Questions du sujet
1. Question de cours. Démontrer que $M_{\mathcal{E},\mathcal{G}}(g \circ f) = M_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(g) M_{\mathcal{E},\mathcal{F}}(f)$. 2. En déduire qu’il existe deux matrices $P$ et $Q$ appartenant à $GL_n(\mathbb{R})$ telles que $M_{\mathcal{F},\mathcal{G}}(f) = P M_\mathcal{E}(f) Q$. 3. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $M$ et $X$ un vecteur propre associé. Montrer que, pour tout entier naturel $k$, $M^k X = \lambda^k X$. 4. En déduire que, si $\Pi \in \mathbb{R}[X]$ est un polynôme annulateur de $M$, alors toute valeur propre complexe de $M$ est une racine dans $\mathbb{C}$ de $\Pi$. 5. Vérifier que, pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\Gamma_A$ appartient à $\mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$.} 6. Démontrer que, si $A$ appartient à $GL_n(\mathbb{R})$, alors $\Gamma_A$ conserve le rang. 7. Démontrer que l’application $\Gamma : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$, $A \mapsto \Gamma_A$ est linéaire et injective. 8. Démontrer que $\forall k \in \mathbb{N}$, $\Gamma_{A^k} = (\Gamma_A)^k$. 9. En déduire que, pour tout polynôme $\Pi$ de $\mathbb{R}[X]$, $\Gamma_{\Pi(A)} = \Pi(\Gamma_A)$. 10. À l’aide du résultat précédent, démontrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\Gamma_A$ est diagonalisable.} 11. Démontrer que $\chi_A$ est un polynôme annulateur de $\Gamma_A$ et que $\chi_{\Gamma_A}$ est un polynôme annulateur de $A$. 12. En déduire que $Sp_\mathbb{C} (\Gamma_A) = Sp_\mathbb{C}(A)$. 13. Démontrer que $\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2$ est stable par composition, c’est-à-dire que $\forall (\Theta, \Theta’) \in (\mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2)^2,~ \Theta \circ \Theta’ \in \mathcal{L}_1 \cup \mathcal{L}_2$. 14. Montrer que $\Phi_{P,Q}$ et $\Psi_{P,Q}$ sont des automorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et préciser leurs applications réciproques. 15. Montrer que $\Phi_{P,Q}$ et $\Psi_{P,Q}$ conservent le rang.} 16. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $P$ et $Q$ pour que $\Phi_{P,Q}$ et $\Psi_{P,Q}$ conservent le déterminant. 17. Montrer que $\Phi_{P,P^{-1}}$ et $\Psi_{P,P^{-1}}$ conservent le polynôme caractéristique. 18. Montrer que $\mathcal{T} \in \mathcal{L}_2$ et $\mathcal{T} \notin \mathcal{L}_1$. 19. En déduire que les ensembles $\mathcal{L}_1$ et $\mathcal{L}_2$ sont disjoints. 20. Déterminer $M_{\mathcal{B},\mathcal{B}’}(f)$.} 21. Montrer que la famille $(f(e_1),…,f(e_k))$ est libre. 22. Justifier que $k < n$. 23. On complète la famille $(f(e_1), ..., f(e_k))$ en une base $\mathcal{B}' = (f(e_1), ..., f(e_k), f_{k+1}, ..., f_n)$ de $\mathbb{R}^n$. Déterminer $M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$. 24. Montrer qu’il existe deux matrices $P$ et $Q$ de $GL_n(\mathbb{R})$ telles que $M = \Phi_{P,Q}(J_{n,r})$. 25. Montrer qu’il existe deux matrices $P_2$ et $Q_2$ de $GL_2(\mathbb{R})$ telles que $A = P_2 \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} Q_2$~ et~ $B = P_2 \begin{pmatrix}0 & 0 \\ \alpha & \beta\end{pmatrix} Q_2$~ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels, non tous deux nuls.} 26. Expliciter la matrice de la transposition $\mathcal{T}$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Cette matrice de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ sera notée $T$. 27. Justifier sans calcul que $T$ est diagonalisable. 28. Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\mathcal{T}$. 29. Montrer que la matrice, dans la base $\mathcal{B}_{ca}$, de l’endomorphisme $\Phi_{P,Q}$ est de la forme $\left( \begin{array}{cc} a U & b U \\ c U & d U \\ \end{array} \right)$, où $U$ est un élément de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ à déterminer. 30. