Questions du sujet
1. Montrer que $\mathrm{Toep}_n(\mathbb{C})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. En donner une base et en préciser la dimension. 2. Montrer que si deux matrices $A$ et $B$ commutent ($AB = BA$) et si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $\mathbb{C}[X]$, alors $P(A)$ et $Q(B)$ commutent. 3. Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}$ une matrice de Toeplitz de taille $2 \times 2$, où $(a, b, c)$ sont des complexes. Donner le polynôme caractéristique de $A$. 4. Discuter, en fonction des valeurs de $(a, b, c)$, de la diagonalisabilité de $A$. 5. Soit $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. Montrer que $M$ est semblable à une matrice de type $\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$ ou de type $\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}$, où $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des complexes avec $\alpha \neq \beta$.} 6. En déduire que toute matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est semblable à une matrice de Toeplitz. 7. Montrer que si l’on pose $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$, alors $(x_1, \dots, x_n)$ sont les termes de rang variant de $1$ à $n$ d’une suite $(x_k)_{k \in \mathbb{N}}$ vérifiant $x_0 = 0$, $x_{n+1} = 0$ et \[\forall k \in \mathbb{N},\quad b x_{k+2} + (a – \lambda) x_{k+1} + c x_k = 0.\] 8. Rappeler l’expression du terme général de la suite $(x_k)_{k \in \mathbb{N}}$ en fonction des solutions de l’équation \[ bx^2 + (a – \lambda)x + c = 0 \tag{I.1}\] 9. À l’aide des conditions imposées à $x_0$ et $x_{n+1}$, montrer que (I.1) admet deux solutions distinctes $r_1$ et $r_2$. 10. Montrer que $r_1$ et $r_2$ sont non nuls et que $r_1/r_2$ appartient à $\mathcal{U}_{n+1}$.} 11. En utilisant l’équation (I.1) satisfaite par $r_1$ et $r_2$, déterminer $r_1 r_2$ et $r_1 + r_2$. En déduire qu’il existe un entier $\ell \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et un nombre complexe $\rho$ vérifiant $\rho^2 = bc$ tels que \[\lambda = a + 2 \rho \cos\left(\frac{\ell \pi}{n+1}\right).\] 12. En déduire qu’il existe $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que, pour tout $k$ dans $\llbracket 0, n+1\rrbracket$, $x_k = 2i\alpha \left(\frac{\rho}{b}\right)^k \sin\left(\frac{\ell k \pi}{n+1}\right)$. 13. Conclure que $A_n(a, b, c)$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres. 14. Calculer $M_n^2, \dots, M_n^n$. Montrer que $M_n$ est inversible et donner un polynôme annulateur de $M_n$. 15. Justifier que $M_n$ est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées à l’aide de $\omega_n$) et donner une base de vecteurs propres de $M_n$.} 16. On pose $\Phi_n = (\omega_n^{(p-1)(q-1)})_{1\leq p,q\leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Justifier que $\Phi_n$ est inversible et donner sans calcul la valeur de la matrice $\Phi_n^{-1} M_n \Phi_n$. 17. Soit $A$ une matrice circulante. Donner un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $A = P(M_n)$. 18. Réciproquement, si $P \in \mathbb{C}[X]$, montrer, à l’aide d’une division euclidienne de $P$ par un polynôme bien choisi, que $P(M_n)$ est une matrice circulante. 19. Montrer que l’ensemble des matrices circulantes est un sous-espace vectoriel de $\mathrm{Toep}_n(\mathbb{C})$, stable par produit et par transposition. 20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.} 21. Montrer que si $M$ est dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, alors les propositions suivantes sont équivalentes : \begin{itemize} \item[i.] il existe $x_0$ dans $\mathbb{C}^n$ tel que $(x_0, f_M(x_0), \dots, f_M^{n-1}(x_0))$ est une base de $\mathbb{C}^n$ ; \item[ii.] $M$ est semblable à la matrice $C(a_0, \dots, a_{n-1})$ définie par \[ C(a_0, \ldots, a_{n-1}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix} \] où $(a_0, \ldots, a_{n-1})$ sont des nombres complexes. \end{itemize} 22. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $(u_1, \dots, u_n, \lambda_1, \dots, \lambda_n)$ pour que $(u, f_M(u), \dots, f_M^{n-1}(u))$ soit une base de $\mathbb{C}^n$. 23. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme diagonalisable soit cyclique. Caractériser alors ses vecteurs cycliques. 24. Soit $(a_0, …, a_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$. On s’intéresse aux éléments propres de la matrice $C(a_0, …, a_{n-1})$. Soit $\lambda$ un nombre complexe. En discutant dans $\mathbb{C}^n$ du système $C(a_0, …, a_{n-1}) X = \lambda X$, montrer que $\lambda$ est une valeur propre de $C(a_0, …, a_{n-1})$ si et seulement si $\lambda$ est racine d’un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ à préciser. 25. Si $\lambda$ est racine de ce polynôme, déterminer le sous-espace propre de $C(a_0, …, a_{n-1})$ associé à la valeur propre $\lambda$ et préciser sa dimension.} 26. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice cyclique soit diagonalisable. 27. Soient $M$ une matrice cyclique et $x_0$ un vecteur cyclique de $f_M$. On cherche à montrer que l’ensemble $\mathcal{C}(f_M) = \{g \in \mathcal{L}(\mathbb{C}^n) \mid f_M \circ g = g \circ f_M\}$ est l’ensemble des polynômes en $f_M$. \\ Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Montrer que $P(f_M) \in \mathcal{C}(f_M)$. 28. Soit $g \in \mathcal{C}(f_M)$. Montrer qu’il existe $(\alpha_0, \dots, \alpha_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$ tels que $g = \alpha_0 \mathrm{Id}_{\mathbb{C}^n} + \alpha_1 f_M + \cdots + \alpha_{n-1} f_M^{n-1}$.\\ On pourra utiliser la base $(x_0, f_M(x_0), \ldots, f_M^{n-1}(x_0))$ et exprimer $g(x_0)$ dans cette base. 29. Conclure. 30. Soit $N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix} $. Donner les valeurs propres de $N$ et les sous-espaces propres associés. Est-elle diagonalisable ?} 31. La matrice $N$ est-elle cyclique ? 32. Montrer que l’ensemble des matrices qui commutent avec $N$ est l’ensemble des matrices de Toeplitz triangulaires inférieures. 33. Montrer que si $i$ et $j$ sont dans $\llbracket -n+1, n-1 \rrbracket$, si $A \in \Delta_i$ et $B \in \Delta_j$, alors $AB \in \Delta_{i+j}$. 34. En déduire que si $A \in H_i$ et $B \in H_j$, alors $AB \in H_{i+j}$. 35. Soit $C$ une matrice nilpotente. Montrer que $I_n + C$ est inversible et que \[(I_n + C)^{-1} = I_n – C + C^2 + \cdots + (-1)^{n-1} C^{n-1}.\]} 36. On suppose que $k \geq 0$ et que $C$ est une matrice de $\Delta_{k+1}$. On pose $P = I_n + C$. Montrer que $P$ est inversible et que $P^{-1} \in \bigoplus_{p=0}^{n-1} \Delta_{p(k+1)}$. 37. On considère l’endomorphisme $\varphi$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ défini par $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\varphi : M \mapsto P^{-1} M P$. Soient $i \in \llbracket 0, k \rrbracket$ et $M \in \Delta_i$. Montrer qu’il existe $M’$ dans $H_{k+1}$ tel que $\varphi(M) = M + M’$. 38. La matrice $N$ étant la matrice définie en III.A.4, montrer qu’il existe $N’$ dans $H_{k+1}$ tel que $\varphi(N) = N + NC – CN + N’$. 39. Soit $T$ une matrice triangulaire supérieure. On pose $A = N + T$, $B = \varphi(A)$. Montrer que $B \in H_{-1}$ et que \[ \begin{cases} \forall i \in \llbracket -1, k-1 \rrbracket, & B^{(i)} = A^{(i)} \\ & B^{(k)} = A^{(k)} + NC – CN \end{cases} \] 40. Montrer que le noyau de $\mathcal{S}$ est l’ensemble des matrices de Toeplitz réelles triangulaires inférieures.} 41. Montrer que $\mathcal{S}(\Delta_{k+1}) \subset \Delta_k$ et $\mathcal{S}^*(\Delta_k) \subset \Delta_{k+1}$. 42. On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de son produit scalaire usuel défini par : $\forall (M_1, M_2) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \langle M_1, M_2 \rangle = \mathrm{tr}(M_1^T M_2)$. On note $\mathcal{S}_{k+1}$ la restriction de $\mathcal{S}$ à $\Delta_{k+1}$ et $\mathcal{S}^*_k$ la restriction de $\mathcal{S}^*$ à $\Delta_k$. Vérifier que pour tous $X$ dans $\Delta_{k+1}$ et $Y$ dans $\Delta_k$, $\langle \mathcal{S}_{k+1} X, Y \rangle = \langle X, \mathcal{S}^*_k Y \rangle$. En déduire que $\ker(\mathcal{S}^*_k)$ et $\mathrm{Im}(\mathcal{S}_{k+1})$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\Delta_k$, c’est-à-dire que \[ \Delta_k = \ker(\mathcal{S}^*_k) \oplus^\bot \mathrm{Im}(\mathcal{S}_{k+1}) \] 43. Soient $T$ une matrice triangulaire supérieure, $A = N + T$ et $k \geq 0$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice $L$ dont tous les coefficients diagonaux d’ordre $k$ sont égaux et vérifiant $\forall i \in \llbracket -1, k-1 \rrbracket,\ L^{(i)} = A^{(i)}$. 44. En déduire que toute matrice cyclique est semblable à une matrice de Toeplitz.}FAQ
