Questions du sujet
1.
Dans cette question uniquement, $n$ est un entier naturel non nul quelconque. Déterminer $J_n^2$ et montrer que $J_n \in Sp_{2n}(\mathbb{R}) \cap \mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})$.
2.
Montrer qu’une matrice de taille $2 \times 2$ est symplectique si et seulement si son déterminant est égal à $1$.
3.
Soit $M$ une matrice orthogonale de taille $2\times2$. On note $M_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ et $M_2 = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ les deux colonnes de $M$. Montrer l’équivalence
\[
M \text{ est symplectique } \iff M_2 = -J_1 M_1.
\]
4.
Soit $X_1 \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ de norme 1. Montrer que la matrice carrée constituée des colonnes $X_1$ et $-J_1 X_1$ est à la fois orthogonale et symplectique.
5.
Soit $M$ une matrice de taille $2 \times 2$ symétrique et symplectique. Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont inverses l’une de l’autre. Montrer qu’il existe une matrice $P$ à la fois orthogonale et symplectique telle que $P^{-1} M P$ soit diagonale.
}
6.
Déterminer les matrices de taille $2 \times 2$ à la fois antisymétriques et symplectiques et montrer qu’elles ne sont pas diagonalisables dans $\mathbb{R}$.
7.
Montrer que $\varphi$ est une forme bilinéaire sur $\mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$.
8.
En calculant de deux manières $\varphi(X, X)^\top$, montrer que $\varphi$ est alternée. Montrer de même que $\varphi$ est antisymétrique.
9.
Pour tout $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_{2n} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$ et pour tout $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_{2n} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$, montrer l’égalité
\[
\varphi(X,Y) = \sum_{k=1}^n (x_k y_{k+n} – x_{k+n} y_k).
\]
10.
Montrer que pour tout $(i,j) \in \{1, \dots, 2n\}^2$, $\varphi(e_i, e_j) = \delta_{i+n, j} – \delta_{i, j+n}$ (on pourra commencer par le cas où $(i,j) \in \{1,\dots,n\}^2$ puis généraliser).
}
11.
Montrer que pour tout $X \in \mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$, $J_n X \in X^\perp$ et calculer $\varphi (J_n X, X)$.
12.
Si $Y \in \mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$, on note $Y_{J_n}$ l’ensemble des vecteurs $Z$ de $\mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$ tels que $\varphi(Y, Z) = 0$. Montrer que $X_{J_n} = (J_n X)^\perp$.
13.
Soit $P$ une matrice symplectique et orthogonale dont les colonnes sont notées $X_1, \dots, X_{2n}$. Montrer que, pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, 2n\}^2$,
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\|X_i\| = 1 \\
i \neq j \implies X_i \perp X_j \\
\varphi(X_i, X_j) = \delta_{i+n, j} – \delta_{i, j+n}
\end{array}
\right.
\]
14.
Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $X_{i,J_n} = X_{i+n}^\perp$.
15.
Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $X_{i+n} = -J_n X_i$.
}
16.
Montrer que le déterminant d’une matrice symplectique vaut soit $1$ soit $-1$.
17.
Montrer que l’inverse d’une matrice symplectique est une matrice symplectique.
18.
Montrer que le produit de deux matrices symplectiques est une matrice symplectique. L’ensemble $Sp_{2n}(\mathbb{R})$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ ?
19.
Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $M$, $1/\lambda$ est également valeur propre de $M$. Donner un vecteur propre associé.
20.
Soit $\lambda \in \operatorname{sp}_{\mathbb{R}}(M)$ et $p = \dim E_\lambda$. Soit $(X_1, \dots, X_p)$ une base de $E_\lambda$. Montrer que $(J_n X_1, \dots, J_n X_p)$ est une base de $E_{1/\lambda}$ et que $\dim (E_\lambda) = \dim (E_{1/\lambda})$.
}
21.
Soient $Y_1, \dots, Y_p$ des vecteurs de $\mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$. Soit $Y \in \mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$. Montrer l’implication
\[
Y \in (\operatorname{Vect}(Y_1,\dots,Y_p, J_n Y_1, \dots, J_n Y_p))^\perp \implies J_n Y \in (\operatorname{Vect}(Y_1,\dots,Y_p,Y, J_n Y_1, \dots, J_n Y_p))^\perp.