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.} 31. Déterminer les rangs de $\Phi(B_1)$, $\Phi(B_4)$, $\Phi(B_1+B_4)$. En déduire l’existence de deux matrices $P_1$ et $Q_1$ de $GL_2(\mathbb{R})$, telles que : $\Phi_{P_1,Q_1} \circ \Phi(B_1) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ et $\Phi_{P_1,Q_1} \circ \Phi(B_4) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ \alpha & \beta\end{pmatrix}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels tels que $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$. On adopte alors les notations suivantes : $\Phi' = \Phi_{P_1,Q_1} \circ \Phi,~ M' = M_{\mathcal{B}_{ca}}(\Phi')$. Pour tout $j \in \{1,2,3,4\}$, $B'_j = \Phi'(B_j)$ et $C_j = (a_j,b_j,c_j,d_j)^\top$ désigne la $j$-ième colonne de la matrice $M'$. 32. Déterminer $C_1$ et $C_4$. 33. Démontrer que $\forall i \in \{1,2,3,4\}, ~ a_i d_i - b_i c_i = 0$. 34. En considérant le rang des matrices $B'_1+B'_2$ et $B'_1+B'_3$, démontrer que $d_2 = d_3 = 0$. On déduit des deux questions précédentes que $b_2 c_2 = b_3 c_3 = 0$. 35. On suppose que $c_2 = 0$. En étudiant $\det(M')$, démontrer que les nombres $b_2, c_3, d_4$ sont tous trois non nuls.} 36. En utilisant les résultats de la question précédente et en considérant les rangs des matrices $B'_3 + B'_4$, $B'_2 + B'_4$ et $B'_1 + B'_2 + B'_3 + B'_4$, démontrer que \[ M' = \begin{pmatrix} 1 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_3 & c_4 \\ 0 & 0 & 0 & d_4 \end{pmatrix} \] avec $c_4 = a_2 c_3$ et $d_4 = b_2 c_3$. 37. En déduire que $\Phi$ appartient à $\mathcal{L}_1$. 38. On suppose à présent que $c_2 \neq 0$. Démontrer que la matrice, dans la base $\mathcal{B}_{ca}$, de l’endomorphisme $\Phi' \circ \mathcal{T}$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est égale à \[ \begin{pmatrix} 1 & a_3 & a_2 & 0 \\ 0 & b_3 & 0 & 0 \\ 0 & c_3 & c_2 & c_4 \\ 0 & 0 & 0 & d_4 \end{pmatrix} \] . 39. Démontrer que $c_3 = 0$. 40. En déduire que $\Phi$ appartient à $\mathcal{L}_2$.} 41. Montrer que $A$ est de rang 1. 42. La partie III assure l’existence de deux éléments $P$ et $Q$ de $GL_2(\mathbb{R})$ tels que $A = P J_{2,1} Q$. On pose alors $N = P (I_2 - J_{2,1}) Q$. En calculant de deux manières différentes $\det(A + N)$, aboutir à une absurdité et conclure que $\Phi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. 43. En discutant selon les valeurs possibles du rang, démontrer que $\Phi$ conserve le rang. 44. Caractériser les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conservent le déterminant. 45. Démontrer que l’application $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}~,~M \mapsto \operatorname{tr}(M)$ est une forme linéaire vérifiant $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,~\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$.} 46. Montrer que l’application $(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2 \to \mathbb{R}~,~(A,B) \mapsto \operatorname{tr}(A^\top B)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. 47. En déduire que, si une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),~\operatorname{tr}(AM) = 0$, alors $A=0$. 48. Démontrer qu’un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conserve le polynôme caractéristique conserve également le déterminant et la trace. 49. Caractériser les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui conservent le polynôme caractéristique.}FAQ
Pour briller sur ce type de sujet, tu dois savoir manipuler les matrices de passage, comprendre à fond le produit matriciel et surtout la façon dont une application linéaire change de représentation selon la base. Les matrices de passage, la similarité, la question des valeurs propres et vecteurs propres, tout ça doit être limpide. N’oublie pas non plus les liens entre application et matrices (ex : la formule pour la matrice d’un composé).
