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Centrale Maths 1 PSI 2015

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Questions du sujet

1. I.A.1) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante, puis qu’elle est convergente. On note $l$ sa limite. 2. I.A.2) Montrer que l’équation $f(x)=x$ admet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la notera $x_0$. 3. I.A.3) Montrer que $l=x_0$. 4. I.B~–~On suppose $m > 1$. Montrer que $x_0 \in [0,1[$. 5. I.C~–~On suppose maintenant $m \leq 1$. Montrer que $x_0 = 1$ et que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n \neq 1$.} 6. I.D.1) On pose, pour $n \in \mathbb{N}$, $\varepsilon_n = 1 – u_n$. Montrer que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{1}{\varepsilon_{n+1}} – \frac{1}{\varepsilon_n} \right) = \frac{f”(1)}{2}$. 7. I.D.2) En déduire que, quand $n$ tend vers l’infini, $1-u_n \sim \dfrac{2}{f”(1)\,n}$.\\ On pourra utiliser le lemme de Cesaro admis en préambule. 8. I.E.1) On suppose maintenant $m < 1$ et on pose encore, pour $n \in \mathbb{N}$, $\varepsilon_n = 1 - u_n$.\\ Montrer que la série de terme général $\varepsilon_n$ est absolument convergente et en déduire la convergence de celle de terme général $\ln\left(\frac{m^{-n-1}\varepsilon_{n+1}}{m^{-n}\varepsilon_n}\right)$. 9. I.E.2) En déduire qu’il existe $c > 0$ tel que, quand $n$ tend vers l’infini, $1-u_n \sim c\,m^n$. 10. II.A.1) Montrer que, si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires à valeur dans $\mathbb{N}$ indépendantes, alors $G_{X+Y} = G_X G_Y$.} 11. II.A.2) En admettant que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $S_k$ est indépendante de $X_{k+1}$, prouver que, pour tout $k\in\mathbb{N}$, $G_{S_k} = (G_X)^k$. 12. II.A.3) En admettant que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $T$ et $S_n$ sont indépendantes, montrer que \[ \forall t\in [0,1[,~\forall K\in\mathbb{N}~ G_S(t) = \sum_{k=0}^K \mathbb{P}(T=k)(G_X(t))^k + \sum_{k=0}^K \left( \sum_{n=k+1}^{\infty}\mathbb{P}(T=k)\mathbb{P}(S_k=n)t^n \right) \] 13. II.A.4) Pour $K\in\mathbb{N}$ et $t\in[0,1[$, on pose $R_K = \sum_{k=0}^K \left( \sum_{n=k+1}^{\infty} \mathbb{P}(T=k)\mathbb{P}(S_k=n)t^n \right)$.\\ Montrer que $0 \leq R_K \leq \frac{1}{1-t} \sum_{k=0}^K \mathbb{P}(T=k)$. 14. II.A.5) Conclure. 15. II.B~–~En déduire que, si $T$ et les $X_k$ sont d’espérance finie, alors $S$ aussi et $\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(T)\mathbb{E}(X_1)$.} 16. II.C.1) Lors d’une ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d’œufs suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. Ensuite, la probabilité qu’un œuf donné devienne un nouvel insecte est $\alpha \in ]0,1[$.\\ Rappeler la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. 17. II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d’insectes issus de la ponte. 18. III.A.1) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\varphi_{n+1} = \varphi_n \circ f$. 19. III.A.2) Exprimer, pour $n\in\mathbb{N}$, l’espérance de $Y_n$ en fonction de $m$ et de $n$. 20. III.A.3)\\a) Vérifier que la probabilité d’extinction est égale à la limite de la suite $(\varphi_n(0))_{n \geq 0}$.\\ b) Vérifier qu’on peut appliquer les résultats de la partie~I à la suite $(\varphi_n(0))_{n\geq 0}$.} 21. III.A.4) Si $m \leq 1$, montrer que la probabilité d’extinction est égale à $1$. 22. III.B.1) On suppose dans cette question que $m<1$. Vérifier que $T$ admet une espérance. 23. III.B.2)\\a) Montrer que, pour tout entier $n$, $\mathbb{P}(Y_n \geq 1) \leq m^n$.\\ b) Montrer que $\mathbb{E}(T) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(T > n)$.\\ c) En déduire une majoration de $\mathbb{E}(T)$. 24. III.C.1) Montrer que $Z$ est définie sur un ensemble de probabilité $1$. 25. III.C.2)\\a) Montrer que, pour tout $k\in\mathbb{N}$, $(\mathbb{P}(Z_n \leq k))_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite convergente. Déterminer sa limite.\\ b) En déduire que, pour tout $k\in\mathbb{N}$, $(\mathbb{P}(Z_n = k))_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge vers $\mathbb{P}(Z=k)$.