Questions du sujet
1. Question de cours. Démontrer que
$$M_{\mathcal{E},\mathcal{G}}(g \circ f) = M_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(g)\, M_{\mathcal{E},\mathcal{F}}(f).$$}
2. En déduire qu’il existe deux matrices $P$ et $Q$ appartenant à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que
$$M_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(f) = P\, M_{\mathcal{E}}(f)\, Q.$$}
3. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $M$ et $X$ un vecteur propre associé. Montrer que, pour tout entier naturel $k$, $M^k X = \lambda^k X$.}
4. En déduire que, si $\Pi \in \mathbb{R}[X]$ est un polynôme annulateur de $M$, alors toute valeur propre complexe de $M$ est une racine dans $\mathbb{C}$ de $\Pi$.}
5. Vérifier que, pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\Gamma_A$ appartient à $\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$.}
6. Démontrer que, si $A$ appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, alors $\Gamma_A$ conserve le rang.}
7. Démontrer que l’application
$$\Gamma :
\begin{array}{l|l}
\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \longrightarrow \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))\\
A & \longmapsto \Gamma_A
\end{array}
$$
est linéaire et injective.}
8. Démontrer que $\forall k \in \mathbb{N},\, \Gamma_{A^k} = (\Gamma_A)^k$.}
9. En déduire que, pour tout polynôme $\Pi$ de $\mathbb{R}[X]$, $\Gamma_{\Pi(A)} = \Pi(\Gamma_A)$.}
10. À l’aide du résultat précédent, démontrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\Gamma_A$ est diagonalisable.}
11. Démontrer que $\chi_A$ est un polynôme annulateur de $\Gamma_A$ et que $\chi_{\Gamma_A}$ est un polynôme annulateur de $A$.}
12. En déduire que $\mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(\Gamma_A) = \mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(A)$.}
13. Démontrer que $\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2$ est stable par composition, c’est-à-dire que
$$\forall (\Theta, \Theta’) \in (\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2)^2,\, \Theta \circ \Theta’ \in \mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2.$$}
14. Montrer que $\Phi_{P,Q}$ et $\Psi_{P,Q}$ sont des automorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et préciser leurs applications réciproques.}
15. Montrer que $\Phi_{P,Q}$ et $\Psi_{P,Q}$ conservent le rang.}
16. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $P$ et $Q$ pour que $\Phi_{P,Q}$ et $\Psi_{P,Q}$ conservent le déterminant.}
17. Montrer que $\Phi_{P,P^{-1}}$ et $\Psi_{P,P^{-1}}$ conservent le polynôme caractéristique.}
18. Montrer que $\mathcal{T} \in \mathcal{L}_2$ et $\mathcal{T} \notin \mathcal{L}_1$.}
19. En déduire que les ensembles $\mathcal{L}_1$ et $\mathcal{L}_2$ sont disjoints.}
20. Déterminer $M_{\mathcal{B},\mathcal{B}’}(f)$.}
21. Montrer que la famille $(f(e_1), \ldots, f(e_k))$ est libre.}
22. Justifier que $k < n$.} 23. Déterminer $M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$.} 24. Montrer qu’il existe deux matrices $P$ et $Q$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que $$M = \Phi_{P,Q}(J_{n,r}).$$} 25. Montrer qu’il existe deux matrices $P_2$ et $Q_2$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telles que $$A = P_2\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}Q_2 \text{ et } B = P_2\begin{pmatrix}0 & 0 \\ \alpha & \beta\end{pmatrix}Q_2 $$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels, non tous deux nuls.} 26. Expliciter la matrice de la transposition $\mathcal{T}$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Cette matrice de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ sera notée $T$.} 27. Justifier sans calcul que $T$ est diagonalisable.} 28. Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\mathcal{T}$.} 29. Montrer que la matrice, dans la base $\mathcal{B}_{ca}$, de l’endomorphisme $\Phi_{P,Q}$ est de la forme $$ \begin{pmatrix} a U & b U \\ c U & d U \end{pmatrix}, $$ où $U$ est un élément de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ à déterminer.} 30. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.} 31. Déterminer les rangs de $\Phi(B_1)$, $\Phi(B_4)$, $\Phi(B_1+B_4)$. En déduire l’existence de deux matrices $P_1$ et $Q_1$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$, telles que : $$ \Phi_{P_1,Q_1} \circ \Phi(B_1) = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \Phi_{P_1,Q_1} \circ \Phi(B_4) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ \alpha & \beta\end{pmatrix} $$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels tels que $(\alpha, \beta)\neq (0,0)$.} 32. Déterminer $C_1$ et $C_4$.} 33. Démontrer que $\forall i \in \{1,2,3,4\}$, $a_i d_i - b_i c_i = 0$.} 34. En considérant le rang des matrices $B_1'+B_2'$ et $B_1'+B_3'$, démontrer que $d_2 = d_3 = 0$. On déduit des deux questions précédentes que $b_2 c_2 = b_3 c_3 = 0$.} 35. En étudiant $\det(M')$, démontrer que les nombres $b_2,\, c_3,\, d_4$ sont tous trois non nuls.} 36. En utilisant les résultats de la question précédente et en considérant les rangs des matrices $B_3'+B_4'$, $B_2'+B_4'$, et $B_1'+B_2'+B_3'+B_4'$, démontrer que $$ M' = \begin{pmatrix} 1 & a_2 & 0 & 0\\ 0 & b_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & c_4 \\ 0 & 0 & 0 & d_4 \end{pmatrix} $$ avec $c_4 = a_2 c_3$ et $d_4 = b_2 c_3$.} 37. En déduire que $\Phi$ appartient à $\mathcal{L}_1$.} 38. On suppose à présent que $c_2 \neq 0$. Démontrer que la matrice, dans la base $\mathcal{B}_{ca}$, de l’endomorphisme $\Phi' \circ \mathcal{T}$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est égale à $$ \begin{pmatrix} 1 & a_3 & a_2 & 0\\ 0 & b_3 & 0 & 0\\ 0 & c_3 & c_2 & c_4\\ 0 & 0 & 0 & d_4 \end{pmatrix} $$ .} 39. Démontrer que $c_3 = 0$.} 40. En déduire que $\Phi$ appartient à $\mathcal{L}_2$.} 41. Montrer que $A$ est de rang $1$.} 42. En calculant de deux manières différentes $\det(A+N)$, aboutir à une absurdité et conclure que $\Phi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.} 43. En discutant selon les valeurs possibles du rang, démontrer que $\Phi$ conserve le rang.} 44. Caractériser les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conservent le déterminant.} 45. Démontrer que l’application $$ \begin{array}{l|l} \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \to \mathbb{R}\\ M & \mapsto \mathrm{tr}(M) \end{array} $$ est une forme linéaire vérifiant $\forall (A, B) \in (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2,\, \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.} 46. Montrer que l’application $$ \begin{array}{l|l} (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2 & \to \mathbb{R}\\ (A,B) & \mapsto \mathrm{tr}(A^T B) \end{array} $$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.} 47. En déduire que, si une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie $\forall M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ \mathrm{tr}(A M) = 0$, alors $A=0$.} 48. Démontrer qu’un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conserve le polynôme caractéristique conserve également le déterminant et la trace.} 49. Caractériser les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conservent le polynôme caractéristique.}