Questions du sujet
1. I.A – Soit $A$ une matrice carrée réelle de taille $n$ et $b$ un élément de $\mathbb{R}^n$. Soit $f$ l’application de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ définie par \[ \forall x \in \mathbb{R}^n\quad f(x) = Ax + b \] Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et préciser sa matrice jacobienne $J_f(x)$ en tout point $x$ de $\mathbb{R}^n$.} 2. I.B.1) Justifier que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $t$, donner $\varphi'(t)$.} 3. I.B.2) En déduire qu’au voisinage de $0$ \[ g(ta) = g(0) + t(a_1 D_1 g(0) + a_2 D_2 g(0) + \cdots + a_n D_n g(0)) + o(t) \] } 4. I.C.1) On admettra que si des fonctions $\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_n$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, alors la fonction $\Phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ \Phi(t) = \det(\varphi_1(t), \varphi_2(t), \ldots, \varphi_n(t)) \] est continue sur $\mathbb{R}$. \\ En utilisant la question I.B.2 et la multilinéarité du déterminant, montrer qu’au voisinage de $0$ \[ \det(f(t_1), f(t_2), \ldots, f(t_n)) = t^n\,\mathrm{jac}f(0) + o(t^n) \] } 5. I.C.2) En déduire que \[ \lim_{t \to 0} \frac{\det(f(t_1), \ldots, f(t_n))}{\det(t_1, \ldots, t_n)} = \mathrm{jac}f(0) \] } 6. I.C.3) Dans le cas $n=2$ (respectivement $n=3$), donner une interprétation géométrique de la valeur absolue du jacobien de $f$ en $0$ à l’aide d’aires de parallélogrammes (respectivement volumes de parallélépipèdes).} 7. II.A – Pour $x$ dans $\mathbb{R}^2$, exprimer $\div f(x)$ à l’aide de $A$ seulement.} 8. II.B.1) Que vaut $u_a(t)$ ?} 9. II.B.2) Soit $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{R}^2$ et soit $t$ un réel. Montrer que \[ \det(u_a(t), u_b(t)) = \exp(t \div f(a))\, \det(u_a(0), u_b(0)) \] } 10. II.B.3) Utiliser le résultat précédent pour interpréter le signe de $\div f(a)$ en termes de sens de variation de l’aire d’un certain parallélogramme comme fonction de $t$.} 11. II.C.1) On pose $a=(a_1,a_2)$ et $u_a(t) = (x_1(t), x_2(t))$. On suppose que $\lambda_1 \ne 0$ et $a_1 > 0$. Déterminer une fonction $\theta_a$ telle que $x_2(t) = \theta_a(x_1(t))$ pour tout réel $t$.} 12. II.C.2) Dans cette question, $a = (2,1)$ et $b = (1,2)$.\\ Pour chacun des cas suivants, illustrer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions $\theta_a$, $\theta_b$ et $\theta_{a+b}$, ainsi que les parallélogrammes de sommets $(0,0)$, $u_a(t)$, $u_b(t)$ et $u_a(t)+u_b(t)$ pour $t=0$ et une valeur de $t$ strictement positive. \begin{enumerate} \item[a)] $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = 2$. \item[b)] $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = -2$. \item[c)] $\lambda_1 = 1$ et $\lambda_2 = -1$. \end{enumerate} } 13. II.D.1) Reprendre les questions II.B.1 et II.B.2 dans le cas où $A$ est triangulaire de la forme \[ A = \begin{pmatrix} \lambda & \mu\\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \] } 14. II.D.2) Montrer que la relation \[ \det(u_a(t), u_b(t)) = \exp(t \div f(a))\det(u_a(0), u_b(0)) \] est valable lorsque la matrice $A$ possède un polynôme caractéristique scindé sur $\mathbb{R}$.} 15. II.D.3) Étendre ce résultat au cas d’une matrice réelle $2 \times 2$ quelconque.} 16. III.A – Justifier que, pour tout $x$ dans $\mathbb{R}^n$ et tous $i, j, k$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket,$ on a $f_{i,j,k}(x) = f_{j,i,k}(x)$.} 17. III.B.1) Montrer que pour tout $x$ dans $\mathbb{R}^n$, et tous $i, j, k$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$, $f_{i,j,k}(x) = -f_{i,k,j}(x)$.} 18. III.B.2) En déduire que, pour tout $x$ dans $\mathbb{R}^n$ et tous $i, j, k$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$, on a $f_{i,j,k}(x) = 0$.} 19. III.B.3) Montrer qu’il existe une matrice carrée réelle $A$ de taille $n$ et un élément $b$ de $\mathbb{R}^n$ tels que pour tout $x$ dans $\mathbb{R}^n,$ $f(x) = Ax + b$. Justifier que $A$ est antisymétrique.} 20. III.B.4) Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $f$, la matrice jacobienne $J_f(x)$ est-elle antisymétrique pour tout $x$ dans $\mathbb{R}^n$ ?