\\ c) Montrer que, pour tout $s\in[0,1[$, tout $n\in\mathbb{N}^*$ et $K\in\mathbb{N}$, \[ |G_{Z_n}(s)-G_Z(s)| \leq \sum_{k=0}^K |\mathbb{P}(Z_n=k)-\mathbb{P}(Z=k)|+ s^K \frac{1}{1-s}. \] \\ d) En déduire que la suite de fonctions $(G_{Z_n})$ converge simplement vers $G_Z$ sur $[0,1]$.} 26. III.C.3)\\a) Exprimer $G_{Z_1}$ en fonction de $f$.\\ b) On admet que, pour tout $n$ entier naturel supérieur ou égal à $2$ et pour tout $s\in[0,1]$, $G_{Z_n}(s)=s f(G_{Z_{n-1}}(s))$. En déduire que, pour tout $s\in [0,1[$, $G_Z(s)= s f(G_Z(s))$.\\ c) Montrer que $Z$ est d’espérance finie si et seulement si $m < 1$. Calculer l’espérance lorsque c’est le cas. 27. IV.A~–~On suppose dans cette partie que, pour tout $k\in\mathbb{N}$, $p_k = \frac{1}{2^{k+1}}$.\\ Exprimer, pour $t\in[0,1]$, $f(t)$ et calculer $m$. 28. IV.B~–~Vérifier que, pour tout $t\in[0,1[$, $\varphi_n(t) \neq 1$.\\ On peut donc poser, $a_n(t) = \frac{1}{\varphi_n(t)-1}$. 29. IV.C~–~Montrer que, pour $t\in[0,1[$, la suite $(a_n(t))_{n\in\mathbb{N}}$ est arithmétique. 30. IV.D~–~En déduire que, pour $t\in [0,1[$ et $n\in\mathbb{N}$, $\varphi_n(t) = \dfrac{n + (1-n)t}{1+n - n t}$.} 31. IV.E~–~Exprimer, pour $(n,k)\in\mathbb{N}^2$, $\mathbb{P}(Y_n=k)$ en fonction de $n$ et $k$. 32. IV.F~–~Exprimer, en fonction de $n\in\mathbb{N}^*$, la probabilité de l’événement $T > n$.\\ La variable $T$ admet-elle une espérance ? 33. IV.G~–~Exprimer, pour $s\in[0,1[$, $G_Z(s)$ en fonction de $s$.\\ En déduire la loi de $Z$. 34. V.A~–~On suppose dans cette partie $m>1$. On étudie un problème légèrement différent : $k$ étant un entier strictement positif fixé, on suppose qu’il y a $k$ individus à la génération $0$ ; ensuite tout se passe comme précédemment.\\ On note $W_n$ le nombre d’individus à la $n$-ième génération et on définit $u_n$ la probabilité que la suite $(W_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ prenne la valeur $k$ pour la première fois au rang $n$~:\\ \[ u_n = \mathbb{P}\left(\left(W_n = k\right) \cap \left(\bigcap_{j=1}^{n-1}(W_j\neq k)\right)\right) \] Pour $n$ et $r$ entiers naturels non nuls, on définit de même $u^{(r)}_n$ comme la probabilité pour que la suite $(W_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ prenne la valeur $k$ pour la $r$-ième fois au rang $n$.\\ Vérifier que les séries $\sum_{n\geq 1}u_n s^n$ et $\sum_{n\geq 1} u^{(r)}_n s^n$ convergent quand $s\in[-1,1]$.\\ On peut donc définir, pour $s\in[-1,1]$, $U(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n s^n$ et $U^{(r)}(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n^{(r)} s^n$. 35. V.B.1) Montrer que $\mathbb{P}(W_1 > k) > 0$.} 36. V.B.2) Montrer que la probabilité que la suite $(W_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ ne prenne pas la valeur $k$ est non nulle ; on note $u$ cette probabilité.\\ On pourra étudier séparément les cas $p_0=0$ et $p_0>0$. 37. V.C.1) Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $r$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Montrer la relation \[ u^{(r)}_n = \sum_{j=1}^{n-1} u_j u^{(r-1)}_{n-j} \] 38. V.C.2) En déduire que, pour tout entier $r$ strictement positif, $U^{(r)} = U^{*r}$, $U^{*r}$ désignant $U$ composé $r$ fois avec lui-même (c’est-à-dire $U\times U\times \cdots \times U$, $r$ fois). 39. V.D.1) Montrer que la probabilité que la suite $(W_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ prenne la valeur $k$ une infinité de fois est nulle. 40. V.D.2) Montrer qu’il en est de même pour la suite $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$.} 41. V.E~–~Soit $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d’évènements tous de probabilité $1$.\\ Montrer que $\mathbb{P}(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n) = 0$. Qu’en déduit-on pour $\mathbb{P}(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n)$ ? 42. V.F~–~Soit $\alpha$ la probabilité qu’il y ait extinction et $\beta$ la probabilité que la suite $(Y_n)$ diverge vers l’infini.\\ Montrer que $\alpha+\beta=1$.}

