Questions du sujet
1. I.A – Ecrire une s\’equence d’instructions permettant le calcul de $u_n$ pour $n$ donn\’e (on ne cherchera pas \`a optimiser les calculs). 2. I.B – D\’eterminer la constante $k$ telle que la suite $v$ d\’efinie par $\forall n : v_n = u_n + k$ v\’erifie la relation de r\’ecurrence $v_{n+1} = a v_n$. 3. I.C – En d\’eduire la valeur de $u_n$ en fonction de $u_0$ et de $n$. 4. I.D – On appelle s\’erie ordinaire associ\’ee \`a la suite $u$ la fonction $S$ de la variable complexe $z$ qui est somme de la s\’erie enti\`ere de terme g\’en\’eral $u_n z^n$. Autrement dit : \[S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n z^n\] D\’eterminer la valeur $\rho$ du rayon de convergence de cette s\’erie (une discussion pr\’ecise des cas particuliers est demand\’ee). Quelle est la valeur minimale $\rho_S$ de ce rayon pour $a$ fix\’e ? 5. I.E – On suppose $|z| < \rho_S$. Partir de la relation \'evidente : $\sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1} - a u_n - b) z^n = 0$ et obtenir une \'equation ordinaire (non diff\'erentielle) v\'erifi\'ee par $S(z)$. R\'esoudre cette \'equation et exprimer $S$ sous la forme : $S (z) = u_0 A + b B$ o\`u $A$ et $B$ sont deux fractions rationnelles d\'ependant de $z$ et $a$.} 6. I.F - On appelle s\'erie exponentielle associ\'ee \`a la suite $u$ la s\'erie enti\`ere de la variable $z \in \mathbb{C}$ d\'efinie par : \[G(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!}z^n\] D\'eterminer le rayon de convergence $\rho_G$ de cette s\'erie $G$. On pose : \[G'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_{n+1}}{n!}z^n\] Montrer que $G'(z)$ a m\^eme rayon de convergence $\rho_G$ que $G(z)$ et que si $x$ est un r\'eel avec $|x| < \rho_G$, $G'(x)$ est effectivement la d\'eriv\'ee de la fonction r\'eelle $x \mapsto G(x)$. 7. I.G - Partir de la relation \'evidente : $\sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1} - a u_n - b) \frac{x^n}{n!} = 0$ et obtenir (par des transformations justifi\'ees) une \'equation diff\'erentielle du premier ordre v\'erifi\'ee par la fonction $G$. R\'esoudre cette \'equation en remarquant que (4) fournit aussi une condition initiale pour $G(x)$. Obtenir $G$ sous la forme $G(x) = u_0 C + b D$ o\`u $C$ et $D$ d\'ependent de $x$ et $a$. 8. I.H - En utilisant (6), retrouver l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. Ecrire une s\'equence d’instructions utilisant cette expression pour calculer $u_n$ pour chaque valeur donn\'ee de $n$. Ce programme est-il plus rapide que celui du I.A ? Que peut-on faire pour obtenir un programme r\'eellement plus rapide ? 9. Question pr\'eliminaire: Exprimer simplement la valeur de $f(a, b)$ o\`u $(a, b) \in \mathbb{C} \times \mathbb{N}$. 10. II.A - R\'e\'ecrire (pour cette seule question) le syst\`eme (7) en fonction de $a, b, \lambda, \mu$. Diagonaliser la matrice $M$ et exprimer $\begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$ sous la forme : \[\text{expression matricielle simple en $a, b, \lambda, \mu$ et $n$}\] $\begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix}$} 11. II.B - On revient \`a la notation en $a, b, c, d$ et, comme \`a la section I-D, on appelle s\'eries ordinaires associ\'ees aux suites $u$ et $v$ les fonctions $S$ et $T$ de la variable complexe $z$ qui sont les sommes des s\'eries enti\`eres de termes g\'en\'eraux $u_n z^n$ et $v_n z^n$. Autrement dit : \[S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n z^n, \quad T(z) = \sum_{n=0}^{\infty} v_n z^n\] On admet, dans la suite de cette partie, qu’il existe un r\'eel $\rho > 0$ tel que les deux s\’eries $S(z)$ et $T(z)$ sont convergentes pour $|z| < \rho$. Pour un tel $z$, partir des relations \'evidentes : \[\sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1} - a u_n - b v_n) z^n = 0 \quad \text{et} \quad \sum_{n=0}^{\infty} (v_{n+1} - c u_n - d v_n) z^n = 0\] et obtenir un syst\`eme de deux \'equations ordinaires (non diff\'erentielles) v\'erifi\'ees par $S(z)$ et $T(z)$. R\'esoudre ce syst\`eme et exprimer $S(z)$ et $T(z)$ sous la forme : $A u_0 + B v_0$ o\`u $A$ et $B$ sont deux fractions rationnelles en $z$ (chacune d\'ependant des coefficients $a, b, c, d$). Que peut-on dire des rayons de convergence de $S$ et $T$ ? 