Questions du sujet
1. Montrer que le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\in\mathbb N} a_n x^n$ vaut :\\
$R = \left\{ \begin{array}{ll}
1 & \text{si}\ \alpha \notin \mathbb N \\
+\infty & \text{sinon}
\end{array}\right.$
2. Donner, sans justification supplémentaire, l’expression de la fonction somme de la série entière $\sum_{n\in\mathbb N} a_n x^n$ sur $] -R, R[$.
3. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $b_n = \frac{(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^2}$. Montrer que, pour tout $x\in ]-1,1[$,\\
$\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n x^n$.
4. Déterminer un équivalent simple de la suite $(b_n)_{n\in\mathbb N}$. En déduire la nature de la série $\sum_{n\in\mathbb N} (-1)^{n+1} b_n$.
5. Montrer que la série entière $\sum_{n\in\mathbb N} (-1)^{n+1} b_n x^n$ converge uniformément sur $[-1,1]$ et en déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n+1} b_n$.}
6. Montrer que $\sqrt{2} = \sum_{k=0}^n (-1)^{k+1} b_k + O_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$.
7. Montrer, par récurrence sur $n\in\mathbb N$, que, pour tout $n\in\mathbb N$, $c_n(a)$ est bien défini et que $c_n(a) > 0$.
8. Pour tout $n\in\mathbb N$, donner une expression de $c_{n+1}(a)^2 – a$ faisant intervenir $(c_n(a)^2 – a)^2$. En déduire que, pour tout $n\geq 1$, $c_n(a) \geq \sqrt{a}$.
9. Montrer que $(c_n(a))_{n\in\mathbb N}$ converge vers $\sqrt{a}$.
10. Calculer $c_1(2)$. À l’aide de la question Q8, montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$,\\
$c_n(2)^2 – 2 \leq 8\left(\frac{1}{32}\right)^{2^{n-1}}$.\\
En déduire que $\sqrt{2} = c_n(2) + O_{n\to +\infty}\left(\left(\frac{1}{32}\right)^{2^{n-1}}\right)$.}
11. Parmi les deux suites $\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$ et $\left(\left(\frac{1}{32}\right)^{2^{n-1}}\right)$, déterminer celle qui converge le plus vite vers zéro.
12. Écrire une suite d’instructions en Python permettant, grâce à la méthode de la question Q10, d’obtenir une approximation de $\sqrt{2}$ avec 10 décimales correctes.
13. Rappeler sans démonstration la description des matrices de $O(2)$.\\
On décrira leurs coefficients en fonction d’un paramètre $\theta\in\mathbb R$.
14. Déterminer les racines carrées de $I_2$ appartenant à $O(2)$. Que peut-on conclure quant au nombre de racines carrées de $I_2$?
15. Rappeler sans démonstration la condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre d’une matrice symétrique pour qu’elle soit positive.}
16. Soit $M\in S_q^+(\mathbb R)$. Déterminer une matrice $B\in S_q^+(\mathbb R)$ telle que $B^2=M$.
17. Montrer que $B$ est la seule racine carrée de $M$ appartenant à $S_q^+(\mathbb R)$.\\
On note alors $\sqrt{M}$ l’unique racine carrée symétrique positive de $M$.
18. Montrer, par récurrence sur $n\in\mathbb N$ que, pour tout $n\in\mathbb N$,\\
$M_n$ est bien définie et que $M_n = P \operatorname{diag}(c_n(\lambda_1), \dots, c_n(\lambda_q)) P^T$.
19. En déduire que la suite $(M_n)_{n\in\mathbb N}$ converge vers $\sqrt{M}$.
20. Que dire du nombre du nombre de points d’annulation de $f$ sur $I$ ?}
21. Soit $r>0$ tel que $J_r\subset I$. Justifier que $s_r = \sup_{J_r} |f”|$ et $i_r = \inf_{J_r}|f’|$ sont bien définis et que $i_r>0$.\\
On note $K_r = \frac{s_r}{2i_r}$.
22. Justifier qu’il existe $r>0$ tel que $0\leq rK_r < 1$. 23. On suppose que $n\in\mathbb N$ et $c_n\in J_r$. À l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que\\ $|c_{n+1}-c| \leq K_r |c_n-c|^2$,\\ puis en déduire que $c_{n+1}\in J_r$. 24. Montrer que, si $c_0\in J_r$, alors, pour tout $n\in\mathbb N$,\\ $|c_n-c| \leq (K_r |c_0-c|)^{2^n} / K_r$\\ et conclure. 25. On désigne dans cette question par \texttt{df} la fonction Python représentant $f'$. Écrire une fonction Python\\ \texttt{newton(c0, f, df)} prenant en arguments le réel $c_0$ et les fonctions $f$ et $f'$ et renvoyant, si la suite $(c_n)_{n\in\mathbb N}$ converge, une valeur approchée de $c$ et la valeur \texttt{None} si $(c_n)_{n\in\mathbb N}$ diverge.\\ On pourra convenir ici que la suite $(c_n)_{n\in\mathbb N}$ converge si on trouve un $n\leq 50$ tel que $|f(c_n)|<10^{-10}$, et qu’elle diverge sinon.} 26. Montrer que, pour toute racine complexe $\mu$ de $P'$, la matrice $M-\mu I_q$ est inversible. En déduire que $P'(M)$ est inversible. 27. Montrer que le polynôme caractéristique $\chi_M$ de $M$ divise $P^q$. En déduire que $P(M)$ est nilpotente. 28. Montrer que la suite $(M_n)_{n\in\mathbb N}$ est stationnaire. 29. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, les matrices $M$ et $M_n$ commutent. 30. On note $A$ la limite de $(M_n)_{n\in\mathbb N}$. Montrer que $A$ est diagonalisable.} 31. On pose $N = M-A$. Justifier que $A$ et $N$ commutent et que $N$ est nilpotente. 32. En utilisant le développement limité en 0 de la fonction $x\mapsto \sqrt{1+x}$, montrer qu’il existe un polynôme $R_q\in\mathbb R[X]$ tel que $X^q$ divise $1+X - R_q(X)^2$. 33. En déduire l’expression d’une racine carrée de $I_q + N$ lorsque $N$ est une matrice nilpotente. 34. Justifier que $A$ et $N$ sont à coefficients réels et que $A$ est diagonalisable dans $\mathcal M_q(\mathbb R)$. 35. Montrer que le spectre de $A$ est inclus dans $\mathbb R^*_+$.} 36. Justifier que la méthode de Héron d’Alexandrie de la sous-partie II.C peut être appliquée à la matrice $A$ afin d’obtenir une racine carrée $A'$ de $A$. En déduire l’expression d’une racine carrée de $M$.}