Questions du sujet
1. Les sous-ensembles $T_n(\mathbb{K})$ et $T^+_n(\mathbb{K})$ sont-ils des sous-algèbres de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$~?
2. Les sous-ensembles $S_2(\mathbb{K})$ et $A_2(\mathbb{K})$ sont-ils des sous-algèbres de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$~?
3. On suppose $n\geq 3$. Les sous-ensembles $S_n(\mathbb{K})$ et $A_n(\mathbb{K})$ sont-ils des sous-algèbres de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$~?
4. Montrer que $\mathcal{A}_F$ est une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$.
5. Montrer que $\dim \mathcal{A}_F = n^2 – pn + p^2$. \\ On pourra considérer une base de $E$ dans laquelle la matrice de tout élément de $\mathcal{A}_F$ est triangulaire par blocs.}
6. Déterminer $\max\limits_{1 \leq p \leq n-1}(n^2 – pn + p^2)$.
7. Montrer que $\Gamma(\mathbb{K})$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$.
8. Montrer que $\Gamma(\mathbb{R})$ n’est pas une sous-algèbre diagonalisable de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
9. Montrer que
$\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. En déduire que $\Gamma(\mathbb{C})$ est une sous-algèbre diagonalisable de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$.
10. Préciser les matrices $J$ et $J^2$. (On pourra distinguer les cas $n=2$ et $n>2$.)}
11. Préciser les matrices $J^n$ et $J^k$ pour $2 \leq k \leq n-1$.
12. Quel est le lien entre la matrice $J(a_0,\ldots,a_{n-1})$ et les $J^k$, où $0 \leq k \leq n-1$~?
13. Montrer que $(I_n, J, J^2, \ldots, J^{n-1})$ est une base de $\mathcal{A}$.
14. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M$ commute avec $J$ si et seulement si $M$ commute avec tout élément de $\mathcal{A}$.
15. Montrer que $\mathcal{A}$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.}
16. Déterminer le polynôme caractéristique de $J$.
17. Montrer que $J$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.
18. La matrice $J$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$~?
19. Déterminer les valeurs propres complexes de $J$ et les espaces propres associés.
20. Le sous-ensemble $\mathcal{A}$ est-il une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$~?}
21. Montrer qu’il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que, pour toute matrice $A \in \mathcal{A}$, la matrice $P^{-1} A P$ est diagonale.
22. Soit $(a_0,\ldots,a_{n-1}) \in \mathbb{R}^n$. On note $Q \in \mathbb{R}[X]$ le polynôme $\sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$. \\
Quelles sont les valeurs propres complexes de la matrice $J(a_0,\ldots,a_{n-1})$~?
23. Montrer que l’application définie sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par $(A, B) \mapsto \langle A|B \rangle = \mathrm{tr}(A^\top B)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
24. Quelle relation a-t-on entre $d$ et $r$~?
25. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M$ appartient à $\mathcal{A}$ si et seulement si, pour tout $i \in \llbracket 1, r \rrbracket$, $\langle A_i, M \rangle = 0$.}
26. Montrer que pour toute matrice $N \in \mathcal{A}$ et tout $i \in \llbracket 1, r \rrbracket$, on a $N^\top A_i \in \mathcal{A}^\perp$.
27. Montrer que $\mathcal{A}^\top$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de même dimension que $\mathcal{A}$.
28. Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et soit $F = \mathrm{Vect}(A_1 X, \ldots, A_r X)$. Montrer que $F$ est stable par les endomorphismes de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ canoniquement associés aux éléments de $\mathcal{A}^\top$.
29. Montrer que $d \leq n^2 – n + 1$ et conclure.
30. Montrer que le résultat est vrai si $n=1$.}
31. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ distinct de $E$ et $\{0\}$ stable par tous les éléments de $\mathcal{A}$.
32. Montrer qu’il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que, pour tout $u \in \mathcal{A}$,
\[
\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) =
\begin{pmatrix}
A(u) & B(u) \\
0 & D(u)
\end{pmatrix}
\]
où $A(u) \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})$, $B(u) \in \mathcal{M}_{r,s}(\mathbb{C})$ et $D(u) \in \mathcal{M}_s(\mathbb{C})$.
33. Montrer que $\{A(u)\mid u\in\mathcal{A}\}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_r(\mathbb{C})$ constituée de matrices nilpotentes et que $\{D(u)\mid u\in\mathcal{A}\}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_s(\mathbb{C})$ constituée de matrices nilpotentes.
34. Montrer que $\mathcal{A}$ est trigonalisable.
35. Montrer qu’il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices des éléments de $\mathcal{A}$ appartiennent à $T^+_n(\mathbb{C})$.}
36. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $E$, $x$ étant non nul. Montrer qu’il existe $u\in \mathcal{A}$ tel que $u(x) = y$. \\ On pourra considérer dans $E$ le sous-espace vectoriel $\{u(x)\mid u\in \mathcal{A}\}$.
37. Soit $v\in \mathcal{A}$ de rang supérieur ou égal à $2$. Montrer qu’il existe $u\in \mathcal{A}$ et $\lambda\in \mathbb{C}$ tel que
\[
0 < \operatorname{rg}(v \circ u \circ v - \lambda v) < \operatorname{rg} v.
\]
Considérer $x$ et $y$ dans $E$ tels que la famille $(v(x), v(y))$ soit libre, justifier l’existence de $u\in \mathcal{A}$ tel que $u \circ v(x) = y$ et considérer l’endomorphisme induit par $v \circ u$ sur $\operatorname{Im} v$.
38. En déduire l’existence d’un élément de rang $1$ dans $\mathcal{A}$.
39. Montrer qu’il existe $u_1, \ldots, u_n \in \mathcal{A}$ de rang $1$ tels que $u_i(\epsilon_1) = \epsilon_i$ pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$.
40. Conclure.}