12. II.C - On appelle s\'eries exponentielles $G, H$ associ\'ees aux suites $u$ et $v$ les fonctions de la variable $x \in \mathbb{R}$ qui sont les sommes des s\'eries enti\`eres ayant respectivement pour termes g\'en\'eraux $\frac{u_n}{n!} x^n$ et $\frac{v_n}{n!} x^n$. Autrement dit : \[G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!} x^n,\quad H(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{v_n}{n!} x^n\] D\'eterminer les rayons de convergence de ces deux s\'eries. 13. II.D - Proc\'eder comme pr\'ec\'edemment et obtenir (par des transformations justifi\'ees) un syst\`eme de deux \'equations diff\'erentielles permettant d’exprimer $G'$ et $H'$ en fonction de $G$ et $H$. 14. II.E - En d\'eduire que $G$ et $H$ sont solutions de la m\^eme \'equation diff\'erentielle lin\'eaire du second ordre (E) dont on exprimera les coefficients en fonction de $\lambda$ et $\mu$. A quelle condition les fonctions $G$ et $H$ forment-elles une base de l’espace des solutions de (E) ? 15. II.F - R\'esoudre les \'equations diff\'erentielles pr\'ec\'edentes et obtenir $G(x)$ et $H(x)$ sous une forme simple mettant en \'evidence la d\'ependance par rapport aux conditions initiales.} 16. III.A - On suppose que $f$ est CDI$(\alpha)$. D\'emontrer que pour tout nombre complexe $p$ dont la partie r\'eelle est strictement sup\'erieure \`a $\alpha$, $\mathrm{Lap}(f)(p)$ est une int\'egrale convergente. 17. III.B - On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, +\infty[$ et que $f$ est CDI$(\alpha)$. D\'emontrer que pour tout nombre complexe $p$ dont la partie r\'eelle est strictement sup\'erieure \`a $\alpha$, $\mathrm{Lap}(f')(p)$ est une int\'egrale convergente et calculer $\mathrm{Lap}(f')(p)$ en fonction de $\mathrm{Lap}(f)(p)$, de $p$ et de $f(0)$. 18. III.C - Pour une suite $(u_n)$ quelconque de nombres r\'eels, on rappelle que les s\'eries $S$ et $G$ ont \'et\'e d\'efinies respectivement dans les sections I.D et I.F par les formules : \[S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n z^n \quad \text{et} \quad G(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!}z^n\] 19. III.D - On souhaite appliquer la formule pr\'ec\'edente aux s\'eries $S$ et $G$ associ\'ees \`a la suite r\'ecurrente $u$ \'etudi\'ee dans la Partie I. (par les fomules (2) et (4)). Utiliser la lin\'earit\'e de Lap et les r\'esultats pr\'ec\'edents pour transformer l’\'equation diff\'erentielle concernant $t \mapsto G(t)$ en une \'equation ordinaire concernant $S$. V\'erifier que l’on retrouve l’expression d\'ej\`a obtenue en I.E. 20. IV.A.1) Etablir l’encadrement : $\forall (u, v) \in \mathbb{R}^2,\, -u^2 - v^2 \leq 2uv \leq u^2 + v^2$.} 21. IV.A.2) D\'emontrer que, pour tout $n$, $\omega(n)$ n’est jamais nul. Obtenir, pour $n > 1$, un encadrement de la forme : $\alpha(n) \leq \frac{\omega(n+1)}{n^2 \omega(n)} \leq \beta(n)$ o\`u les quantit\’es $\alpha(n)$ et $\beta(n)$ ont des limites finies quand $n \to \infty$. 22. IV.B.1) En utilisant la formule (11), d\’emontrer que $S(z)$ et $T(z)$ ont le m\^eme rayon de convergence. Quel est ce rayon de convergence commun (on pourra utiliser la section A.) ? 23. IV.B.2) D\’emontrer que $G(z)$ et $H(z)$ ont le m\^eme rayon de convergence et qu’il est sup\’erieur \`a $\frac{1}{\max (|a|, |d|)}$. 24. IV.C – Soit $q$ la suite de terme g\’en\’eral $q_n = \frac{u_n}{n v_n}$. Ecrire la relation de r\’ecurrence existant entre $q_n$ et $q_{n+1}$. On obtiendra une fonction $z \mapsto \varphi_n(z)$ (d\’ependant du param\`etre $n$) telle que : $q_{n+1} = \varphi_n(q_n)$ avec $q_n = \frac{u_n}{n v_n}$. 