Questions du sujet
1. I.A – Déterminer le développement en série entière de $I_0$ de la fonction $I_p(x) = \int_0^x t^p e^{-t^2/2} dt$. 2. I.B.1) Donner la solution générale de l’équation (E) $y’= -\frac{1}{x}y + x^2 + e^{x^2/2}$. 3. I.B.2) On désigne par $f$ la solution de (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 1$. Donner l’expression de $f$. Montrer que $f$ s’annule pour une seule valeur réelle de notée $\alpha$. 4. I.B.3.a) Déterminer préalablement un intervalle $[\alpha_1,\alpha_2]$ de longueur $1$ contenant $\alpha$. Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut l’appliquer à partir de l’intervalle $[\alpha_1,\alpha_2]$. 5. I.B.3.b) Écrire un algorithme, mettant en œuvre la méthode de Newton, permettant de déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-6}$ près. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.} 6. I.B.3.c) Déterminer par l’algorithme mis en place une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-6}$ près. 7. II.A.1) Calculer $I_1$. 8. II.A.2) Trouver une relation entre $I_p$ et $I_{p-2}$, pour $p \ge 2$. 9. II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel $k$, il existe une constante $\lambda_k$ et un polynôme $A_k$ tels que : $\forall x\in\mathbb{R},\, I_{2k+1}(x)=\lambda_k e^{-x^2/2} + A_k(x)$. 10. II.B.2) Déterminer $\lambda_k$ et $A_k$.} 11. II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel $k$, il existe une constante $\mu_k$ et un polynôme $B_k$ tels que : $\forall x\in\mathbb{R},\, I_{2k}(x)=\mu_k I_0(x) + e^{-x^2/2}B_k(x)$. 12. II.C.2) Déterminer $\mu_k$ et le degré de $B_k$. 13. II.D.1) Si le degré de $P$ est égal à $n$, que peut-on dire du degré du polynôme : $1+P'(X)-xP(X)$~? 14. II.D.2) Montrer qu’il n’existe pas de polynôme $P$ tel que $I_0(x)+P(x)e^{-x^2/2}$ soit une constante. 15. III.A.1) Montrer que $\varphi$ est une application linéaire sur $E$.} 16. III.A.2) Déterminer le noyau de $\varphi$. 17. III.A.3) L’application $\varphi$ est-elle injective~? surjective~? 18. III.A.4) Expliciter $g$ à l’aide d’une constante et de $e^{-t^2/2}\int_0^x g(t)dt$. 19. III.B.1) Quelle est l’image de $E$ par $\varphi$~? 20. III.B.2) Résoudre l’équation différentielle~: $y”-2xy’+(x^2-1)y=0$.} 21. III.C.1) Résoudre $\varphi^2(f)=0$. 22. III.C.2) Résoudre $\varphi^n(f)=0$. 23. IV.A – $\varphi_0$ est-elle injective~? surjective~? 24. IV.B.1) Montrer que pour tout entier naturel, $\varphi_0^n (P) = \varphi_0(P)$. 25. IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à $\text{Im }\varphi_0$.} 26. IV.C.1) Déterminer un polynôme $P$ tel que $\varphi_0(Q_q) = P$. 27. IV.C.2) Montrer que pour tout entier naturel non nul, le polynôme $Q_k(X)$ est élément de $\mathcal{P}$. 28. IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels $\text{Vect}(X, X^3, \ldots, X^{2n+1})$ et $\mathcal{P}$ sont en somme directe. 29. IV.C.4) Montrer que $\text{Vect}(X, X^3, \ldots, X^{2n+1}) \oplus \mathcal{P} = \mathbb{R}[X]$. 30. V.A – Donner la solution générale de l’équation (l’expression de cette solution utilise la fonction $H$).} 31. V.B – Déterminer une fonction impaire, développable en série entière et solution de l’équation. Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière~? 32. V.C – À l’aide des questions précédentes, calculer: $g(1)=\int_0^1 \frac{1}{t^2+e^{t^2/2}}dt$.}FAQ
Pour trouver le développement en série entière d’une intégrale comportant un terme exponentiel, tu dois généralement développer l’exponentielle en série, puis intégrer terme à terme, en faisant attention aux bornes et à la convergence. C’est typiquement un exercice où l’analyse, la maîtrise du calcul intégral et les séries entières s’entrecroisent, compétence incontournable pour performer au concours Centrale en filière PSI. N’hésite pas à débloquer les corrigés pour avoir une méthode détaillée pas à pas !
