Questions du sujet
1. I.A – Image et noyau de $c$\\ Déterminer une base du noyau et une base de l’image de $c$, ainsi que le rang de $c$.} 2. I.B.1) Montrer que $F$ est stable par $c$.} 3. I.B.2) Montrer que $(f_1, f_2, f_3)$ est une base de $F$, et calculer la matrice $\Phi$ dans cette base de l’endomorphisme $\varphi$ de $F$ induit par $c$.} 4. I.C.1) Pourquoi $1$ est-il valeur propre de $\Phi$~?} 5. I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de $\Phi$ que $\Phi$ est diagonalisable dans $M_3(\mathbb{C})$~?} 6. I.C.3) Calculer $\Phi^2$. À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de $\Phi^2$, déterminer le spectre de $\Phi$.\\ La matrice $\Phi$ est-elle diagonalisable dans $M_3(\mathbb{R})$~?} 7. I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de $C$. On précisera l’ordre de multiplicité des valeurs propres.} 8. I.D.2) La matrice $C$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{C}$~? sur $\mathbb{R}$~? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à $C$.} 9. I.E.1) Quelle structure possède l’ensemble $S$ des fonctions $f$ de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^7$ vers $\mathbb{R}$ telles que $f \circ c = f$~?} 10. I.E.2) Montrer qu’une telle fonction vérifie $f \circ c^n = f$ pour tout entier $n>1$.} 11. I.E.3) Soit $f \in S$. Calculer la matrice jacobienne de $f \circ c$ en $X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7)$.\\ En déduire un système d’équations reliant les dérivées partielles $\partial_1 f(X),\ldots,\partial_7 f(X)$ de $f$ en un point $X$ de $\mathbb{R}^7$.} 12. I.E.4) Pour $f \in S$, calculer la matrice jacobienne de $f \circ c^2$ en $X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7)$.\\ Compléter le système d’équations reliant les dérivées partielles $\partial_1 f(X),\ldots,\partial_7 f(X)$ de $f$ en un point $X$ de $\mathbb{R}^7$ obtenu à la question précédente.} 13. I.E.5) \textbf{APPLICATION~:} sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires $f$ sur $\mathbb{R}^7$ qui appartiennent à $S$.} 14. II.A – Transformation de solutions\\ Montrer que si $f$ est une solution de $(E)$ sur un intervalle $J$, et si $a$ est un réel non nul, alors la fonction $h$ définie par $h(x) = a f\left(\frac{x}{a}\right)$ est aussi une solution de $(E)$ sur un intervalle que l’on précisera.} 15. II.B.1) Déterminer l’ensemble de définition $\Delta$ de $g$, ainsi qu’une expression de $g$.} 16. II.B.2) Vérifier que la restriction de $g$ au plus grand intervalle ouvert inclus dans $\Delta$ est une solution de $(E)$.} 17. II.B.3) Est-ce une solution maximale~? Sinon, déterminer une solution maximale $m$ dont le graphe inclut celui de $g$.} 18. II.C.1) Rappeler l’énoncé du théorème d’existence et d’unicité des solutions maximales d’une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux conditions de Cauchy.} 19. II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème s’applique à $(E)$.} 20. II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions maximales de $(E)$~?} 21. II.C.4) Déduire des questions précédentes les solutions maximales de $(E)$.} 22. II.D.1) Montrer que la solution $m$ déterminée à la question III.B.3) est développable en série entière au voisinage de $0$.\\ Calculer ce développement et préciser son rayon de convergence.} 23. II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions maximales de $(E)$~; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.} 24. III.A.1) Représenter $C$.} 25. III.A.2) Préciser les propriétés topologiques suivantes de $C$.\\ a) Est-ce un ouvert de $\mathbb{R}^2$~?\\ b) Un fermé~?\\ c) Une partie bornée~?\\ d) Un compact~?\\ e) Une partie convexe~?} 26. III.B.1) Calculer $\rho(t)$ pour tout $t \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right]$.} 27. III.B.2) Représenter sur la calculatrice l’arc paramétré $G~: \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right] \to \mathbb{C},~ t \mapsto \rho(t) e^{it}$,\\ et reproduire sommairement la courbe sur la copie.\\ Quelle lettre cette courbe évoque-t-elle~?} 28. III.B.3) À partir de l’expression de $\gamma(t)$, calculer $\tan\theta(t)$.} 29. III.B.4)\\ a) Représenter la fonction $t \mapsto \arctan(2\tan t)$ sur la partie de l’intervalle $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right]$ sur laquelle cette fonction est définie.\\ b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue $\theta$ cherchée.\\ On vérifiera le résultat en représentant à l’aide de la calculatrice la courbe paramétrée $z$.} 30. III.B.5) Indiquer une suite d’instructions Maple ou Mathematica permettant d’obtenir ce tracé.} 31. III.C.1) Étudier rapidement $\alpha$ et $\omega$, puis représenter sur un même graphique les deux fonctions $t \mapsto \alpha(10,t)$ et $t \mapsto \omega(10,t)$.} 32. III.C.2) Représenter la fonction $\psi:\left[ \frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4} \right] \to \mathbb{R},~t \mapsto \frac{1}{4}\sin\left(\frac{2}{3}(t-\frac{\pi}{4})\right)$.} 33. III.C.3) On définit la fonction~:\\ $w : \mathbb{N}^*\times \left[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right] \to \mathbb{C}$,\\ $(n,t)\mapsto \rho(t)\left(1+\psi(t)\omega(n,t)\right) e^{i\theta(\alpha(n,t))}$.