Questions du sujet
1. I.A – Quelle inclusion existe-t-il entre les ensembles $E$ et $E_0$? 2. I.B – Montrer que si $E$ n’est pas vide, alors $E$ est un intervalle non majoré de $\mathbb{R}$. 3. I.C – Montrer que si $E$ n’est pas vide, alors $L f$ est continue sur $E$. 4. II.A – Comparer $E$ et $E_0$ dans le cas où $f$ est positive. 5. II.B – Dans les trois cas suivants, déterminer $E$.} 6. II.B.1) $f(t) = \lambda'(t)$, avec $\lambda$ supposée de classe $\mathcal{C}^1$. 7. II.B.2) $f(t) = e^{t\lambda(t)}$. 8. II.B.3) $f(t) = \frac{e^{-t\lambda(t)}}{1 + t^2}$. 9. II.C.1) Déterminer $E$. Que vaut $L f(0)$ ? 10. II.C.2) Prouver que $L f$ est dérivable.} 11. II.C.3) Montrer l’existence d’une constante $A > 0$ telle que pour tout $x > 0$, on ait $L f(x) – (L f)'(x) = \frac{A}{\sqrt{x}}$. 12. II.C.4) On note $g(x) = e^{-x}L f(x)$ pour $x > 0$. Montrer que pour tout $x > 0$, on a \\$g(x) = \frac{\pi}{2} – A \int_0^x \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$. 13. II.C.5) En déduire la valeur de l’intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt$. 14. III.A – Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$. On note encore $f$ le prolongement obtenu. 15. III.B – Déterminer $E$.} 16. III.C – À l’aide d’un développement en série, montrer que pour tout $x > 0$, on a\\ $L f(x) = \frac{1}{2x^2} – \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n + x)^2}$. 17. III.D – Est-ce que $L f(x) – \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{x}$ admet une limite finie en $0^+$ ? 18. IV.A – Montrer que si $E$ n’est pas vide et si $\alpha$ est sa borne inférieure (on convient que $\alpha = -\infty$ si $E = \mathbb{R}$), alors $L f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]\alpha, +\infty[$ et exprimer ses dérivées successives à l’aide d’une intégrale. 19. IV.B – Dans le cas particulier où $f(t) = e^{-a t} t^n$ pour tout $t \in \mathbb{R}^+$, avec $n \in \mathbb{N}$ et $a \in \mathbb{R}$, expliciter $E$, $E_0$ et calculer $L f(x)$ pour $x \in E_0$. 20. IV.C.1) Montrer que pour tout $\beta > 0$, on a, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, le développement asymptotique suivant :\\ $\int_0^\beta \left( f(t) – \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k!} t^k \right) e^{-t x} dt = O(x^{-n-2})$.} 21. IV.C.2) En déduire que lorsque $x$ tend vers l’infini, on a le développement asymptotique :\\ $L f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{x^{k+1}} + O(x^{-n-2})$. 22. IV.D.1) Montrer que $E$ contient $\mathbb{R}_+^*$. 23. IV.D.2) Montrer que $x L f(x)$ tend vers $l$ en $0^+$. 24. V.A – Montrer que $E$ ne contient pas $0$. 25. V.B – Montrer que $E = ]0, +\infty[$.} 26. V.C – Montrer que $E_0$ contient $0$. 27. V.D – Calculer $(L f)'(x)$ pour $x \in E$. 28. V.E – En déduire $(L f)(x)$ pour $x \in E$. 29. V.F – On note pour $n \in \mathbb{N}$ et $x > 0$, \\ $f_n(x) = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin t}{t} e^{-x t} dt$. \\ Montrer que $\sum_{n > 0} f_n$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$. 30. V.G – Que vaut $L f(0)$ ?} 31. VI.A.1) Que dire de $\int_0^1 P(t)g(t) dt$ pour $P \in \mathbb{R}[X]$ ? 32. VI.A.2) En déduire que $g$ est l’application nulle. 33. VI.B.1) Montrer que $L f(x + a) = a \int_0^{+\infty} e^{-a t} h(t) dt$. 34. VI.B.2) On suppose que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $L f(x + n a) = 0$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, l’intégrale \\ $\int_0^1 u^n h\left(-\frac{\ln u}{a} \right) du$ converge et qu’elle est nulle. 35. VI.B.3) Qu’en déduit-on pour la fonction $h$ ?} 36. VI.C – Montrer que l’application qui à $f$ associe $L f$ est injective. 37. VII.A.1) Montrer que si $L f$ est bornée sur $E$, alors $\alpha \in E$. 38. VII.A.2) Si $\alpha \notin E$, que dire de $L f(x)$ quand $x$ tend vers $\alpha^+$ ? 39. VII.B.1) Dans cette question, $f(t) = \cos t$ et $\lambda(t) = \ln(1 + t)$. Déterminer $E$. 40. VII.B.2) Déterminer $E_0$.