Questions du sujet
1. I.A.1) Justifier que $\theta$ et $R$ sont bien définies. 2. I.A.2) Lorsque $z$ vaut successivement $z_1 = 4$, $z_2 = 2i$ et $z_3 = 1 – i\sqrt{3}$, calculer $R(z)$, $\theta(z)$ et $[R(z)]^2$. 3. I.A.3) Vérifier que $\theta(z) \in ]-\pi, \pi[$ et que $R(z) \in \mathcal{P} = \left\{ Z \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(Z) > 0 \right\}$. 4. I.A.4) Représenter sur une figure le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $|z|$ et les points $M$ d’affixe $z$ et $B$ d’affixe $-|z|$.\\ En considérant des angles bien choisis, montrer que\\ $\theta(z) = \Arg(z) = 2 \Arg (z + |z|)$\\ où $\Arg(z)$ désigne la détermination principale de l’argument du nombre complexe $z$. 5. I.A.5) Déterminer $|R(z)|^2$, $\theta \circ R(z)$ et $|z|^{1/2}e^{i \theta(z)/2}$ en fonction de $z$, $R(z)$ et $\theta(z)$.} 6. I.A.6) Résoudre à l’aide de $R$ l’équation $Z^2 = z$, d’inconnue $Z \in \mathbb{C}$. 7. I.A.7) En déduire que $R$ est une bijection de $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}^{-}$ dans $\mathcal{P}$. Préciser sa bijection réciproque. 8. I.B.1) On suppose que $a^2 + b \neq 0$. On note $d = R(a^2 + b)$. On appelle $W$ la suite $W = ((a + d)^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $W’$ la suite $W’ = ((a – d)^n)_{n \in \mathbb{N}}$.\\ Montrer que $U$ vérifie $E_{a,b}$ si et seulement si $U \in \operatorname{Vect}(W, W’)$.\\ Déterminer $U$ vérifiant $E_{a,b}$ et les conditions initiales $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$, en fonction de $d$, $W$ et $W’$. 9. I.B.2) On suppose que $a^2 + b = 0$ et $a \neq 0$. On note $W$ et $W’$ les suites $W = (a^n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $W’ = (n a^n)_{n \in \mathbb{N}}$.\\ Montrer que $U$ vérifie $E_{a,b}$ si et seulement si $U \in \operatorname{Vect}(W, W’)$.\\ Déterminer $U$ vérifiant $E_{a,b}$ et les conditions initiales $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$, en fonction de $a$, $W$ et $W’$. 10. I.B.3) Expliciter $V_1(z)$, $V_2(z)$ et $V_3(z)$ et déterminer leurs racines dans $\mathbb{C}$.} 11. I.B.4) Montrer que, pour tous $z \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}$, on a $$V_n(z) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n-j}{j} (2z)^{n-2j} (-1)^j$$ (On pourra procéder par récurrence.) 12. II.A.1) Montrer qu’une équation de la courbe $C_a$ en « coordonnées polaires $(\rho, \theta)$ » dans le repère $\mathcal{R}’$ est $$\left(\rho^2 + a^2\right)^2 – 4 a^2 \rho^2 \cos^2\theta = 1$$ 13. II.A.2) Simplifier cette équation lorsque $a = 1$. Étudier et tracer l’allure de la courbe $C_1$. 14. II.B.1) Justifier que $\Omega_z$ est une partie bornée du plan. Est-elle ouverte ? fermée ? compacte ? 15. II.B.2) Justifier que l’origine $O$ est un point intérieur à $\Omega_z$.} 16. II.C.1) Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $z^2 \neq 1$. On note $$r = |R(z^2-1)|,\quad s = |z + R(z^2-1)|, \quad t = |z – R(z^2-1)|, \quad h = \max(s, t)$$ Prouver que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$|V_n(z)| \leq \frac{h^{n+1}}{r}.$$ 17. II.C.2) Que dire du rayon de convergence de la série entière $Z \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} V_n(z) Z^n$ ?\\ On note $g_z$ sa somme. 18. II.C.3) Lorsque cela a un sens, calculer $(1 – 2zZ + Z^2) g_z(Z)$. 