} 21. III.C – Maintenant $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même. Montrer que la matrice jacobienne $J_f(x)$ est symétrique pour tout $x$ dans $\mathbb{R}^n$ si et seulement si il existe $g$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que \[ \forall x \in \mathbb{R}^n,\ \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\quad f_i(x) = D_i g(x) \] On pourra considérer l’application $g$ définie par $g(x)=\sum_{i=1}^n x_i \int_0^1 f_i(t x)\,dt$ et on exprimera $D_i g(x)$ sous forme d’une seule intégrale.} 22. IV.A.1) Montrer que pour tous $i, j, k$ de $\llbracket 1, n\rrbracket$, $\alpha_{i,j,k} = \alpha_{i,k,j} = -\alpha_{k,j,i}$.} 23. IV.A.2) En déduire que pour tous $i, j, k$ de $\llbracket 1, n\rrbracket$, $\alpha_{i,j,k} = 0$.} 24. IV.A.3) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale $A$ et un élément $b$ de $\mathbb{R}^n$ tels que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}^n$, $f(x) = Ax + b$. On pourra interpréter les relations $\alpha_{i,j,k}=0$ à l’aide de produits matriciels.} 25. IV.B – Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $f$, la proposition $(\mathcal{P})$ est-elle réalisée ?} 26. IV.C – Si $g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$, on note \[ \Delta g (x) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i^2}(x) \] (laplacien de $g$ en $x$). \\ Montrer que $(\mathcal{P})$ est équivalente à la proposition\\ $(\mathcal{Q})$ Pour toute fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^2$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$, $\Delta(g\circ f) = (\Delta g) \circ f$.}FAQ
L’application \( f \) est de classe \( \mathcal{C}^1 \) car elle est affine, donc ses dérivées partielles sont constantes. Sa matrice jacobienne \( J_f(x) \) est simplement la matrice \( A \), indépendante de \( x \). C’est un résultat classique en analyse vectorielle, et tu peux le retrouver en calculant explicitement les dérivées partielles de \( f \).
En dimension 2, la valeur absolue du jacobien de \( f \) en \( 0 \) représente le facteur de dilatation des aires des parallélogrammes sous l’action de \( f \). En dimension 3, c’est le facteur de dilatation des volumes des parallélépipèdes. C’est une notion clé en géométrie différentielle et en physique, notamment pour les changements de variables.
La divergence de \( f \) est la trace de sa matrice jacobienne. Comme \( f \) est linéaire, sa jacobienne est constante et égale à \( A \). La divergence est donc \( \text{div}(f) = \text{tr}(A) \). C’est un résultat fondamental en analyse vectorielle, notamment utile en physique pour les équations de conservation.
Une matrice jacobienne \( J_f(x) \) est antisymétrique si et seulement si les dérivées partielles secondes croisées de \( f \) vérifient \( f_{i,j,k}(x) = -f_{i,k,j}(x) \). Cela implique que \( f \) est localement une rotation ou une composition de rotations, ce qui est lié aux champs de vecteurs conservatifs en physique.
Si la jacobienne \( J_f(x) \) est symétrique, alors \( f \) est le gradient d’une fonction \( g \) de classe \( \mathcal{C}^2 \). On peut construire \( g \) explicitement en intégrant \( f \) le long de segments, comme dans la question III.C du sujet. C’est un résultat important en analyse vectorielle, notamment pour les potentiels scalaires.
La divergence \( \text{div}(f)(a) \) mesure la variation locale du volume (ou de l’aire en 2D) sous l’action du flot de \( f \). Si \( \text{div}(f)(a) > 0 \), l’aire d’un petit parallélogramme centré en \( a \) augmente avec le temps, et inversement si \( \text{div}(f)(a) < 0 \). C'est une notion cruciale en mécanique des fluides.
Pour une application affine \( f(x) = Ax + b \), les dérivées partielles secondes sont constantes, donc les dérivées troisièmes sont nécessairement nulles. C’est une conséquence directe de la linéarité de \( f \), et c’est utile pour caractériser les applications polynomiales de degré 1.
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