Questions du sujet
1. I.A.1) Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ possédant un moment d’ordre 2 et telles que $V$ n’est pas presque surement nulle. Montrer que $E(U^2)E(V^2) – E(UV)^2 \geq 0$ et que $E(U^2)E(V^2) – E(UV)^2 = 0$ si et seulement s’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\lambda V + U$ est presque surement nulle.} 2. I.A.2) \begin{enumerate} \item[a)] On suppose que $X$ est bornée. Justifier que $X$ vérifie $(C_\tau)$ pour tout $\tau$ dans $\mathbb{R}^{+*}$. \item[b)] On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$ \\ $\forall k \in \mathbb{N}^{*},\ P(X = k) = p(1-p)^{k-1}$ \\ Quels sont les réels $t$ tels que $E(e^{tX}) < +\infty$ ? Pour ces $t$, donner une expression simple de $E(e^{tX})$. \item[c)] On suppose que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ : \\ $\forall k\in\mathbb{N},\ P(X=k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$ où $\lambda \in \mathbb{R}^{+*}$ \\ Quels sont les réels $t$ tels que $E(e^{tX}) < +\infty$ ? Pour ces $t$, donner une expression simple de $E(e^{tX})$. \end{enumerate} } 3. I.A.3) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. On suppose $E(e^{aX}) < +\infty$ et $E(e^{bX}) < +\infty$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer $\forall t \in [a, b],\ e^{tX} \leq e^{aX} + e^{bX}$. En déduire $E(e^{tX}) < +\infty$. Que peut-on en déduire sur l’ensemble $\{t \in \mathbb{R};\ E(e^{tX}) < +\infty\}$ ? \item[b)] Soient $k$ dans $\mathbb{N}$, $t$ dans $]a, b[$. On note $\theta_{k, t, a, b}$ la fonction $y \in \mathbb{R} \mapsto y^k \frac{e^{ty}}{e^{a y} + e^{b y}}$. Déterminer les limites de $\theta_{k, t, a, b}$ en $+\infty$ et $-\infty$. Montrer que cette fonction est bornée sur $\mathbb{R}$. \item[c)] Montrer que $E(|X|^k e^{tX}) < +\infty$. \end{enumerate} } 4. I.A.4) Dans cette question, $\tau$ est un élément de $\mathbb{R}^{+*}$ et $X$ vérifie $(C_{\tau})$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que l’ensemble des réels $t$ tels que $E(e^{tX}) < +\infty$ est un intervalle $I$ contenant $[-\tau, \tau]$. Pour $t$ dans $I$, on note $\varphi_X(t) = E(e^{tX})$. \item[b)] Montrer que si $X(\Omega)$ est fini, $\varphi_X$ est continue sur $I$ et de classe $C^\infty$ sur l’intérieur de $I$. \item[c)] On suppose maintenant que $X(\Omega)$ est un ensemble infini dénombrable. On note $X(\Omega) = \{x_n;\ n \in \mathbb{N}^{*}\}$ où $(x_n)_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ est une suite de réels deux à deux distincts et on pose pour tout $n \in \mathbb{N}^{*},\ p_n = P(X = x_n)$. En utilisant les résultats établis à la question I.A.3 et deux théorèmes relatifs aux séries de fonctions que l’on énoncera complètement, montrer que $\varphi_X$ est continue sur $I$ et de classe $C^\infty$ sur l’intérieur de $I$. \item[d)] Vérifier que pour $t$ dans l’intérieur de $I$ et $k$ dans $\mathbb{N}$, $\varphi^{(k)}_X(t) = E(X^k e^{tX})$. \item[e)] Soit $\psi_X = \frac{\varphi'_X}{\varphi_X}$. Montrer que $\psi_X$ est croissante sur $I$ et que, si $X$ n’est pas presque surement