer que la suite $(v_n)$ est strictement décroissante. L’hypothèse du B.2) est-elle possible ? Que peut-on en conclure ?
15. II.B.3)\quad Énoncer une condition nécessaire et suffisante sur $x_0$ pour que, pour tout entier naturel $n$, $x_n$ soit bien défini.}
16. II.C.1)\quad Écrire un algorithme d’arguments $x_0$ et $n$ donnant $a_n$.
17. II.C.2)\quad On pose dans cette question $x_0 = \sqrt{2}$ (on admet que c’est un irrationnel).\\
a) Tester l’algorithme du II.C.1) ci-dessus sur une calculatrice pour $x_0 = \sqrt{2}$ et $n$ valant successivement 0, 1, 2, 3, 4 pour calculer successivement $a_0, a_1, a_2, a_3$ et $a_4$. Quelle conjecture peut-on formuler ?\\
b) Calculer exactement les valeurs de $x_0, x_1, x_2$. En déduire que la suite $(x_n)$ est stationnaire puis démontrer la conjecture du a).\\
c) Les limites de la calculatrice : Tester sur une calculatrice l’algorithme pour $x_0 = \sqrt{2}$ et $n = 30$. Que penser du résultat obtenu ?\\
d) Reprendre les trois questions précédentes avec $x_0 = \sqrt{3}$ (on admet que c’est un irrationnel).
18. II.C.3)\quad On définit deux suites $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(q_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par
$$
p_0 = a_0, \quad q_0 = 1, \quad p_1 = a_0 a_1 + 1, \quad q_1 = a_1,
$$
et pour tout entier naturel $n>2$
$$
p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2} \quad \text{et} \quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.
$$
a) Démontrer que pour $n > 1$, $p_n$ et $q_n$ sont des entiers naturels non nuls.\\
b) Démontrer que la suite $(q_n)_{n>1}$ est strictement croissante. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $q_n > n$.
19. c) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul
$$
p_n q_{n-1} – p_{n-1} q_n = (-1)^{n-1}.
$$
20. d) Démontrer que $\forall n \in \mathbb{N}$,
$$
x_0 = \dfrac{p_n + p_{n+1} x_{n+2}}{q_n + q_{n+1} x_{n+2}}.
$$}
21. II.C.4)\quad On définit une suite de rationnels $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $\forall n \in \mathbb{N}, r_n = \frac{p_n}{q_n}$.\\
a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$$
r_n – r_{n-1} = \dfrac{(-1)^{n-1}}{q_n q_{n-1}}.
$$
b) Montrer que la série de terme général $(r_n – r_{n-1})$ est alternée et convergente.\\
c) En déduire que la suite $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge.\\
d) On note $r$ la limite de la suite $(r_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $r$ est compris entre $r_n$ et $r_{n+1}$ et que $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ |r – \frac{p_n}{q_n}| \leq \frac{1}{q_n^2}$.\\
e) Écrire un algorithme d’arguments $x_0$ et $n$ donnant la valeur de $r_n$. Le tester dans l’exemple $x_0 = \sqrt{2}$ et donner des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $r_2$ et $r_3$. Que peut-on conjecturer sur la valeur de $r$ ?
22. II.D.1)\quad Démontrer que le nombre réel $y_0 = g(x_0)$ (avec $g$ défini comme au I.B) est bien défini et qu’il est irrationnel.
23. II.D.2)\quad On note respectivement $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ les développements en fraction continue de $x_0$ et $y_0$ définis au II.C. Démontrer que pour tout entier naturel $n > 2$, $a_{n-1} = b_n$.
24. II.E.1)\quad Démontrer que $\Delta$ n’est pas le carré d’un entier. On en déduira et on l’admettra que $\sqrt{\Delta}$ est un nombre irrationnel.
25. II.E.2)\quad Démontrer que l’équation du second degré $x^2 + (\delta-\alpha)x – \alpha\delta – 1 = 0$ possède deux solutions réelles distinctes toutes les deux irrationnelles dont l’une, notée $z_0$, est strictement positive.}
26. II.E.3)\quad Démontrer que $z_0 = g(z_0)$.
27. II.E.4)\quad Que peut-on en déduire quant au développement en fraction continue du nombre $z_0$ ?
28. II.E.5)\quad Que peut-on dire du développement en fraction continue de $\sqrt{p^2+1}$ pour tout $p\in\mathbb{N}^*$ ?}