19. II.C.4) Déterminer l’ensemble de définition $D_z$ de la fonction $Z \mapsto \frac{1}{1 – 2zZ + Z^2}$. 20. II.C.5) Montrer qu’il existe un disque ouvert non vide $\Delta$ de centre $O$ inclus dans $\Omega_z$ tel que $$\forall Z \in \Delta, \quad \frac{1}{1 – 2zZ + Z^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} V_n(z) Z^n = \sum_{p=0}^{+\infty} [Z^p(2z-Z)^p]$$} 21. II.C.6) En déduire que la fonction de la variable réelle $x$ $$G_z: x \mapsto \sum_{p=0}^{+\infty} [x^p (2z-x)^p]$$ admet un développement limité à tout ordre en 0. On le note $$G_z(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + o(x^n)\quad x \to 0$$ Déterminer les coefficients $a_k$ pour $k \in \mathbb{N}$. 22. II.C.7) Retrouver alors la relation (I.1). 23. III.A.1) Vérifier que $S_\alpha$ est un produit scalaire sur $E$. 24. III.A.2) Justifier que $\varphi_\alpha$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif ? 25. III.A.3) Montrer que $$\forall(f,g) \in E^2, \quad S_\alpha(\varphi_\alpha(f), g) = S_\alpha(f, \varphi_\alpha(g))$$ On pourra calculer la dérivée de $t \mapsto (1-t^2)^{\alpha+\frac{1}{2}} f'(t)$.} 26. III.B.1) Justifier que $\varphi_\alpha$ induit sur $F_n$ un endomorphisme et que cet endomorphisme induit (encore noté $\varphi_\alpha$) est diagonalisable. 27. III.B.2) Montrer qu’il existe une base de $F_n$ constituée de vecteurs propres de $\varphi_\alpha$ de degrés deux à deux distincts. 28. III.B.3) Vérifier que deux vecteurs propres de $\varphi_\alpha$ de degrés distincts sont associés à des valeurs propres distinctes.\\ On pourra s’intéresser au coefficient dominant d’un polynôme judicieux. 29. III.B.4) Justifier que deux vecteurs propres de $\varphi_\alpha$ de degrés distincts sont orthogonaux. 30. III.B.5) Montrer que tout vecteur propre de $\varphi_\alpha$ de degré supérieur ou égal à 1 s’annule au moins une fois dans l’intervalle $]-1, 1[$.} 31. III.C.1) Justifier que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, il existe un unique polynôme vecteur propre de $\varphi_1$ de degré $k$, de norme 1 et de coefficient dominant positif. On le note $T_k$. 32. III.C.2) Soit $t \in ]0, \pi[$. Montrer que la fonction $$H_t: x \mapsto \frac{1}{1 – 2x\cos(t) + x^2}$$ est développable en série entière sur $]-1, 1[$. 33. III.C.3) En déduire que $$\forall n \in \mathbb{N},\forall t \in ]0, \pi[, \quad V_n(\cos t) = \frac{\sin((n+1)t)}{\sin t}$$ 34. III.C.4) En dérivant deux fois la fonction $t \mapsto (\sin t) V_n(\cos t) – \sin((n+1)t)$, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $V_n$ est vecteur propre de $\varphi_1$. 35. III.C.5) En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $V_n$ et $T_n$ sont proportionnels. Expliciter le coefficient de proportionnalité.} 36. III.C.6) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, déterminer les racines de $T_n$.}FAQ
C’est une question classique d’analyse complexe où l’on te demande de vérifier que l’argument θ et le module R d’un nombre complexe z sont bien définis. Pour θ, il faut montrer que z n’est pas un réel négatif (car alors l’argument principal n’est pas défini de manière unique). Pour R, il faut vérifier que c’est une fonction continue et dérivable sur le domaine considéré. N’hésite pas à consulter le corrigé détaillé sur Prépa Booster pour voir la démonstration complète !
