Questions du sujet
1. I.A – Montrer que la fonction $t \rightarrow e^{-t} t^{x-1}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ si, et seulement si, $x > 0$. 2. I.B – Justifier que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^1$ et strictement positive sur $]0,+\infty[$. 3. I.C – Exprimer $\Gamma(x+1)$ en fonction de $x$ et de $\Gamma(x)$. 4. I.D – Calculer $\Gamma(n)$ pour tout entier naturel $n, n > 1$. 5. II.A – À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : $$u_k = \frac{1}{2}(\ln k – \ln(k-1)) – \frac{1}{2} \int_{k-1}^k (t-k+1)(k-t) t^{-2} \, dt$$} 6. II.B – Pour tout entier $k > 2$, on note : $$w_k = \frac{1}{2}\int_{k-1}^k (t-k+1)(k-t) t^{-2}\,dt$$ Justifier la convergence de la série $\sum_{k>2} w_k$.\\ En déduire qu’il existe un nombre réel $a$ tel que : $$\ln n! = n\ln n – n + \frac{1}{2}\ln n + a + v_n$$ où $v_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} w_k$. 7. II.C – En utilisant encore une intégration par parties, montrer que~: $$ w_k – \frac{1}{12}\int_{k-1}^k t^{-2} dt = \frac{1}{6}\int_{k-1}^k t^{-3} dt $$ 8. II.D – En déduire que $$v_n – \frac{1}{12n} = \frac{1}{6}\int_{n}^{+\infty} t^{-3} dt$$ puis que : $$\ln n! = n\ln n – n + \frac{1}{2}\ln n + a + \frac{1}{12n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ 9. III.A – Montrer que pour tout entier $n, n>1$, la fonction $f_n$ est continue et intégrable sur $]0,+\infty[$. 10. III.B – Montrer que, pour tout $x > 0$, $\lim_{n\to+\infty} I_n(x) = \Gamma(x)$.} 11. III.C – Montrer que, pour tout entier $n, n \geq 0$, $\forall x > 0, \quad J_{n+1}(x) = \frac{n+1}{x} J_n(x+1)$. 12. III.D – En déduire que, pour tout $x > 0$, $$J_n(x) = \frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}$$ 13. III.E – Établir l’identité d’Euler (III.1). 14. IV.A – Dessiner soigneusement le graphe de l’application $h$ sur l’intervalle $[-1,1]$. 15. IV.B – Montrer que la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par $H(x) = \int_0^x h(t)\,dt$ est continue, de classe $C^1$ par morceaux et périodique de période 1.} 16. IV.C – À l’aide d’une intégration par parties, justifier, pour $x > 0$, la convergence de l’intégrale suivante : $$\int_{0}^{+\infty} \frac{h(u)}{u+x} du$$ 17. IV.D – L’application $u \mapsto \frac{h(u)}{u+x}$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}_+$ ? 18. IV.E – Soit $\varphi$ l’application définie pour tout $x>0$ par : $$\varphi(x) = \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{u+x} du$$ En reprenant l’intégration par parties de la question IV.C, démontrer que l’application $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que pour tout $x > 0$, $$\varphi'(x) = -\int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{(u+x)^2} du$$ 19. V.A – Montrer que pour tout entier naturel $i$: $$\int_{x+i}^{x+i+1} \ln t dt = \ln(x+i) – \int_i^{i+1} \frac{u-i-1}{u+x} du$$ 20. V.B – En déduire que : $$F_n(x) = G_n(x) – \int_0^{n+1} \frac{h(u)}{u+x} du$$ où \[ G_n(x) = \ln n! + (x+1)\ln n – \left(x+n+\frac{3}{2}\right)\ln(x+n+1) + n+1 + \left(x+\frac{1}{2}\right)\ln x \]} 21. V.C.1) En utilisant la formule de Stirling, montrer que : $$ \lim_{n\to+\infty} G_n(x) = \left(x+\frac{1}{2}\right)\ln x – x + \ln\sqrt{2\pi} $$ 22. V.C.2) En déduire que : $$ \ln\Gamma(x+1) = \left(x+\frac{1}{2}\right)\ln x – x + \ln\sqrt{2\pi} – \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{u+x} du $$ 23. V.D – Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $$ \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)} = \ln x + \frac{1}{2x} + \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{(u+x)^2} du $$ 24. VI.A.1) Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+^4$. Montrer que $f$ admet un maximum sur $\Omega$.\\ On note alors $a = (a_1, a_2, a_3, a_4) \in \Omega$ un point en lequel ce maximum est atteint. 25. VI.A.2) Montrer que si $(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \Omega$ alors $x_3$ et $x_4$ peuvent s’écrire sous la forme $$ x_3 = u x_1 + v x_2 + w\\ x_4 = u’ x_1 + v’ x_2 + w’ $$ où l’on donnera explicitement $u,v,u’,v’$ en fonction de $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3, \epsilon_4$.} 26. VI.A.3) En supposant qu’aucun des nombres $a_1, a_2, a_3, a_4$ n’est nul, déduire que $$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) + u \frac{\partial f}{\partial x_3}(a) + u’ \frac{\partial f}{\partial x_4}(a) = 0\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) + v \frac{\partial f}{\partial x_3}(a) + v’ \frac{\partial f}{\partial x_4}(a) = 0 $$ 27. VI.A.4) Montrer que le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ engendré par les vecteurs $(1,0,u,u’)$ et $(0,1,v,v’)$ admet un sous-espace supplémentaire orthogonal engendré par les vecteurs $(1,1,1,1)$ et $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\epsilon_4)$. 28. VI.A.5) En déduire l’existence de deux réels $\alpha$, $\beta$ tels que pour tout $i\in \{1,2,3,4\}$ on ait $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \alpha + \beta \epsilon_i$. 