Devant une équation différentielle linéaire du premier ordre non homogène, il te faut d’abord identifier la structure de la solution (variation de la constante, méthode de l’intégrateur, etc.), puis rédiger la solution générale en distinguant solution du problème homogène et une particulière. Ce type de question t’aide à consolider tes bases sur les équations différentielles classiques rencontrées chaque année aux concours. Les corrigés détaillés te guideront dans la rédaction attendue par les jurys.
La démarche consiste à encadrer la racine grâce à une étude de signe, puis à mettre en place un algorithme itératif via la méthode de Newton-Raphson pour la déterminer à la précision voulue. Savoir justifier le choix de l’intervalle initial et rédiger l’algorithme (souvent en pseudo-code ou langage Python) sont des compétences clés en PSI. Si tu bloques sur la syntaxe ou la justification, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster pour accéder à des algorithmes commentés et à un dashboard de suivi de ta progression.
Elles permettent de calculer efficacement toute une famille d’intégrales à partir de cas plus simples, en exploitant l’intégration par parties et la structure polynomiale des intégrants. C’est aussi l’occasion de manipuler la récurrence, outil transversal pour résoudre des suites ou des familles de fonctions, fréquent aussi bien en mathématiques qu’en physique en PSI.
Pour les applications linéaires sur $\mathbb{R}[X]$, tu dois savoir identifier leur noyau, leur image, tester leur injectivité et surjectivité, et parfois déterminer des polynômes propres ou invariants. Les outils fondamentaux sont là : rang, dimension, théorème du rang, théorie des sous-espaces, et parfois lien avec les équations différentielles. Entraîne-toi à appliquer la caractérisation des sous-espaces pour briller sur ces sujets !
La méthode de Newton est une technique d’approximation rapide de racines de fonctions différentiables. Elle consiste à partir d’un point d’initialisation et à affiner l’approximation à l’aide de la dérivée de la fonction. En concours, tu dois savoir la justifier théoriquement, l’implémenter en code, et te servir des résultats pour répondre à une question annexe (encadrement d’une racine, convergence, résolution d’équation).
Les propriétés de parité simplifient souvent les calculs et permettent de cibler le développement approprié (seuls les monômes de certains degrés survivront). Les séries entières sont au cœur des développements analytiques, notamment pour résoudre ou caractériser des solutions d’équations différentielles ou d’intégrales. Cette maîtrise est un vrai marqueur de la maturité mathématique attendue aux concours de Centrale. Tu veux voir comment ça tombe concrètement ? Débloque les corrigés !
Il faut d’abord chercher une transformation adaptée (souvent une substitution ou une tentative de lien avec des polynômes classiques comme Hermite ou Laguerre), puis écrire la solution générale, en développant selon les cas la méthode des séries ou des intégrales particulières. Ce type d’équation est classique aux oraux et écrits des concours, travailler dessus avec des corrigés complets t’apprend rapidement à reconnaître les familles d’équations et les pièges à éviter.
Souvent, il s’agit de montrer que cette expression n’est pas constante, à moins que le polynôme soit nul. Ce sont des questions qui t’aident à distinguer solutions triviales et non triviales, et à démontrer par l’absurde en utilisant l’indépendance linéaire de fonctions particulières. C’est une gymnastique d’argumentation logique très appréciée au concours.
Travaille régulièrement les sujets anciens et croise tes révisions entre analyse, algèbre linéaire et méthodes numériques. Mets-toi dans les conditions du concours, rédige proprement et surtout compare ta méthode avec celle d’un corrigé expert. Chez Prépa Booster, tu retrouveras les corrigés des écrits, des exercices détaillés et un dashboard personnalisé pour suivre tes progrès – un vrai plus pour atteindre tes objectifs !