Questions du sujet
1. I.A – Soit $k$ et $n$ deux entiers strictement positifs. Montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini de partitions de l’ensemble $\llbracket 1, n\rrbracket$ en $k$ parties. 2. I.B – Exprimer $S(n, k)$ en fonction de $n$ ou de $k$ dans les cas suivants :\\ I.B.1) $k > n$ ;\\ I.B.2) $k = 1$. 3. I.C – Montrer que pour tous $k$ et $n$ entiers strictement positifs, on a \[ S(n, k) = S(n-1, k-1) + k S(n-1, k) \] On pourra distinguer les partitions de $\llbracket 1, n\rrbracket$ selon qu’elles contiennent ou non le singleton $\{n\}$. 4. I.D –\\ I.D.1) Rédiger une fonction Python récursive permettant de calculer le nombre $S(n, k)$, par application directe de la formule établie à la question I.C.\\ I.D.2) Montrer que, pour $n \geq 1$, le calcul de $S(n, k)$ par cette fonction récursive nécessite au moins $\binom{n}{k}$ opérations (sommes ou produits). 5. II.A – Montrer que pour $n \geq 1$, $B_n$ est égal au nombre total de partitions de l’ensemble $\llbracket 1, n \rrbracket$.} 6. II.B – Démontrer la formule \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k \] 7. II.C – Montrer que la suite $\left(\frac{B_n}{n!}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est majorée par 1. 8. II.D – En déduire une minoration du rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 0} \frac{B_n}{n!}z^n$. 9. II.E – Montrer que pour tout $x \in ]-R, R[$, $f'(x) = e^x f(x)$. 10. II.F – En déduire une expression de la fonction $f$ sur $]-R, R[$.} 11. III.A – Montrer que la famille $(H_0, \ldots, H_n)$ est une base de l’espace $\mathbb{R}_n[X]$. 12. III.B –\\ III.B.1) Pour tout $k \in \mathbb{N}$, établir une expression simplifiée de $H_{k+1}(X) + kH_k(X)$.\\ III.B.2) En déduire que, pour tout entier naturel $n$ \[ X^n = \sum_{k=0}^n S(n, k) H_k(X) \] 13. III.C – Soit $k \in \mathbb{N}$.\\ III.C.1) Montrer que la fonction $f_k: x \mapsto \sum_{n=k}^{+\infty} S(n, k) \frac{x^n}{n!}$ est définie sur $]-1, 1[$.\\ III.C.2) Pour $k \in \mathbb{N}$, on considère la fonction $g_k: x \mapsto \frac{(e^x – 1)^k}{k!}$. Montrer que la fonction $g_k$ vérifie l’équation différentielle \[ y’ = \frac{(e^x – 1)^{k-1}}{(k-1)!} + k y \] III.C.3) En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}$ et pour tout $x \in ]-1, 1[$, \[ \frac{(e^x – 1)^k}{k!} = \sum_{n=k}^{+\infty} S(n, k) \frac{x^n}{n!} \] 14. III.D –\\ III.D.1) Pour $x \in ]-1, 1[$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, simplifier $\sum_{k=0}^{+\infty} H_k(\alpha) \frac{x^k}{k!}$.\\ III.D.2) Montrer que pour $u < \ln 2$ \[ e^{u\alpha} = \sum_{k=0}^{+\infty} H_k(\alpha) \frac{(e^u-1)^k}{k!} \]} 15. IV.A – Montrer que si $Y: \Omega \to \mathbb{N}$ est une variable aléatoire associée à une fonction génératrice $G_Y$ de rayon strictement supérieur à 1, alors $Y$ admet à tout ordre un moment fini. 16. IV.B – Réciproquement, soit $Y: \Omega \to \mathbb{N}$ une variable aléatoire admettant à tout ordre un moment fini.\\ IV.B.1) Montrer que la fonction génératrice $G_Y$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1, 1]$.\\ IV.B.2) Exprimer $G_Y^{(k)}(1)$ à l’aide des polynômes $H_k(X)$ et de la variable $Y$.\\ IV.B.3) La fonction génératrice $G_Y$ a-t-elle nécessairement un rayon de convergence strictement supérieur à 1 ? On pourra utiliser la série entière $\sum e^{-\sqrt{n}} x^n$. 17. IV.C – On suppose dans cette question que $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre 1.\\ IV.C.1) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $B_n = \mathbb{E}(Y^n)$.\\ IV.C.2) En déduire que pour tout polynôme $Q(X)$ à coefficients entiers, la série $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{Q(n)}{n!}$ est convergente et sa somme est de la forme $N e$, où $N$ est un entier.