25. IV.D – Ecrire une s\’equence d’instructions permettant le calcul des valeurs successives de $q_n$ en fonction de la valeur initiale $q_1 = q_1$ entr\’ee en param\`etre et s’arr\^etant lorsque la variation entre $q_{n+1}$ et $q_n$ devient inf\’erieure \`a une pr\’ecision donn\’ee, $\varepsilon$.} 26. IV.E – Partir des relations \’evidentes : $\sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1} – a n u_n – b v_n) \frac{x^n}{n!} = 0$ et $\sum_{n=0}^{\infty} (v_{n+1} – c u_n – d n v_n) \frac{x^n}{n!}=0$ et obtenir, dans un domaine que l’on pr\’ecisera, un syst\`eme diff\’erentiel du premier ordre v\’erifi\’e par les fonctions $x \mapsto G(x)$, $x \mapsto H(x)$. 27. IV.F – En d\’eduire une \’equation diff\’erentielle du deuxi\`eme ordre v\’erifi\’ee par la fonction $G$. Faire de m\^eme pour $H$. 28. IV.G – D\’emontrer que l’\’equation du deuxi\`eme ordre en $G$ poss\`ede une solution polynomiale non nulle si et seulement si $\frac{bc}{ad}$ est le carr\’e d’un nombre entier.}FAQ
Ce sujet aborde les suites récurrentes linéaires, les séries entières ordinaires et exponentielles, le calcul matriciel (diagonalisation), les équations différentielles, le rayon de convergence des séries, la transformée de Laplace, ainsi que diverses méthodes algorithmiques pour la manipulation des suites récurrentes. Chaque notion est traitée dans différents contextes, du calcul explicite à l’analyse fine de convergence et de structure algébrique.
Pour résoudre une suite récurrente linéaire du type u_{n+1} = a u_n + b, il faut identifier la solution générale de l’équation homogène (raccrochée à l’exponentielle ou à la puissance de a), étudier la solution particulière, puis utiliser les conditions initiales. La rédaction rigoureuse, le passage à la forme explicite, et les liens avec les outils de calculs matriciels ou d’analyse fonctionnelle sont essentiels.
Le rayon de convergence d’une série entière, qu’elle soit ordinaire ou exponentielle, délimite le domaine de validité de la série comme fonction analytique. Savoir calculer ce rayon, le discuter selon les cas particuliers (par exemple selon la valeur de a), et l’interpréter géométriquement ou analytiquement, te permettra de bien traiter les questions de convergence, toujours présentes dans ce type de sujet.
Les séries exponentielles transforment les relations de récurrence en équations différentielles par identification des termes ou manipulation des séries dérivées. Cela crée un pont puissant entre algèbre et analyse, très valorisé par les jurys des concours. Maîtriser ces passage te permet non seulement de résoudre le sujet, mais aussi de comprendre des méthodes utiles en mathématiques appliquées et en physique.
La transformée de Laplace relie l’étude des suites, séries et fonctions par une approche intégrale, utile pour traiter des équations différentielles et passer des domaines discrets au continu. Le sujet 2008 te propose de manipuler la linéarité de la transformée, son utilisation sur les dérivées, et sa convergence. Ce genre de questions développe ta polyvalence en mathématiques et rassemble de nombreuses méthodes vues en CPGE.
Beaucoup d’élèves oublient l’analyse détaillée du spectre de la matrice (valeurs propres et diagonalisation), la vérification des conditions de commutativité, ou la prise en compte des cas dégénérés (valeurs propres égales, matrices non diagonalisables). Prends toujours soin d’écrire l’expression matricielle générale, de justifier la diagonalisation, et de t’intéresser aux cas limites pour ne pas perdre de points bêtement.
Les concours Centrale-Supélec apprécient que tu saches passer de la théorie à la pratique algorithmique, que ce soit par des itérations naïves ou optimisées, ou par des calculs directs utilisant des formules explicites. Cela démontre ta compréhension profonde et ta capacité d’abstraction. Exprime toujours tes algorithmes clairement et commente ton code, même de façon littéraire, pour maximiser des points sur ces exercices.
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