Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = 1\). 2. I.A.2) Montrer que \(\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = nx\). 3. I.A.3) Montrer que \(\sum_{k=0}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = n(n-1)x^2\). 4. I.A.4) Déduire des questions précédentes que \(\sum_{k=0}^{n} \left(x – \frac{k}{n}\right)^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = \frac{x(1-x)}{n}\). 5. I.B.1) a) Montrer que \(S_V(x) \leq \frac{1}{\sqrt{n}}\).} 6. I.B.1) b) Montrer que \(S_W(x) \leq \frac{x(1-x)}{\sqrt{n}}\). 7. I.B.1) c) En déduire que \(S(x) \leq \frac{5}{4\sqrt{n}}\). 8. I.B.2) a) Écrire l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace \(\mathbb{R}^{n+1}\) muni de son produit scalaire canonique. 9. I.B.2) b) À l’aide de la question I.A.4, en déduire que \(S(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}\). 10. I.C.1) Si \(f(x) = x^2\) pour tout \(x \in [0, 1]\), déterminer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), le polynôme \(B_n(f)\) et en déduire la valeur de \(\|B_n(f) – f\|_\infty\).} 11. I.C.2) Soit \(f \in C\). Montrer, pour tout \(x \in [0, 1]\), la relation \[ B_n(f)(x) – f(x) = \sum_{k=0}^{n} \left(f\left(\frac{k}{n}\right) – f(x)\right) \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}. \] 12. I.C.3) a) Montrer que si \(f\) est \(\delta\)-lipschitzienne, alors \(\|B_n(f) – f\|_\infty \leq \frac{\delta}{2\sqrt{n}}\) pour tout entier \(n > 1\). 13. I.C.3) b) En déduire que si \(f\) est de classe \(C^1\), alors il existe un réel \(c\) tel que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(\|B_n(f) – f\|_\infty \leq \frac{c}{\sqrt{n}}\). 14. I.C.3) c) Étendre le résultat précédent au cas où \(f\) est une fonction continue, de classe \(C^1\) par morceaux. 15. I.C.4) Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) une fonction continue, \(C^1\) par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel \(r > 0\), il existe un polynôme \(P\) à coefficients réels tel que \(\forall x \in [0,1],\ f(x) – r \leq P(x) \leq f(x) + r\).} 16. II.A.1) Déterminer une suite réelle \((b_n)_{n>0}\) telle que \[\forall x \in ]-1,1[,\ \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n x^n.\] 17. II.A.2) En déduire un exemple de suite \((a_n)_{n>0}\) vérifiant II.1 mais ne convergeant pas vers 1. 18. II.B.1) Donner le développement en série entière de la fonction \(t \mapsto \frac{1}{(1-t)^2}\) ainsi que son rayon de convergence. Préciser si la série converge aux bornes de l’intervalle de convergence. 19. II.B.2) On considère les fonctions \(\varphi : x \mapsto \frac{1}{(1-x^2)^2}\) et \(\psi : x \mapsto \frac{1}{(1+x)^2(1-x)}\). Déterminer des suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) telles que, pour tout \(x\in]-1,1[\), \(\varphi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n x^n\) et \(\psi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} v_n x^n\). On explicitera en fonction de \(n\), suivant la parité de \(n\), les réels \(u_n\) et \(v_n\). 20. II.B.3) Calculer \(v^\star_n\) (moyenne arithmétique des nombres \(v_0,…,v_n\)).} 21. II.B.4) Construire à l’aide de \(\psi\) un exemple de suite \((a_n)_{n>0}\) vérifiant II.1 mais ne vérifiant pas la propriété II.3. 22. II.C.1) Pour tout \(x \in [0, 1[\) et tout \(n \in \mathbb{N}\), montrer que \(f(x) \geq A_n x^n\). 23. II.C.2) Montrer l’existence d’un entier \(N > 0\) tel que \(\forall n > N, f(e^{-1/n}) \leq \frac{2}{1-e^{-1/n}}\). 24. II.C.3) En déduire que la suite \((\overline{a}_n)_{n>0}\) est majorée. 25. II.D.1) a) Pour tout \(x \in ]-1,1[\), montrer que \((1-x)\sum_{k=0}^{+\infty} A_k x^k = f(x)\).} 26. II.D.1) b) En déduire que pour tout \(x \in [0,1[\) et tout \(N \in \mathbb{N}^*\), \( \frac{f(x)}{1-x} \leq \frac{A_{N-1}}{1-x} + \mu \sum_{k=N}^{+\infty} (k+1)x^k \). 27. II.D.1) c) En déduire que pour tout \(x \in [0,1[\) et tout \(N \in \mathbb{N}^*\), \( f(x) \leq A_{N-1} + \mu \left( (N+1)x^N + \frac{x^{N+1}}{1-x} \right) \). 