Questions du sujet
1. Démontrer que l’application
\[
\begin{array}{|c|c|}
\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \longrightarrow \mathbb{R} \\
M & \longmapsto \mathrm{tr}(M)
\end{array}
\]
est une forme linéaire et que
\[
\forall (A,B) \in (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2, \ \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA).
\]
2. Montrer que l’application
\[
\begin{array}{|c|c|}
(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2 & \longrightarrow \mathbb{R} \\
(A, B) & \longmapsto \mathrm{tr}(A^\top B)
\end{array}
\]
est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
3. En déduire que si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^\top A = 0$ alors $A = 0$.
4. Montrer que, si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est nilpotente, alors $0$ est une valeur propre de $A$ et que c’est la seule valeur propre complexe de $A$.
5. Déterminer la trace et le déterminant d’une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.}
6. Montrer que, si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est nilpotente, alors $M^2$ est nilpotente.
7. On suppose que $M$ et $N$ sont deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que $MN$ et $M+N$ sont nilpotentes.
8. On suppose que $M$, $N$ et $M+N$ sont nilpotentes. En calculant $(M+N)^2-M^2-N^2$, montrer que $\mathrm{tr}(MN) = 0$.
9. Démontrer qu’une matrice $M$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est nilpotente si et seulement si $\det(M)=\mathrm{tr}(M)=0$.
10. Montrer que la seule matrice réelle nilpotente et symétrique est la matrice nulle.}
11. Soit $A$ une matrice antisymétrique réelle et nilpotente. Montrer que $A^\top A = 0_n$, puis que $A = 0_n$.
12. On suppose $n \geq 3$. Donner un exemple de matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de trace nulle et de déterminant nul, mais non nilpotente.
13. Pour $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, exprimer $E_i$ en fonction de $V$ et de $V-2E_i$. En déduire que $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) = \mathrm{Vect}(\mathcal{V}_{n,1})$.
14. Démontrer que, si la famille $(C_1, …, C_n)$ est liée, alors il existe un unique $j \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ tel que \[
\left\{
\begin{array}{l}
(C_1, …, C_j) \text{ est libre} \\
C_{j+1} \in \mathrm{Vect}(C_1, …, C_j)
\end{array}
\right.
\]
15. Soit $d \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $(U_1, …, U_d)$ une famille libre de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $H = \mathrm{Vect}(U_1, …, U_d)$. Démontrer qu’il existe des entiers $i_1, …, i_d$ vérifiant $1 \leq i_1 < \cdots < i_d \leq n$ tels que l’application \[ \begin{array}{ccc} H & \rightarrow & \mathcal{M}_{d,1}(\mathbb{R}) \\ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right) & \mapsto & \left(\begin{array}{c} x_{i_1} \\ \vdots \\ x_{i_d} \end{array}\right) \end{array} \] soit bijective.} 16. Soit $\mathcal{W}$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ de dimension $d$. Démontrer que $\mathrm{card}(\mathcal{W} \cap \mathcal{V}_{n,1}) \leq 2^d$. 17. Si $X$ suit la loi $\mathcal{R}$, préciser la loi de la variable aléatoire $\frac{1}{2}(X+1)$. 18. Calculer l’espérance et la variance d’une variable suivant la loi $\mathcal{R}$. 19. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes, suivant chacune la loi $\mathcal{R}$. Déterminer la loi de leur produit $XY$. 20. Calculer l’espérance et la variance de la variable $\tau_n = \mathrm{tr}(M_n)$.} 21. Calculer l’espérance de la variable $\delta_n = \det(M_n)$. 22. Démontrer que la variance de la variable $\delta_n$ est égale à $n!$ 23. Dans le cas particulier $n=2$, $m_{11}, m_{12}, m_{21}, m_{22}$ sont quatre variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi $\mathcal{R}$ et $M_2 = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$. Calculer la probabilité de l’événement $M_2 \in \mathcal{N}_2$. 24. Calculer la probabilité de l’événement $M_2 \in \mathcal{G}\ell_2(\mathbb{R})$. 