Dans ce sujet, tu travailles plusieurs types de matrices, essentiels en CPGE scientifique : matrices de Toeplitz, circulantes, matrices cycliques et matrices nilpotentes. Le sujet couvre aussi la diagonalisation, les valeurs propres, la commutativité de matrices, et explore l’action des endomorphismes et les polynômes annulateurs. C’est un vrai condensé d’algèbre linéaire appliquée, parfait pour te préparer aux concours scientifiques.
Une matrice de Toeplitz est constante sur ses diagonales, une matrice circulante est une Toeplitz avec un décalage cyclique de ses lignes, tandis qu’une matrice cyclique (ou compagnon) intervient dans la notion de polynôme minimal et de vecteur cyclique. Chacune te fait manipuler différents aspects des transformations linéaires, essentiels pour comprendre la structure de l’algèbre matricielle rencontrée au concours Centrale.
La diagonalisation te permet de simplifier énormément l’étude des matrices : elle réduit la description d’un endomorphisme à ses valeurs propres. Dans ce sujet, diagonaliser des matrices de Toeplitz ou circulantes te permet de trouver rapidement leurs polynômes annulateurs, leur spectre, et d’étudier leur comportement en puissance ou leur inverse. Maîtriser ces outils, c’est se donner des atouts majeurs pour les problèmes d’algèbre des concours.
Un vecteur cyclique d’un endomorphisme est un vecteur dont les itérations par cet endomorphisme engendrent tout l’espace. Savoir repérer et exploiter un vecteur cyclique, c’est décoder la structure d’une matrice et accéder rapidement à sa forme compagnon. Cette notion te donne une vision puissante pour simplifier et résoudre des systèmes linéaires, un vrai classique du concours !
La commutativité entre matrices, et plus généralement entre applications linéaires, est une porte d’entrée pour l’étude simultanée de plusieurs endomorphismes. Dans ce sujet, maîtriser ce concept permet notamment de comprendre quels polynômes de matrices restent compatibles, de simplifier la recherche de valeurs propres communes, ou de diagonaliser plus facilement certains systèmes.
Les suites récurrentes d’ordre 2 croisent l’étude des polynômes caractéristiques et des matrices compagnon. Le sujet t’entraîne à transformer un problème de suites en une question matricielle sur l’endomorphisme associé. Cela te permet d’utiliser la puissance des matrices pour résoudre explicitement des suites, une technique précieuse en ECE ou en problèmes ouverts.
Ce sujet combine rigueur dans les calculs matriciels, capacité à manipuler les espaces vectoriels, et jeux subtils sur les polynômes associés. C’est typiquement ce qu’on attend de toi lors d’une épreuve écrite Centrale : tu dois relier différentes notions d’algèbre linéaire, exploiter toutes les propriétés structurelles et faire preuve d’initiative pour résoudre des cas généraux. Pour t’entrainer concrètement sur ce type d’exercices et progresser sur les parties qui te posent problème, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster et bénéficier d’un accompagnement sur-mesure !
Commence toujours par identifier la nature des matrices et leurs propriétés spécifiques : Toeplitz, circulantes, nilpotentes, cycliques… Appuie-toi sur les théorèmes de cours (théorème spectral, polynôme minimal…), et ne néglige jamais les questions intermédiaires qui t’aident à structurer ta copie. Enfin, révise bien toutes les méthodes de diagonalisation et d’étude du spectre : ce sont des incontournables !