Ces endomorphismes sont essentiels pour modéliser les actions “naturelles” sur les matrices, comme la conjugaison et la multiplication à gauche ou à droite. Par exemple, \( \Gamma_A \) permet d’étudier la stabilité de certaines propriétés (diagonalisabilité, rang, déterminant, etc.) lorsqu’on agit sur l’espace des matrices. Ce sont des notions qui interviennent tout le temps dès que tu abordes la structure des algèbres de matrices en profondeur, en PC comme dans toute la filière scientifique.
Comprendre les valeurs propres et le polynôme caractéristique, c’est la clé pour tout ce qui touche à la diagonalisabilité, aux polynômes annulateurs, et à la décomposition spectrale. Dans le sujet Centrale PC 2023, on exploite à fond les liens entre les spectres de certains endomorphismes. Retenir que les valeurs propres renvoient à des invariants puissants, qui conditionnent la structure des matrices et la possibilité de simplifier les calculs ! Entraîne-toi à démontrer les implications, par exemple que les valeurs propres de \( \Gamma_A \) et de A sont les mêmes.
Ce sont trois niveaux d’exigence différents ! Un endomorphisme qui conserve le rang ne conserve pas toujours le déterminant, et inversement. La stabilité du polynôme caractéristique est le critère le plus fort : si tu démontres qu’une application sur les matrices conserve ce polynôme, tu obtiens en cadeau la conservation du déterminant ET de la trace. Ces liens sont classiques dans les sujets de concours, où tu dois savoir caractériser et reconnaître en un clin d’œil les automorphismes importants de l’espace \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \).
La méthode : lis le sujet rapidement pour repérer de grandes parties et les principales notions (ici : applications linéaires, matrices, endomorphismes spéciaux, invariants…). Repère les questions classiques qui reviennent d’une année sur l’autre (changement de base, diagonalisation, polynômes annulateurs…). N’hésite pas à travailler sur les corrigés détaillés de Prépa Booster une fois l’épreuve terminée, tu pourras y comprendre les points clés qui font la différence le jour du concours et t’entraîner sur des exercices types et variés.
Sois vigilant sur les conditions de diagonalisabilité : il te faut assez de valeurs propres distinctes OU vérifier que la dimension de chaque sous-espace propre colle (égalité géométrique/algébrique). Utilise les outils classiques : polynôme minimal scindé, matrices semblables, conjugaisons, propriétés des applications comme \( \Gamma_A \). Entraîne-toi sur des corrigés du type de ceux proposés sur Prépa Booster pour voir les rédactions attendues au concours.
La trace et le déterminant sont des outils de diagnostic phénoménaux : ils donnent des indications sur les valeurs propres, le rang, et permettent de détecter une similitude avec une matrice canonique. Par exemple, une matrice de rang 1 aura souvent majorité de coefficients nuls, une valeur propre non nulle, etc. N’oublie pas que généralement, on utilise trace et déterminant pour vérifier des conjectures issues des calculs ou des propriétés des applications linéaires.
Absolument ! Les concepts abordés dans cette épreuve sont récurrents dans la plupart des concours scientifiques : Mines-Ponts, CCP, X, Agro, etc. Dès que tu t’attaques à l’algèbre linéaire et aux applications sur les matrices, ce sont toujours les mêmes outils et raisonnements qui reviennent. Une bonne maîtrise ici, et tu seras prêt partout. Pour progresser sur tout ça, pense à débloquer les corrigés écrits sur Prépa Booster : tu y retrouveras une grande variété d’exercices et des explications détaillées.