égale à une constante, $\psi_X$ est strictement croissante sur $I$. \end{enumerate} } 5. I.B.1) Soit $\delta$ un élément de $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer que, pour $n$ dans $\mathbb{N}^{*}$, \[ P(|S_n - nE(X)| \geq n\delta) \leq \frac{V(X)}{n\delta^2} \] } 6. I.B.2) Si $u$ et $v$ sont deux nombres réels tels que $u < E(X) < v$, déterminer la limite de la suite $(\pi_n)_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ définie par \[ \forall n \in \mathbb{N}^{*},\ \pi_n = P(nu \leq S_n \leq nv) \] } 7. I.C.1) Soient $m, q$ et $r$ des éléments de $\mathbb{N}$. On pose $n = mq + r$. Comparer les deux nombres réels $u_n$ et $q u_m + u_r$ et montrer que $u_n - n s \geq q(u_m - m s) + u_r - r s$.} 8. I.C.2) On fixe $m$ dans $\mathbb{N}^{*}$ et $\varepsilon$ dans $\mathbb{R}^{+*}$. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$, montrer qu’il existe un entier $N$ tel que pour tout $n > N$, \[ \frac{u_n}{n} \geq \frac{u_m}{m} – \varepsilon \] } 9. I.C.3) Montrer $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{n} = s$.} 10. II.A.1) Montrer $P(X \geq a) = 0 \iff \forall n \in \mathbb{N}^{*},\ P(S_n \geq n a) = 0$.} 11. II.A.2) Soient $m$ et $n$ dans $\mathbb{N}$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que $S_{m+n} – S_m$ et $S_n$ ont même loi. \item[b)] Soit $b$ un nombre réel. Montrer $P(S_{m+n} \geq (n + m)b) \geq P(S_n \geq n b ) P(S_m \geq m b)$. \end{enumerate} } 12. II.A.3) Montrer que la suite $\left(\frac{\ln P(S_n \geq n a)}{n}\right)_{n\geq 1}$ est bien définie et admet une limite $\gamma_a$ négative ou nulle vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ P(S_n \geq n a) \leq e^{n\gamma_a}$.} 13. II.B.1) Montrer que, pour $n$ dans $\mathbb{N}^{*}$ et $t$ dans $I \cap \mathbb{R}^+$, \[ E(e^{t S_n}) = (\varphi_X(t))^n, \quad P(S_n \geq n a) \leq \frac{\varphi_X(t)^n}{e^{n t a}} \] } 14. II.B.2) On définit la fonction $\chi : I \rightarrow \mathbb{R}$ par $t \mapsto \ln(\varphi_X(t)) – t a$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que la fonction $\chi$ est minorée sur $I \cap \mathbb{R}^+$. \item[b)] Donner un équivalent de $\chi(t)$ lorsque $t$ tend vers $0$. En déduire $\eta_a < 0$. \item[c)] Montrer $\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ P(S_n \geq n a) \leq e^{n \eta_a}$. En déduire que $\gamma_a < 0$. \item[d)] Dans chacun des deux cas suivants, déterminer l’ensemble des nombres réels $a$ vérifiant les conditions $P(X \geq a) > 0$ et $a > E(X)$ ; puis, pour $a$ vérifiant ces conditions, calculer $\eta_a$. \begin{enumerate} \item[i.] $X$ suit la loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ avec $0 < p < 1$. \item[ii.] $X$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} } 15. II.C.1) On suppose ici que la borne inférieure $\eta_a$ de la fonction $\chi$ sur $I \cap \mathbb{R}^+$ est atteinte en un point $\sigma$ intérieur à $I \cap \mathbb{R}^+$. Soient $t$ un nombre réel intérieur à $I$ et tel que $t > \sigma$, $b$ un nombre réel tel que $b > \frac{\varphi_X'(t)}{\varphi_X(t)}$. \begin{enumerate} \item[a)] Calculer $\sum_{x \in X(\Omega)} \frac{e^{t x}}{E(e^{t X})} P(X = x)$. On admet alors (quitte à modifier $(\Omega, \mathcal{A}, P)$) \begin{itemize} \item qu’il existe une variable aléatoire $X’$ sur $(\Omega, \mathcal{A})$ telle que $X'(\Omega) = X(\Omega)$ et dont la loi de probabilité est donnée par \\ $\forall x \in X(\Omega),\ P(X’ = x) = \frac{e^{t x}}{E(e^{t X})}P(X = x)$ \item qu’il existe une suite $(X’_n)_{n\in\mathbb{N}^{*}}$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ suivant toutes la même loi que $X’$. \end{itemize} \item[b)] Montrer $E(X’) = \frac{\varphi_X'(t)}{\varphi_X(t)},\ E(X’) > a$ \end{enumerate} } 16. II.C.2) On admet que, si $n$ dans $\mathbb{N}^{*}$ et si $f$ est une application de $X(\Omega)^n$ dans $\mathbb{R}_+$, on a \[ E(f(X’_1, \dots, X’_n)) = \frac{E(f(X_1, \dots, X_n)e^{t S_n})}{(\varphi_X(t))^n} \] \begin{enumerate} \item[a)] Pour $n$ dans $\mathbb{N}^{*}$, on pose $S’_n = \sum_{k=1}^n X’_k$. Montrer $P(n a \leq S’_n \leq n b ) \leq P(S_n \geq n a) \frac{e^{n t b}}{\varphi_X(t)^n}$. On pourra introduire l’application $f: X(\Omega)^n \rightarrow \mathbb{R}$, $(x_1, \dots, x_n) \mapsto \begin{cases}1 & \text{si } n a \leq \sum_{i=1}^n x_i \leq n b \\ 0 & \text{sinon}\end{cases}$ \item[b)] En utilisant les questions I.B.2, II.B.2c et le a) ci-dessus, montrer finalement que $\eta_a = \gamma_a$. \end{enumerate} } 17. II.C.3) \begin{enumerate} \item[a)] Soit $\alpha \in ]0, 1/2[$. Pour $n$ dans $\mathbb{N}^*$, on pose \\ $A_n = \{ k \in \{0, \dots, n\},\ |k – n/2| \geq \alpha n \}$, $U_n = \sum_{k \in A_n} \binom{n}{k}$ \\ Déterminer la limite de la suite $(U_n^{1/n})_{n\geq 1}$. \item[b)] Soit $\lambda \in \mathbb{R}^{+*}$, $\alpha \in ]\lambda, +\infty[$. Pour $n$ dans $\mathbb{N}^{*}$, on pose \\ $T_n = \sum_{k \in \mathbb{N},\, k \geq \alpha n} \frac{n^k \lambda^k}{k!}$ \\ Déterminer la limite de la suite $(T_n^{1/n})_{n\geq 1}$. \end{enumerate} }FAQ
Cette inégalité est une conséquence directe de l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux variables aléatoires \( U \) et \( V \). Elle reflète le fait que la covariance entre \( U \) et \( V \) est toujours inférieure ou égale au produit de leurs écarts-types. L’égalité a lieu si et seulement si \( U \) et \( V \) sont linéairement dépendantes presque sûrement, c’est-à-dire s’il existe un réel \( \lambda \) tel que \( U = -\lambda V \) presque sûrement.
Si \( X \) est bornée, il existe \( M > 0 \) tel que \( |X| \leq M \) presque sûrement. Alors, pour tout \( t \in \mathbb{R} \), \( |e^{tX}| \leq e^{|t|M} \), ce qui implique \( E(e^{tX}) \leq e^{|t|M} < +\infty \). Ainsi, \( X \) vérifie \( (C_\tau) \) pour tout \( \tau > 0 \), car l’espérance est finie pour tout \( t \).
Pour \( X \) suivant une loi géométrique de paramètre \( p \), \( E(e^{tX}) \) est finie si et seulement si \( t < -\ln(1-p) \). Dans ce cas, on a \( E(e^{tX}) = \frac{p e^t}{1 - (1-p)e^t} \). Cette expression découle du calcul de la série \( \sum_{k=1}^{+\infty} p(1-p)^{k-1} e^{tk} \), qui converge si \( (1-p)e^t < 1 \).
