Questions du sujet
1. Montrer que $S_n$ et $X_{n+1}$ sont indépendantes.
2. Expliciter le calcul de la fonction génératrice $G_{X_1}$ de la variable aléatoire $X_1$.
3. Justifier que $\forall t \in \mathbb{R},\quad G_{S_n}(t) = (G_{X_1}(t))^n$.
4. Montrer que la variable aléatoire $S_n$ suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
5. Vérifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
\[
P(S_n > n) = e^{-n/2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{n!\,n^k}{(n+k)!} \left(\frac{1}{2}\right)^k.
\]
}
6. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$,
\[
\left( \frac{n}{n + k} \right)^k \leq \frac{n!\, n^k}{(n+k)!} \leq 1.
\]
7. Montrer que la série de fonctions $\sum u_k$ où pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, la fonction $u_k$ est définie sur $[0, +\infty[$ par $u_k : x \mapsto (1+ kx)^{-k} (1/2)^k$ est normalement convergente sur $[0, +\infty[$.
8. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*, \sum_{k \geq 1} (1 + k/n)^{-k} (1/2)^k$ converge et que
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{\infty} (1 + k/n)^{-k} (1/2)^k = 1.
\]
9. En déduire que, lorsque $n$ tend vers $+\infty$,
\[
P(S_n > n) \sim e^{-n/2} \frac{n!}{(n/2)^n}.
\]
10. En déduire, à l’aide de la formule de Stirling, qu’il existe un réel $\alpha \in ]0,1[$ tel que $P(S_n > n) = \mathcal{O}(\alpha^n)$.}
11. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$,
\[
\left\{
\begin{aligned}
&x \geq 0 \implies Ax \geq 0, \\
&x \geq 0 \text{ et } x \ne 0 \implies Ax > 0.
\end{aligned}
\right.
\]
12. Montrer que $\forall k \in \mathbb{N}^*$, $A^k > 0$.
13. En déduire que $\rho(A) > 0$ puis montrer que $\rho \left( \frac{A}{\rho(A)} \right) = 1$.
14. On suppose $A$ diagonalisable sur $\mathbb{C}$. Montrer que, si $\rho(A) < 1$ alors $\lim_{k \to +\infty} A^k = 0$. 15. Montrer que $|x| \leq A|x|$ (où $x$ est un vecteur propre associé à une valeur propre $\lambda$ de module $1$ de $A$).} 16. Montrer qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que $A^2|x| – A|x| > \varepsilon A|x|$.
17. On pose $B = \frac{1}{1 + \varepsilon} A$. Montrer que pour tout $k \geq 1$, $B^kA|x| \geq A|x|$.
18. Déterminer $\lim_{k \to +\infty} B^k$.
19. Conclure.
20. Montrer que $A$ admet un vecteur propre strictement positif associé à la valeur propre $1$.}
21. Montrer que $1$ est la seule valeur propre de module $1$ de $A$.
22. Montrer que $\dim(\ker(A – I_n)) = 1$.
23. En regroupant les résultats des sous-parties II.B et II.C, justifier qu’on a démontré la proposition 1.
24. Soit $\lambda \in S = \mathrm{sp}(A)\setminus \{\rho(A)\}$. Soit $Y \in \ker(A – \lambda I_n)$. Montrer que la suite $(Y_p)_{p\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $0$.
25. Soit $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ un vecteur positif. Montrer que la suite $(Y_p)_{p\in\mathbb{N}^*}$ converge vers le projeté de $Y$ sur $E_{\rho(A)}(A)$ parallèlement à $\bigoplus_{\lambda \in S} E_\lambda(A)$. Vérifier que, s’il est non nul, ce dernier vecteur (le projeté de $Y$) est strictement positif.}
26. Justifier que pour tout entier $k \geq 1$, $A^k$ est semblable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ à une matrice triangulaire, dont on précisera les coefficients diagonaux.
27. Montrer que $\lim_{k\rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{tr}(A^{k+1})}{\mathrm{tr}(A^k)} = \rho(A)$.
28. Justifier que $\forall i \in \llbracket 0,N\rrbracket ,\; \sum_{j=0}^N q_{i,j} = 1$.
29. Justifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Pi_{n+1} = Q^\top \Pi_n$.
30. En déduire que la loi de $X_1$ détermine entièrement les lois de toutes les variables aléatoires $X_n$, $n \in \mathbb{N}^*$.}
31. Justifier que $A(t)$ possède une valeur propre dominante $\gamma(t) > 0$.
32. Montrer que $\lim_{n\to+\infty} \frac{\ln\left(\mathbb{E}(e^{t S_n})\right)}{n} = \lambda(t)$ où $\lambda(t) = \ln(\gamma(t))$.
33. Écrire en langage Python une fonction \texttt{puiss2k} qui prend en argument une matrice carrée $M$ et un entier naturel $k$ et renvoie la matrice $M^{2^k}$ en effectuant $k$ produits matriciels. On pourra exploiter le fait que $M^{2^{k+1}} = (M^{2^k})^2$.
34. Expliquer ce que fait la fonction Python \texttt{maxSp} définie par~:\\
\texttt{1 def maxSp(Q:np.ndarray, k:int, t:float) -> float:\\
2\quad n = Q.shape[1]\\
3\quad E = np.exp(t * np.array(range(n)))\\
4\quad A = Q * E\\
5\quad B = puiss2k(A, k)\\
6\quad C = np.dot(A, B)\\
7\quad return C.trace() / B.trace()}
35. Montrer qu’il existe un rang $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que, pour tout $t \in \mathbb{R}_+$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $n \geq n_0 \implies \ln(\mathbb{E}(e^{t S_n })) \leq n(\lambda(t) + \varepsilon)$.}
36. À l’aide de l’inégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire $e^{t S_n}$, montrer que pour $a > 1$, $n \geq n_0$ et $t \geq 0$,
\[
P(S_n \geq n a m) \leq e^{-n t a m} e^{n(\lambda(t) + \varepsilon)}.
\]
37. En déduire que pour $n \geq n_0$,
\[
P(S_n \geq n a m) \leq e^{-n\left(\lambda^*(a m) – \varepsilon \right)}.
\]
38. Donner un sens concret à $m$ en rapport avec le processus industriel étudié et interpréter l’inégalité précédente. On pourra établir un lien intuitif avec la loi des grands nombres.
39. Justifier que pour tout $i \in \{1, \ldots, L\}$,
\[
\hat{\lambda}^*(x_i) = \max_{1 \leq j \leq K} (t_j x_i – \hat{\lambda}(t_j))
\]
constitue une valeur approchée raisonnable de $\lambda^*(x_i)$.
40. À l’aide du tableau 1, donner un encadrement approximatif de la valeur de $m$ et la valeur d’un réel $h > 0$ tel qu’il existe un rang $n_0 \in \mathbb{N}^*$ vérifiant pour tout $n \geq n_0$,
\[
P(S_n > 1{,}1 \times n m) \leq e^{-n h}.
\]
}