\]
22.
Dans cette question $\lambda = 1$. Montrer que $E_1$ est de dimension paire et qu’il existe une base de $E_1$ orthonormée de la forme $(X_1,…,X_p,J_n X_1,…,J_n X_p)$ où $2p$ est la dimension de $E_1$.
23.
Qu’en est-il pour $E_{-1}$~?
24.
Démontrer la propriété annoncée au début de la partie.
25.
Montrer que $A \in \mathcal{S}_4(\mathbb{R}) \cap Sp_4(\mathbb{R})$.
}
26.
Construire une matrice orthogonale et symplectique $P$ telle que $P^\top A P$ soit diagonale.
27.
Montrer l’égalité $\operatorname{sp}_\mathbb{R}(M) = \varnothing$.
28.
Montrer qu’il existe $P \in \mathcal{O}_{2n}(\mathbb{R}) \cap Sp_{2n}(\mathbb{R})$ tel que $P^\top M^2 P$ soit diagonale de coefficients diagonaux $d_1, \dots, d_{2n}$ avec pour tout $k \in \{1, \dots, n\}, d_{k+n} = 1/d_k$.
29.
Montrer que $M X$, $J_n X$ et $J_n M X$ sont des vecteurs propres de $M^2$ et donner les valeurs propres associées à chacun de ces vecteurs.
30.
Dans cette question et dans la suite, on note $F = \operatorname{Vect}(X, M X, J_n X, J_n M X)$. Montrer que $F$ est stable par $M$ et par $J_n$.
}
31.
Montrer que toutes les valeurs propres de $M^2$ sont strictement négatives.
32.
Justifier que si $\lambda \neq -1$, $F$ est un espace vectoriel de dimension $4$. Montrer que, dans ce cas,
\[
\left(X, -\frac{1}{\sqrt{-\lambda}} M X, -J_n X, \frac{1}{\sqrt{-\lambda}} J_n M X\right)
\]
est une base orthonormée de $F$. Donner alors la matrice de l’application $m_F$ induite par $m$ sur $F$ dans la base obtenue.
33.
Montrer que $F^\perp$ est stable par $M$ et par $J_n$.
34.
Montrer qu’il existe un entier naturel non nul $q$ et des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$, notés $F_1, \dots, F_q$ tels que
\begin{itemize}
\item[(a)] $F_1 \oplus \cdots \oplus F_q = \mathcal{M}_{2n,1}(\mathbb{R})$;
\item[(b)] $\forall i \in\{1, …, q\}$, $F_i$ est stable par $M$ et par $J_n$;
\item[(c)] $\forall i \in\{1, …, q\}$, $F_i^\perp$ est stable par $M$ et par $J_n$;
\item[(d)] $\forall(i, j) \in\{1, …, q\}^2, i \neq j \implies \forall(Y, Z) \in F_i \times F_j, \langle Y, Z \rangle = 0 = \varphi(Y, Z)$;
\item[(e)] $\forall i \in\{1, …, q\}, \dim F_i \in \{2, 4\}$;
\item[(f)] $\forall i \in\{1, …, q\}$, la matrice de l’application $m_{F_i}$ induite par $m$ sur $F_i$ dans une certaine base est de la forme
\[
J_1 \quad\text{ou}\quad \begin{pmatrix} \sqrt{-\lambda} J_1 & 0_{2,2} \\ 0_{2,2} & \frac{1}{\sqrt{-\lambda}} J_1 \end{pmatrix}.
\]
\end{itemize}
35.
Calculer $B^2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
}
36.
Déterminer un réel $a$ et une matrice $P$ tels que
\[
P \in \mathcal{O}_4(\mathbb{R}) \cap Sp_4(\mathbb{R}) \quad \text{et} \quad P^\top B P =
\begin{pmatrix}
0 & a & 0 & 0 \\
-a & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1/a \\
0 & 0 & -1/a & 0
\end{pmatrix}.
\]
}