} 18. V.A – À l’aide d’un encadrement par des intégrales, déterminer un équivalent de $U_n(p) = \sum_{k=0}^p k^n$, à $n \geq 1$ fixé, lorsque $p$ tend vers $+\infty$. 19. V.B – Soit $\Delta_n$ l’endomorphisme induit par $\Delta$ sur le sous-espace stable $\mathbb{R}_n[X]$. Déterminer la matrice $A$ de $\Delta_n$ dans la base $(H_0, \ldots, H_n)$. 20. V.C – En déduire que $U_n(p) = \sum_{k=0}^n \frac{S(n, k)}{k+1} H_{k+1}(p+1)$. 21. V.D – On note $F = \{P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P(0) = 0 \}$, puis $G = \text{Vect}(X^{2k+1} ; 0 \leq k \leq n-1)$.\\ Soit $Q(X)$ le polynôme tel que $\forall p \in \mathbb{N}$, $Q(p) = \sum_{k=0}^p k$.\\ V.D.1) Rappeler l’expression explicite du polynôme $Q(X)$.\\ V.D.2) Montrer que l’application : \[ \Phi : F \to G,\quad P(X) \mapsto \Delta (P(Q(X-1))) \] est un isomorphisme.\\ V.D.3) En déduire que pour tout $r \in \mathbb{N}$, il existe un seul polynôme $P_r(X)$ tel que \[ \forall p \in \mathbb{N},\quad \sum_{k=1}^p k^{2r+1} = P_r\left(\frac{p(p+1)}{2}\right) \] 22. V.E –\\ V.E.1) Déterminer le terme dominant dans $P_r(X)$.\\ V.E.2) Montrer que pour $r\geq 1$, $X^2$ divise $P_r(X)$.\\ V.E.3) Expliciter les polynômes $P_1(X)$ et $P_2(X)$.}FAQ
Une partition d’un ensemble \( \llbracket 1, n \rrbracket \) en \( k \) parties est une décomposition de cet ensemble en \( k \) sous-ensembles non vides, disjoints deux à deux, dont la réunion est l’ensemble initial. C’est un concept fondamental en combinatoire, souvent utilisé pour compter des configurations ou étudier des structures discrètes.
Le nombre de partitions \( S(n, k) \), appelé nombre de Stirling de deuxième espèce, vérifie la relation de récurrence : \( S(n, k) = S(n-1, k-1) + k S(n-1, k) \). Cette formule permet de calculer \( S(n, k) \) en distinguant les partitions qui contiennent ou non le singleton \( \{n\} \). Pour \( k > n \), \( S(n, k) = 0 \), et pour \( k = 1 \), \( S(n, 1) = 1 \).
Les nombres de Bell \( B_n \) comptent le nombre total de partitions d’un ensemble à \( n \) éléments. Ils sont liés aux nombres de Stirling de deuxième espèce par la formule : \( B_n = \sum_{k=1}^n S(n, k) \). Ils interviennent dans de nombreux problèmes combinatoires et ont des propriétés intéressantes, comme la relation de récurrence \( B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k \).
Tu peux utiliser la relation de récurrence \( S(n, k) = S(n-1, k-1) + k S(n-1, k) \) pour écrire une fonction récursive. Voici un exemple :
“`python
def stirling(n, k):
if k > n or k == 0:
return 0
if k == 1 or k == n:
return 1
return stirling(n-1, k-1) + k * stirling(n-1, k)
“`
Cependant, cette approche a une complexité élevée et peut être optimisée avec de la programmation dynamique.
Les polynômes \( H_k(X) \), appelés polynômes de Hermite ou polynômes exponentiels, sont liés aux nombres de Stirling par la formule : \( X^n = \sum_{k=0}^n S(n, k) H_k(X) \). Ils forment une base de \( \mathbb{R}_n[X] \) et interviennent dans des problèmes d’analyse et de combinatoire.
Pour montrer que \( (H_0, \ldots, H_n) \) est une base de \( \mathbb{R}_n[X] \), tu peux utiliser le fait que ces polynômes sont de degrés échelonnés et que leur matrice de passage avec la base canonique \( (1, X, \ldots, X^n) \) est triangulaire avec des coefficients non nuls sur la diagonale. Cela prouve qu’ils sont linéairement indépendants et générateurs.
Les fonctions \( g_k(x) \) vérifient l’équation différentielle : \( y’ = \frac{(e^x – 1)^{k-1}}{(k-1)!} + k y \). Cette équation permet de relier \( g_k \) aux nombres de Stirling et aux séries génératrices, ce qui est utile pour étudier les propriétés analytiques de ces fonctions.
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