Pour calculer R(z) et θ(z), tu dois d’abord exprimer z sous forme algébrique ou exponentielle. Par exemple, pour z = 2i, tu as |z| = 2 et Arg(z) = π/2. Ensuite, R(z) = |z|^(1/2) * exp(iθ(z)/2) avec θ(z) = Arg(z). Pour z = 1 – i√3, pense à utiliser la forme exponentielle pour simplifier les calculs. Le corrigé sur Prépa Booster te montre toutes les étapes !
C’est une question de définition ! L’argument principal θ(z) est toujours dans ]-π, π] par construction. Pour R(z), on te demande de montrer qu’il appartient à 𝒫, l’ensemble des complexes de partie réelle strictement positive. Cela revient à vérifier que Re(R(z)) > 0, ce qui est lié à la définition même de R(z) comme racine carrée ‘positive’ d’un complexe. Le corrigé détaillé t’explique tout ça !
C’est une belle question de géométrie complexe ! Tu dois dessiner le cercle de centre O et de rayon |z|, puis placer les points M (affixe z) et B (affixe -|z|). En utilisant des considérations d’angles, tu peux montrer que l’argument de z est le double de l’argument de z + |z|. C’est un résultat important pour la suite, alors prends le temps de bien comprendre la figure !
L’équation Z² = z admet deux solutions complexes : les racines carrées de z. La fonction R te donne justement la racine carrée ‘principale’ de z, c’est-à-dire celle dont la partie réelle est positive. L’autre solution est simplement -R(z). C’est une application directe de la définition de R, et c’est très utile pour la suite du problème !
C’est une question fondamentale sur les fonctions complexes ! R est bien définie sur ℂ∖ℝ⁻ car on exclut les réels négatifs où l’argument principal n’est pas continu. Elle est injective car deux complexes différents ont des images différentes par R, et surjective car tout élément de 𝒫 a un antécédent par R. Sa bijection réciproque est simplement z ↦ z², mais attention au domaine de définition !
C’est un grand classique des concours ! Tu dois d’abord trouver l’équation caractéristique associée à la récurrence. Si les racines sont distinctes, la solution générale est une combinaison linéaire des suites géométriques associées. Avec les conditions initiales, tu peux déterminer les coefficients. Si les racines sont égales, la solution fait intervenir un terme en n. Le corrigé sur Prépa Booster te montre comment appliquer ça à ton problème spécifique !
Pour étudier une courbe en coordonnées polaires, tu dois d’abord comprendre l’équation donnée. Ici, tu as (ρ² + a²)² – 4a²ρ²cos²θ = 1. Commence par chercher des symétries, puis étudie les cas particuliers (θ = 0, θ = π/2…). Pour a = 1, l’équation se simplifie et tu peux reconnaître une courbe connue. N’oublie pas de faire un tableau de valeurs pour bien visualiser la courbe !
C’est une question de topologie dans le plan complexe. Pour montrer qu’un ensemble est borné, tu dois trouver un disque qui le contient. Pour l’ouverture ou la fermeture, tu dois regarder si la frontière est incluse ou non dans l’ensemble. Par exemple, Ω_z est borné car |z| est borné, et tu peux étudier sa frontière pour voir s’il est ouvert ou fermé. Le corrigé détaillé t’explique tout ça !
Pour majorer une suite comme Vₙ(z), tu peux utiliser une récurrence. Ici, on te donne une majoration du type |Vₙ(z)| ≤ h^(n+1)/r. L’idée est d’utiliser la définition de Vₙ et les propriétés de R(z) pour trouver une relation de récurrence sur les modules. Ensuite, tu peux appliquer le lemme de récurrence pour obtenir la majoration souhaitée. C’est une technique très utile en analyse complexe !