25. Soit $(\varepsilon_1, ..., \varepsilon_n) \in \{-1,1\}^n$. Calculer $\mathbb{P}((c_1 = \varepsilon_1) \cap \cdots \cap (c_n = \varepsilon_n))$.} 26. Démontrer que, pour tout $\omega \in \Omega$, la famille $(C(\omega), C'(\omega))$ est liée si et seulement s’il existe $\varepsilon \in \{-1,1\}$ tel que $C'(\omega) = \varepsilon C(\omega)$. 27. En déduire $\mathbb{P}((C, C')$ est liée$)$. 28. Montrer que $(R_1, ..., R_n)$ est un système complet d’événements. 29. Montrer que \[ \mathbb{P}\left(M \notin \mathcal{G}\ell_n(\mathbb{R})\right) \leq \sum_{j=1}^{n-1} \mathbb{P}(C_{j+1} \in \mathrm{Vect}(C_1, ..., C_j)). \] 30. Justifier que, pour tout $j \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$, \[ \mathbb{P}(C_{j+1} \in \mathrm{Vect}(C_1, ..., C_j)) = \sum_{(v_1, ..., v_j) \in \mathcal{V}_{n,1}^j} \mathbb{P}(C_{j+1} \in \mathrm{Vect}(v_1, ..., v_j)) \mathbb{P}((C_1 = v_1) \cap \cdots \cap (C_j = v_j)). \]} 31. En déduire que, pour tout $j \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$, \[ \mathbb{P}(C_{j+1} \in \mathrm{Vect}(C_1, ..., C_j)) \leq 2^{j-n}. \] 32. En déduire que \[ \mathbb{P}\left(M \in \mathcal{G}\ell_n(\mathbb{R})\right) \geq \frac{1}{2^{n-1}}. \] 33. Écrire en Python une fonction \texttt{modifie\_matrice(p, A)} qui prend en argument une probabilité $p$ et un tableau numpy représentant une matrice $A \in \mathcal{V}_{n,n}$. Cette fonction modifie le tableau $A$ selon le procédé décrit ci-dessus. 34. En utilisant la fonction précédente, écrire en Python une fonction \texttt{nb\_tours(p, n)} qui prend en argument une probabilité $p$ et l’ordre $n$ des matrices $A_k$ et renvoie le plus petit entier $k$ tel que $A_k = -A_0$, en partant de la matrice $A_0$. 35. Écrire en Python une fonction \texttt{moyenne\_tours(p, n, nbe)} qui prend en argument une probabilité $p$, l’ordre $n$ des matrices $A_k$ et un nombre entier nbe et qui renvoie la moyenne, sur nbe essais effectués, du nombre d’étapes nécessaires pour passer de $A_0$ à $-A_0$.} 36. Démontrer que le nombre réel \[ C(u) = \sup \left\{ |\langle u_i | u_j \rangle|,\ (i,j) \in I^2,\, i \neq j \right\} \] existe et appartient à l’intervalle $[0,1]$. 37. Montrer que si $C(u) = 0$, alors l’ensemble $\{u_i, i \in I\}$ est fini et donner un majorant de son cardinal. 38. Démontrer que, pour tout nombre réel $t$, $\ch(t) \leq \exp\left(\frac{t^2}{2}\right)$. 39. Démontrer que, pour tout nombre réel $t$, \[ \mathbb{E}(\exp(t\langle X|Y \rangle)) = \left(\ch\left(\frac{t}{n}\right)\right)^n. \] 40. En déduire que, pour tout nombre réel $t$, \[ \mathbb{E}(\exp(t\langle X|Y \rangle)) \leq \exp\left(\frac{t^2}{2n}\right). \]} 41. Soient $\sigma$ et $\lambda$ deux nombres réels strictement positifs et $Z$ une variable aléatoire réelle telle que $\exp(tZ)$ est d’espérance finie et vérifie \[ \forall t \in \mathbb{R}, \quad \mathbb{E}(\exp(tZ)) \leq \exp\left(\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right). \] En appliquant l’inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie, démontrer que \[ \forall t \in \mathbb{R}^+,\quad \mathbb{P}(Z \geq \lambda) \leq \exp\left(\frac{\sigma^2 t^2}{2}-\lambda t\right). \] 42. En déduire que \[ \mathbb{P}(|Z| \geq \lambda) \leq 2 \exp\left(-\frac{\lambda^2}{2\sigma^2}\right). \] 43. Avec les notations et les hypothèses de la question 39, démontrer que \[ \mathbb{P}(|\langle X | Y \rangle| \geq \varepsilon) \leq 2\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{2}\right). \] 44. Déduire des questions précédentes que \[ \mathbb{P} \left( \bigcup_{1 \leq i < j \leq N} |\langle X_i | X_j \rangle| \geq \varepsilon \right) \leq N(N-1)\exp\left(-\frac{\varepsilon^2 n}{2}\right). \] 45. On suppose que $n \geq \frac{4\ln N}{\varepsilon^2}$. Démontrer que \[ \mathbb{P} \left( \bigcup_{1 \leq i < j \leq N} |\langle X_i | X_j \rangle| \geq \varepsilon \right) < 1. \]} 46. En déduire que, pour tout entier naturel $N$ inférieur ou égal à $\exp\left(\frac{\varepsilon^2 n}{4}\right)$, il existe une famille de $N$ vecteurs unitaires de $\mathbb{R}^n$ dont le paramètre de cohérence est majoré par $\varepsilon$.}