L’ensemble \( \{t \in \mathbb{R} ; E(e^{tX}) < +\infty\} \) est un intervalle car la fonction \( t \mapsto e^{tX} \) est convexe, et la convexité préserve la finitude de l'espérance sur les combinaisons convexes. Si \( E(e^{aX}) \) et \( E(e^{bX}) \) sont finies, alors pour tout \( t \in [a, b] \), \( e^{tX} \leq e^{aX} + e^{bX} \), ce qui implique \( E(e^{tX}) \leq E(e^{aX}) + E(e^{bX}) < +\infty \). Ainsi, l'intervalle contient \( [a, b] \).
Si \( X(\Omega) \) est fini, \( \varphi_X(t) = E(e^{tX}) = \sum_{x \in X(\Omega)} e^{tx} P(X = x) \) est une somme finie de fonctions \( C^\infty \). Par conséquent, \( \varphi_X \) est \( C^\infty \) sur \( \mathbb{R} \), et donc sur l’intérieur de \( I \). La continuité sur \( I \) découle du fait que \( \varphi_X \) est une somme finie de fonctions continues.
La fonction \( \psi_X \) est croissante car sa dérivée \( \psi’_X = \frac{\varphi”_X \varphi_X – (\varphi’_X)^2}{\varphi_X^2} \) est positive. En effet, \( \varphi”_X \varphi_X – (\varphi’_X)^2 = E(X^2 e^{tX}) E(e^{tX}) – (E(X e^{tX}))^2 \geq 0 \) par l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Si \( X \) n’est pas presque sûrement constante, l’inégalité est stricte, et \( \psi_X \) est strictement croissante.
Cette inégalité est une application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui borne la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de son espérance. Ici, \( S_n \) est la somme de \( n \) variables aléatoires indépendantes de même loi que \( X \), donc \( E(S_n) = nE(X) \) et \( V(S_n) = nV(X) \). L’inégalité montre que la probabilité que \( S_n \) s’écarte de son espérance décroît comme \( \frac{1}{n} \), ce qui est un résultat clé en probabilités.
La convergence de \( \frac{u_n}{n} \) vers \( s \) est une conséquence de la sous-additivité de la suite \( (u_n) \). En utilisant la division euclidienne et la propriété \( u_{mq + r} \leq m u_q + u_r \), on montre que \( \frac{u_n}{n} \) est minoré par \( \frac{u_m}{m} – \varepsilon \) pour \( n \) assez grand. En faisant tendre \( \varepsilon \) vers 0 et en utilisant la borne inférieure \( s \), on obtient la convergence.
Pour \( X \) suivant une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \), \( E(e^{tX}) \) est finie pour tout \( t \in \mathbb{R} \). On a \( E(e^{tX}) = \sum_{k=0}^{+\infty} e^{tk} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda e^t)^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^t} = e^{\lambda (e^t – 1)} \). Cette expression est valable pour tout \( t \), car la série converge toujours.
La quantité \( \gamma_a = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \ln P(S_n \geq n a) \) est négative ou nulle car \( P(S_n \geq n a) \leq 1 \), donc \( \ln P(S_n \geq n a) \leq 0 \). La limite \( \gamma_a \) capture le taux exponentiel de décroissance de cette probabilité, et sa négativité reflète le fait que les grandes déviations sont des événements rares.
Le résultat \( \eta_a = \gamma_a \) montre que la borne supérieure exponentielle \( e^{n \eta_a} \) pour \( P(S_n \geq n a) \) est optimale. Cela signifie que le taux exponentiel de décroissance de \( P(S_n \geq n a) \) est exactement donné par \( \eta_a \), qui est la borne inférieure de la fonction \( \chi(t) = \ln \varphi_X(t) – t a \). C’est un résultat fondamental en théorie des grandes déviations.
La limite de \( U_n^{1/n} \) est \( 2 \sqrt{p(1-p)} \) où \( p \) est tel que \( |p – 1/2| = \alpha \). Cela découle du fait que les termes dominants dans la somme \( U_n \) sont ceux pour lesquels \( k \) est proche de \( n p \) ou \( n(1-p) \), et que \( \binom{n}{k} \sim \frac{1}{\sqrt{2 \pi n p (1-p)}} (p^p (1-p)^{1-p})^{-n} \) pour ces \( k \).