29. VI.B – On définit la fonction $F$ pour tout $x = (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}_+^4$ par $$ F(x_1, x_2, x_3, x_4) = -\sum_{i=1}^4 \ln\Gamma(1+x_i) $$ On suppose qu’il existe $N = (N_1, N_2, N_3, N_4) \in \Omega$, les nombres $N_1, N_2, N_3, N_4$ étant tous les quatre non nuls, tel que $$ \max_{x \in \Omega} F(x) = F(N) $$ Montrer l’existence de deux nombres réels $\lambda$ et $\mu$ vérifiant pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$ : $$ \ln N_i + \frac{1}{2N_i} + \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{(u+N_i)^2} du = \lambda + \mu \epsilon_i $$} 30. VI.C – Pour tout $i\in\{1,2,3,4\}$, on pose $$ \theta(N_i) = \frac{1}{2N_i} + \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{(u+N_i)^2} du $$} 31. VI.C.1) Montrer que pour tout $i\in\{1,2,3,4\}$, $0 < \theta(N_i) < \frac{1}{N_i}$. 32. VI.C.2) Montrer l’existence d’un réel $K$ strictement positif tel que pour tout $i\in\{1,2,3,4\}$, $$ N_i = K e^{\mu \epsilon_i} e^{-\theta(N_i)} $$}FAQ
La fonction Gamma intervient partout en analyse car elle généralise la factorielle aux réels (et complexes) et relie série, intégrales, et approximations asymptotiques comme la formule de Stirling. Elle est centrale pour traiter des questions d’intégrabilité, de régularité des fonctions, et d’applications dans la théorie des séries, probabilités ou statistiques. Maîtriser la Gamma, c’est avoir sous le coude un outil transversal, idéal pour résoudre de nombreux problèmes d’approximations ou d’intégrales spéciales en concours.
L’intégration par parties est la clef pour manipuler des intégrales un peu délicates comme celles qui font intervenir la Gamma, ou encore des séries associées. Cela permet de simplifier des expressions, d’obtenir des encadrements et de démontrer la convergence de suites ou de séries. Savoir la manier sur le bout des doigts est indispensable pour n’importe quel problème d’analyse en CPGE scientifique.
Il faut bien connaître les critères classiques (domination, comparaison, critère de Cauchy, etc.) et toujours penser à estimer simplement ce que donne le comportement « à l’infini » (avec des équivalents, des inégalités…). Identifier rapidement la nature des fonctions ou des termes étudiés (positivité, décroissance, majoration/minoration) fait gagner un temps fou ! Pour apprendre à ne rien manquer sur ces points-là, n’hésite pas à débloquer les corrigés afin de voir comment ces méthodes s’appliquent sur des cas typiques de sujets Centrale PSI.
La formule de Stirling donne une approximation asymptotique très précise de la factorielle, mais via la fonction Gamma, elle se généralise à tout réel. Dans de nombreux sujets, on s’en sert pour démontrer des relations entre ln(n!), des produits ou quotients de factorielle, ou même pour étudier des limites et des développements asymptotiques. C’est un grand classique des sujets de Centrale, donc il faut la connaître et surtout savoir l’adapter selon les piéges du sujet !
Dès qu’une fonction est définie avec une intégrale à paramètre (comme la fonction Gamma, ou les fonctions paramétrées dans ce sujet), pense tout de suite aux théorèmes de continuité, différentiabilité sous le signe intégrale (théorème de Leibniz, dominée, etc.). En concours, expliquer rigoureusement pourquoi tu peux dériver ou intégrer sous le signe intégral fait la différence entre une réponse partielle et un vrai point complet au barème !
Ce n’est pas rare qu’on termine un sujet complet d’analyse par une belle question d’optimisation ou un détour par la géométrie d’un espace vectoriel, pour tester ta capacité à relier différents cours (équations aux dérivées partielles, gradient, conditions de maximum, et sous-espaces orthogonaux). S’y préparer passe par un entraînement sur des corrigés détaillés, mais aussi en travaillant les techniques de différentiation multivariée, les structures d’espace et la manipulation des conditions d’optimalité !
L’important est de bien identifier la structure des termes (exp, ln, puissances) et d’utiliser systématiquement les approximations connues (Stirling, équivalents d’intégrales usuelles). Savoir où et comment tronquer ou estimer un reste (utiliser le « O » de Landau) est clé. S’entraîner sur des sujets corrigés t’aide à éviter les erreurs classiques et à justifier chaque approximation avec la rigueur attendue en épreuve. Pour progresser à fond, découvre les corrigés Premium et le dashboard Prépa Booster !
Les sujets de Centrale PSI ciblent exactement les connaissances, savoir-faire et réflexes attendus l’année du concours : ils mixent harmonieusement analyse, algèbre, fonctions spéciales, optimisation, géométrie vectorielle et approximations fines. Travailler ce format d’annales te prépare aux automatismes clés et te donne une vraie maîtrise face à la diversité des exercices proposés aux écrits. Pour aller plus loin, pense à débloquer les corrigés : tu profites d’exercices corrigés et d’un dashboard d’analyse sur-mesure pour booster ta prépa !