Questions du sujet
1. I.A.1) Quel est le domaine de définition $\mathcal{D}$ de la fonction $\Gamma$~? 2. I.A.2) Pour tout $x \in \mathcal{D}$, exprimer $\Gamma(x + 1)$ en fonction de $x$ et de $\Gamma(x)$.\\ En déduire, pour tout $x \in \mathcal{D}$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, une expression de $\Gamma(x + n)$ en fonction de $x$, $n$ et $\Gamma(x)$, ainsi que la valeur de $\Gamma(n)$ pour tout $n \geq 1$. 3. I.A.3) Montrer l’existence des deux intégrales \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt \quad \text{et} \quad \int_{0}^{+\infty} e^{-t^4}dt \] et les exprimer à l’aide de $\Gamma$.} 4. I.B.1) Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b.$ Montrer que, pour tout $t > 0$ et tout $x \in [a, b]$, \[ t^a \leq \max(t^a, t^b) \leq t^a + t^b \] 5. I.B.2) Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathcal{D}$.\\ Soit $k \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathcal{D}$. Exprimer $\Gamma^{(k)}(x)$, dérivée $k$-ième de $\Gamma$ au point $x$, sous forme d’une intégrale.} 6. I.C.1) Montrer que $\Gamma’$ s’annule en un unique réel $\xi$ dont on déterminera la partie entière. 7. I.C.2) En déduire les variations de $\Gamma$ sur $\mathcal{D}$. Préciser en particulier les limites de $\Gamma$ en $0$ et en $+\infty$. Préciser également les limites de $\Gamma’$ en $0$ et en $+\infty$. Esquisser le graphe de $\Gamma$. 8. II.A – Montrer que la fonction $F : \mathbb{R} \to \mathbb{C},~ x \mapsto F(x)$ est définie et de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\ Soit $k$ un entier naturel non nul et soit $x$ un réel. Donner une expression intégrale de $F^{(k)}(x)$, dérivée $k$-ième de $F$ en $x$. Préciser $F(0)$. 9. II.B.1) Montrer qu’au voisinage de $x = 0$, la fonction $F$ peut s’écrire sous la forme \[ F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{c_n (ix)^n}{n!} \tag{S} \] où $c_n$ est la valeur de Gamma en un point à préciser. On exprimera $c_n$ en fonction de $n$ et de $c_0$.\\ Quel est le rayon de convergence de la série entière qui apparaît au second membre de $(S)$~? 10. II.B.2) On admet que $\Gamma(x) \sim_{x\to+\infty} \sqrt{2\pi}\; x^{x-1/2}e^{-x}$.\\ Étudier si la série du second membre de $(S)$ converge absolument lorsque $|x| = R$.} 11. II.B.3) Soit $R(x)$ la partie réelle et $I(x)$ la partie imaginaire de $F(x)$.\\ Déterminer, au voisinage de $0$, le développement limité de $R(x)$ à l’ordre~3 et de $I(x)$ à l’ordre~4. 12. II.C.1) Prouver que $F$ vérifie sur $\mathbb{R}$ une équation différentielle de la forme $F’ + A F = 0$, où $A$ est une fonction à préciser. 13. II.C.2) En déduire une expression de $F(x)$.\\ On pourra commencer par dériver la fonction $x \mapsto -\frac{1}{8} \ln(1 + x^2) + i\frac{1}{4}\arctan x$. 14. III.A.1) Déterminer $G_X(t)$. 15. III.A.2) Calculer l’espérance $E(X)$, la variance $V(X)$ et l’écart type de $X$.} 16. III.A.3) Soit $\mu$ un réel strictement positif. Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson $\mathcal{P}(\mu)$ et telle que $X$ et $Y$ soient indépendantes. Déterminer la loi de $X + Y$. 17. III.B.1) Pour tout entier $n \geq 1$, déterminer la loi de $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$. 18. III.B.2) Déterminer l’espérance et l’écart type des variables aléatoires $S_n$ et $T_n = \dfrac{S_n-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}$. 