FAQ

Comment montrer qu’une suite est croissante et convergente ?

Pour montrer qu’une suite \((u_n)\) est croissante, tu peux étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\) ou le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) si les termes sont positifs. Ensuite, pour prouver la convergence, utilise le théorème de la limite monotone : une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. Dans le sujet, on note \(l\) sa limite.

Comment prouver l’existence d’une solution minimale pour \(f(x) = x\) ?

Pour montrer que \(f(x) = x\) admet une plus petite solution \(x_0\), tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et l’étude des variations de la fonction \(g(x) = f(x) – x\). Si \(g\) est continue et strictement croissante, elle s’annule en un unique point \(x_0\), qui est la plus petite solution.

Comment relier la limite d’une suite à la solution d’une équation fonctionnelle ?

Si une suite \((u_n)\) converge vers \(l\) et vérifie une relation de récurrence du type \(u_{n+1} = f(u_n)\), alors en passant à la limite, on obtient \(l = f(l)\). Cela permet de relier la limite de la suite aux solutions de l’équation \(f(x) = x\). Dans le sujet, on montre ainsi que \(l = x_0\).

Comment encadrer la solution \(x_0\) en fonction de \(m\) ?

Si \(m > 1\), on montre que \(x_0 \in [0,1[\) en étudiant les valeurs de \(f\) aux bornes de l’intervalle. Par exemple, si \(f(0) \geq 0\) et \(f(1) < 1\), alors \(x_0\) est nécessairement dans \([0,1[\).

Que se passe-t-il si \(m \leq 1\) pour \(x_0\) et la suite \((u_n)\) ?

Si \(m \leq 1\), on montre que \(x_0 = 1\) et que pour tout \(n\), \(u_n \neq 1\). Cela découle de l’étude de la fonction \(f\) et de la suite \((u_n)\) qui converge vers \(1\) sans jamais l’atteindre en temps fini.

Comment étudier la vitesse de convergence d’une suite vers sa limite ?

Pour étudier la vitesse de convergence, on peut introduire \(\varepsilon_n = 1 – u_n\) et étudier son comportement asymptotique. En utilisant un développement limité ou le lemme de Cesaro, on peut montrer que \(\varepsilon_n \sim \frac{2}{f”(1) n}\) quand \(n \to +\infty\).

Comment utiliser les fonctions génératrices pour des variables aléatoires indépendantes ?

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, la fonction génératrice de \(X + Y\) est le produit des fonctions génératrices de \(X\) et \(Y\) : \(G_{X+Y} = G_X G_Y\). Cela permet de simplifier l’étude des sommes de variables aléatoires.

Comment calculer l’espérance d’une somme aléatoire de variables aléatoires ?

Si \(T\) et les \(X_k\) sont d’espérance finie, alors \(S = \sum_{k=1}^T X_k\) est aussi d’espérance finie et \(\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(T) \mathbb{E}(X_1)\). Cela se démontre en utilisant les fonctions génératrices et les propriétés de l’espérance conditionnelle.

Comment modéliser un processus de branchement en probabilités ?

Un processus de branchement peut être modélisé par une suite \((Y_n)\) où \(Y_n\) représente le nombre d’individus à la génération \(n\). La fonction génératrice de \(Y_{n+1}\) s’exprime en fonction de celle de \(Y_n\) par \(\varphi_{n+1} = \varphi_n \circ f\), où \(f\) est la fonction génératrice de la descendance d’un individu.

Comment calculer la probabilité d’extinction d’une population ?

La probabilité d’extinction est la limite de la suite \((\varphi_n(0))\), où \(\varphi_n\) est la fonction génératrice de la \(n\)-ième génération. Si \(m \leq 1\), cette probabilité est égale à \(1\). Pour \(m > 1\), elle est donnée par la plus petite solution de \(f(x) = x\).

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