28. II.D.2) a) Montrer qu’il existe un entier \(N_0 > 0\) tel que pour tout \(N > N_0\), \( f(e^{-\lambda/N}) \geq \frac{1}{2(1-e^{-\lambda/N})} \geq \frac{N}{2\lambda} \). 29. II.D.2) b) Montrer que pour tout \(N > N_0\), \(\overline{a}_{N-1} \geq \frac{1}{2\lambda} – \mu e^{-\lambda} \left( 1+\frac{1}{N} + \frac{e^{-\lambda/N}}{N(1-e^{-\lambda/N})} \right)\). 30. II.D.2) c) Déterminer en fonction de \(\lambda\) la limite, quand \(N\) tend vers l’infini, du membre de droite dans l’inégalité précédente.} 31. II.D.2) d) Montrer qu’il existe un réel \(\lambda > 0\) tel que cette limite soit strictement positive. 32. II.D.3) Conclure qu’il existe un réel \(\nu > 0\) tel qu’à partir d’un certain rang on ait \(\overline{a}_n > \nu\). 33. II.E.1) Calculer \(\int_0^1 g_+(t)\,dt\) et \(\int_0^1 g_-(t)\,dt\). 34. II.E.2) Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels. Montrer que \((1-x)\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n P(x_n) \xrightarrow[x\to1^{-}]{} \int_0^1 P(t)dt\). On considérera d’abord le cas particulier \(P(x) = x^k\), où \(k \in \mathbb{N}\). 35. II.E.3) Établir l’existence de deux polynômes \(P, Q\) à coefficients réels tels que : \(\forall x \in [0,1],\ g_-(x) – \varepsilon \leq P(x) \leq g(x) \leq Q(x) \leq g_+(x) + \varepsilon\).} 36. II.E.4) Établir l’existence d’un entier \(N_1 > 0\) tel que pour tout entier \(N > N_1\), \((1-x_N) \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x_N^n P(x_N^n) \geq \int_0^1 P(t)dt – \varepsilon \) et \((1-x_N) \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x_N^n Q(x_N^n) \leq \int_0^1 Q(t)dt + \varepsilon\). 37. II.E.5) Déduire des trois questions précédentes que pour tout entier \(N > N_1\) \(1-5\varepsilon \leq (1-x_N)A_N \leq 1+5\varepsilon\). 38. II.E.6) Conclure.}FAQ
C’est une conséquence directe de la formule du binôme de Newton appliquée à \((x + (1-x))^n\). Comme \(x + (1-x) = 1\), on a bien \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = (x + (1-x))^n = 1\).
L’inégalité de Cauchy-Schwarz est utilisée pour majorer des sommes pondérées, notamment dans les questions I.B.2) où elle permet d’obtenir des bornes fines sur des expressions comme \(S(x)\). C’est un outil puissant en analyse pour contrôler des normes et des produits scalaires.
Une fonction \(f\) est lipschitzienne de constante \(\delta\) si \(|f(x) – f(y)| \leq \delta |x – y|\) pour tout \(x, y\). Dans ce sujet, cette propriété permet de majorer l’erreur d’approximation des polynômes de Bernstein \(B_n(f)\) par \(\frac{\delta}{2\sqrt{n}}\), ce qui est crucial pour étudier la convergence.
Les polynômes de Bernstein \(B_n(f)\) approchent une fonction \(f\) continue sur \([0,1]\) par une combinaison convexe des valeurs de \(f\) aux points \(\frac{k}{n}\). C’est une méthode constructive pour prouver le théorème de Weierstrass, qui montre que toute fonction continue peut être uniformément approchée par des polynômes.
La partie I est centrée sur les polynômes de Bernstein et leurs propriétés d’approximation, tandis que la partie II traite des séries entières et de leur convergence, avec des applications à des suites spécifiques. Les deux parties illustrent des concepts clés d’analyse et d’algèbre en CPGE.
Les séries entières sont un outil fondamental pour représenter des fonctions analytiques et étudier leur comportement local. Dans ce sujet, elles permettent de décomposer des fonctions comme \(\frac{1}{(1-x)^2}\) et d’en déduire des propriétés sur des suites de coefficients, ce qui est typique des problèmes de concours en CPGE.
Ce sujet couvre plusieurs thèmes centraux du programme : polynômes de Bernstein (approximation), séries entières (analyse), inégalités (Cauchy-Schwarz), et convergence de suites. C’est un excellent exemple de problème synthétique, comme ceux que tu peux rencontrer aux concours.
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