19. III.B.3) Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un réel $c(\varepsilon)$ tel que, si $c \geq c(\varepsilon)$ et $n \in \mathbb{N}^*$, on a $\mathbb{P}(|T_n|\geq c)\leq \varepsilon$. 20. III.C.1) Montrer qu’il existe un réel $M > 0$ tel que $f$ soit une fonction $M$-lipschitzienne.} 21. III.C.2) \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que, si $x, h \in \mathbb{R}$ et $h > 0$, alors $|h f(x) – \int_x^{x+h} f(t) dt| \leq \dfrac{Mh^2}{2}$. \item[(b)] En déduire, lorsque $I_n$ est non vide, une majoration de \[ \left| \sqrt{\frac{1}{n\lambda}} \sum_{k \in I_n} f(x_{n,k}) – \int_{x_{n,p}}^{x_{n,q+1}} f(t)dt\right| \] où $p$ est le plus petit élément de $I_n$ et $q$ est le plus grand. \item[(c)] Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty} \sqrt{\frac{1}{n\lambda}} \sum_{k \in I_n} f(x_{n,k}) = \int_a^b f(x)dx. \] \end{itemize} 22. III.C.3) Pour tout $k \in I_n$, on note $y_{n,k} = (1 – \frac{x_{n,k}}{\sqrt{n\lambda}})^k \exp(x_{n,k} \sqrt{n\lambda})$.\\ Soit $\varepsilon > 0$. Démontrer l’existence d’un entier $N(\varepsilon)$ tel que, pour tout $n \geq N(\varepsilon)$ et tout $k \in I_n$, les inégalités suivantes soient satisfaites :\\ \begin{itemize} \item[(a)] $1 – \varepsilon \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi n\lambda}} y_{n,k} \leq 1 + \varepsilon$, en posant $y_{n,k}$ comme défini plus haut et en utilisant la formule de Stirling $n! \sim_{n\to+\infty} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$. \item[(b)] $(1 – \varepsilon)f(x_{n,k}) \leq y_{n,k} \leq (1 + \varepsilon)f(x_{n,k})$. \end{itemize} 23. III.C.4) Exprimer, sous forme d’intégrale, \[ \lim_{n\to+\infty} \sum_{k \in I_n} \frac{(n\lambda)^k}{k!}e^{-n\lambda}. \] 24. III.C.5) Comparer $P(a \leq T_n \leq b)$ et $\sum_{k \in I_n} P(S_n = k)$, où $S_n$ et $T_n$ sont définies en III.B. 25. III.C.6) Déterminer les limites, quand $n \to +\infty$, de $P(T_n \geq a)$, $P(T_n = a)$, $P(T_n > a)$ et $P(T_n \leq b)$.} 26. III.D.1) Déduire de la question III.C.6) la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$. 27. III.D.2) Déterminer un équivalent, lorsque $n \to +\infty$, de \[A_n = \sum_{k=0}^{\lfloor n\lambda \rfloor} \frac{(n\lambda)^k}{k!} \quad \text{et} \quad B_n = \sum_{k=\lfloor n\lambda \rfloor}^{+\infty} \frac{(n\lambda)^k}{k!} \] où $\lfloor t\rfloor$ désigne la partie entière du réel $t$. On interprétera $e^{-n\lambda}A_n$ comme la probabilité d’un événement lié à $S_n$ et donc à $T_n$. 28. III.D.3) Pour $\lambda \neq 1$, on note $C_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(n\lambda)^k}{k!},~ D_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(n\lambda)^k}{k!}$.\\ Déterminer $\lim_{n\to+\infty} e^{-n\lambda}C_n$ si $\lambda < 1$ et $\lim_{n\to+\infty} e^{-n\lambda}D_n$ si $\lambda > 1$. 29. III.E.1) Déterminer $\lim_{n\to+\infty} \left( (n\lambda)^{-n} \int_0^{n\lambda} (n\lambda – t)^n e^t dt \right)$. 30. III.E.2) En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, en déduire un équivalent de $D_n$ quand $n \to +\infty$.} 31. III.F – Si $\lambda > 1$, déterminer un équivalent de $C_n$ lorsque $n \to +\infty$.\\ Considérer l’intégrale $\frac{1}{n!} \int_{-\infty}^{n} (r-t)^n e^t dt$ et choisir convenablement le réel $r$.}FAQ
Le domaine de définition de la fonction Gamma est l’ensemble des réels strictement positifs, c’est-à-dire \( \mathcal{D} = ]0, +\infty[ \). C’est une fonction centrale en analyse, notamment pour son rôle dans les intégrales impropres et les prolongements de la factorielle.