} 41. VII.B.3) Montrer que $L f$ admet une limite en $\alpha$, borne inférieure de $E$, et la déterminer. 42. VIII.A – Soient $P$ et $Q$ deux éléments de $P$. Montrer que l’intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-t} \overline{P(t)} Q(t) dt$, où $\overline{P}$ est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $P$, converge. 43. VIII.B – On note pour tout couple $(P, Q) \in P^2$,\\ $ \langle P, Q \rangle = \int_0^{+\infty} e^{-t} \overline{P(t)} Q(t) dt $ \\ Vérifier que $\langle ., . \rangle$ définit un produit scalaire sur $P$. 44. VIII.C – On note $D$ l’endomorphisme de dérivation et $U$ l’endomorphisme de $P$ défini par\\ $U(P)(t) = e^{t} D\big( t e^{-t} P'(t) \big)$. \\ Vérifier que $U$ est un endomorphisme de $P$. 45. VIII.D – Montrer que pour tous $P$ et $Q$ de $P$, on a\\ $\langle U(P), Q \rangle = \langle P, U(Q) \rangle$.} 46. VIII.E – Montrer que $U$ admet des valeurs propres dans $\mathbb{C}$, qu’elles sont réelles et que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. 47. VIII.F.1) Soient $\lambda$ une valeur propre de $U$ et $P$ un vecteur propre associé. Montrer que $P$ est solution d’une équation différentielle linéaire simple que l’on précisera. 48. VIII.F.2) Quel lien y a-t-il entre $\lambda$ et le degré de $P$ ? 49. VIII.G.1) On considère sur $[0, +\infty[$ l’équation différentielle\\ $(E_n) : t P” + (1 – t)P’ + nP = 0$ \\ avec $n \in \mathbb{N}$ et d’inconnue $P \in P$. \\ En appliquant la transformation $L$ avec $\lambda(t) = t$ à $(E_n)$, montrer que si $P$ est solution de $(E_n)$ sur $[0, +\infty[$, alors son image $Q$ par $L$ est solution d’une équation différentielle $(E’_n)$ d’ordre $1$ sur $]1, +\infty[$. 50. VIII.G.2) Résoudre l’équation $(E’_n)$ sur $]1, +\infty[$ et en déduire les valeurs et vecteurs propres de l’endomorphisme $U$.} 51. VIII.G.3) Quel est le lien entre ce qui précède et les fonctions polynomiales définies pour $n \in \mathbb{N}$ par $P_n(t) = e^{t} D^n(e^{-t} t^n)$ ?}FAQ
L’ensemble \( E \) est inclus dans \( E_0 \), car \( E_0 \) est défini comme l’ensemble des \( x \) pour lesquels l’intégrale \( Lf(x) \) converge absolument, ce qui est une condition plus forte que la simple convergence définissant \( E \).
Si \( E \) n’est pas vide, la fonction \( f \) est localement intégrable, et la convergence de l’intégrale \( Lf(x) \) dépend de manière continue de \( x \). Ainsi, \( E \) est un intervalle. De plus, comme \( f \) est à croissance modérée, \( E \) n’est pas majoré.
La continuité de \( Lf \) sur \( E \) découle du théorème de continuité des intégrales à paramètres. Comme \( f \) est continue et que l’intégrale converge uniformément sur tout compact de \( E \), \( Lf \) est continue.
Si \( f \) est positive, alors \( E = E_0 \), car la convergence absolue et la convergence simple coïncident pour les fonctions positives. Ainsi, les ensembles \( E \) et \( E_0 \) sont égaux.
Pour \( f(t) = \lambda'(t) \), l’intégrale \( Lf(x) \) converge si et seulement si \( \lambda'(t) e^{-x t} \) est intégrable. En intégrant par parties, on montre que \( E = \mathbb{R}^+ \) si \( \lambda \) est bornée.
Si \( f \) admet un développement limité en \( 0 \), alors \( Lf(x) \) admet un développement asymptotique en \( x \) de la forme \( \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{x^{k+1}} + O(x^{-n-2}) \).
La dérivabilité de \( Lf \) se montre en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Si \( f \) est telle que \( t \mapsto t f(t) e^{-x t} \) est intégrable, alors \( Lf \) est dérivable et sa dérivée est donnée par \( (Lf)'(x) = -L(tf)(x) \).
La transformation de Laplace \( Lf \) permet de transformer certaines équations différentielles en équations algébriques, facilitant ainsi leur résolution. Par exemple, une équation différentielle linéaire à coefficients constants peut être transformée en une équation polynomiale.
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