La fonction Gamma vérifie la relation de récurrence \( \Gamma(x+1) = x \Gamma(x) \). C’est l’analogue continu de la relation \( (n+1)! = (n+1) \cdot n! \) pour les factorielles. Par récurrence, on en déduit \( \Gamma(x+n) = (x+n-1)(x+n-2) \dots x \Gamma(x) \), et pour \( n \in \mathbb{N}^* \), \( \Gamma(n) = (n-1)! \).
Ces intégrales s’expriment à l’aide de la fonction Gamma en utilisant des changements de variables astucieux. Par exemple, \( \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{1}{2} \Gamma(1/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). Pour \( \int_{0}^{+\infty} e^{-t^4} dt \), on pose \( u = t^4 \) et on obtient \( \frac{1}{4} \Gamma(1/4) \). Ces résultats sont classiques et utiles en probabilités et en physique.
La régularité de \( \Gamma \) se démontre en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégrale. Pour tout \( k \in \mathbb{N}^* \), la dérivée \( k \)-ième \( \Gamma^{(k)}(x) \) s’exprime comme une intégrale : \( \Gamma^{(k)}(x) = \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} (\ln t)^k dt \). Cela montre que \( \Gamma \) est indéfiniment dérivable, donc \( \mathcal{C}^{\infty} \).
La dérivée \( \Gamma’ \) s’annule en un unique point \( \xi \) compris entre 1 et 2. On montre que \( \Gamma \) est décroissante sur \( ]0, \xi[ \) et croissante sur \( ]\xi, +\infty[ \). Les limites sont \( \Gamma(x) \to +\infty \) quand \( x \to 0^+ \) et \( x \to +\infty \), tandis que \( \Gamma’ \) a les mêmes limites. Le graphe de \( \Gamma \) présente donc un minimum en \( \xi \).
La fonction \( F \) admet un développement en série entière \( F(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{c_n (ix)^n}{n!} \), où \( c_n = \Gamma\left(\frac{n+1}{4}\right) \). Le rayon de convergence est infini, car \( \Gamma \) croît moins vite qu’une exponentielle. Ce développement est crucial pour l’étude locale des fonctions complexes.
La fonction \( F \) vérifie l’équation différentielle \( F’ + \frac{x}{1+x^2} F = 0 \). En résolvant cette équation, on trouve \( F(x) = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}} e^{i \arctan x} \), où \( C \) est une constante. Ce type d’équation est classique en analyse complexe et en physique mathématique.
Pour une variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Poisson \( \mathcal{P}(\lambda) \), l’espérance et la variance valent toutes deux \( \lambda \). C’est une propriété fondamentale des lois de Poisson, très utilisée en probabilités et en statistique.
La formule de Stirling \( n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \) permet d’étudier le comportement asymptotique de sommes de variables aléatoires. Par exemple, pour \( S_n = X_1 + \dots + X_n \) où les \( X_i \) sont des variables de Poisson, on peut montrer que \( T_n = \frac{S_n – n \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \) converge en loi vers une normale centrée réduite.
Pour \( \lambda \neq 1 \), on peut montrer que \( e^{-n \lambda} \sum_{k=0}^{n} \frac{(n \lambda)^k}{k!} \) converge vers 0 si \( \lambda > 1 \) et vers 1 si \( \lambda < 1 \). Cela s'obtient en utilisant des techniques d'analyse asymptotique et des approximations intégrales.