\\ On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque $n=40$. Mais la courbe a été mélangée avec d’autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel des quatre graphiques représente la fonction $t\mapsto w(40,t)$, et expliquer pourquoi.} 34. III.C.4) Écrire une séquence d’instructions Maple ou Mathematica permettant de créer la séquence des 100 premières courbes (on pourra créer une animation).} 35. III.D.1) Rappeler l’énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment ce théorème se traduit dans le cas d’un calcul d’aire.} 36. III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres complexes. En déduire l’expression du produit scalaire $\langle u \circ v(t), v'(t) \rangle$, lorsque $u$ et $v$ sont les applications $u : \mathbb{C} \to \mathbb{C},~z \mapsto iz$ et $v : t \mapsto \sigma(t) e^{i\mu(t)}$, où $\sigma$ et $\mu$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles et de classe $C^1$.} 37. III.D.3) Si $d(t)=\arctan(2\tan(t))$, simplifier $\frac{1}{2}(1+3\sin^2 t)d'(t)$.} 38. III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de $A$ sous la forme d’une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l’identité obtenue en III.D.3). Calculer enfin $A$.}FAQ
Pour déterminer l’image, le noyau et le rang d’un endomorphisme – points clés du programme de PC, comme dans ce sujet Centrale 2010 – commence par écrire la matrice de l’endomorphisme dans une base adaptée (souvent canonique), puis résous le système homogène pour le noyau. Pour l’image, tu identifies les colonnes non nulles dans la matrice ; leur nombre donne le rang. Au concours, une bonne maîtrise de la réduction de matrice et du théorème du rang t’assurera des points faciles.
Un sous-espace vectoriel F de \( \mathbb{R}^n \) (ou \( \mathbb{C}^n \)) est stable pour un endomorphisme c si, pour tout élément de F, son image par c reste dans F. Pour le démontrer, il suffit de prendre une base de F et de vérifier que c appliqué à chaque vecteur de cette base revient encore sur F (typiquement, tu t’aperçois que les images sont combinations linéaires des vecteurs de la base de F).
Tu dois systématiquement commencer par chercher le polynôme caractéristique : calcul de la trace, du déterminant, et des valeurs propres. Attention : une matrice réelle n’est pas toujours diagonalisable à coefficients réels, même si elle l’est sur \( \mathbb{C} \). Vérifie le nombre de valeurs propres simples, calcule éventuellement la multiplicité algébrique et géométrique de chaque valeur propre. Les exercices type Centrale te poussent aussi à examiner le lien avec la base choisie et à construire explicitement une matrice de passage, donc ne te contente pas de la théorie !
La trace te donne la somme des valeurs propres (avec multiplicité) d’un endomorphisme ou d’une matrice. C’est un outil rapide pour vérifier tes calculs de spectre ou pour infirmer certaines hypothèses. En revanche, la trace seule ne permet pas de conclure à la diagonalisabilité : il faut venir croiser avec d’autres critères, comme la dimension du noyau associée à chaque valeur propre et le degré du polynôme minimal.
Lorsque tu as \( f \circ c = f \), cela signifie que ta fonction est invariante par l’endomorphisme c. Selon le contexte, l’ensemble de ces fonctions forme souvent un sous-espace vectoriel (parfois appelé le sous-espace des invariants). Dans certains cas riches, ce sont des fonctions constantes sur les orbites de c, ou encore des fonctions qui descendent sur l’ensemble quotient. Ce raisonnement est très utile pour construire explicitement des familles de solutions et pour aborder les systèmes à symétrie.
Pour une équation différentielle non linéaire, commence toujours par vérifier les hypothèses du théorème d’existence et d’unicité de Cauchy (continuité, Lipschitzianité locale, etc.), puis cherche à rendre l’équation exploitable par séparation de variables, changement de fonction, ou méthode qualitative (étude des solutions maximales, existence de singularités, comportements asymptotiques). Le passage à une solution maximale est un classique du concours Centrale, donc entraîne-toi à caractériser le domaine de définition maximal et à manipuler les inverses locaux.
Le développement en série entière d’une solution permet d’analyser la régularité et la nature analytique de la solution près d’un point, souvent 0. Pour l’équation différentielle donnée, tu écris \( f(x) = \sum a_n x^n \), tu injectes dans l’équation, puis tu identifies les coefficients par récurrence. Ça te donne accès à des estimations de rayon de convergence et peut mettre en avant certaines propriétés (unicité, etc.). Cette technique est couramment demandée parce qu’elle fait le lien entre analyse et algèbre, notion essentielle au concours Centrale. Si tu veux t’entraîner sur ce type de méthodes, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster, tu y trouveras des exercices guidés !
Pour déterminer si un ensemble \( C \subset \mathbb{R}^2 \) défini par une ou plusieurs inégalités est ouvert, fermé, borné, compact ou convexe, commence par écrire l’ensemble explicitement et trace-le si possible. ‘Ouvert’ signifie que tout point de l’ensemble a un petit disque ouvert inclus dans l’ensemble ; ‘fermé’ signifie que tout point adhérent appartient à l’ensemble. La compacité revient à ‘fermé et borné’. Enfin, un ensemble est convexe si, pour tout couple de points dans l’ensemble, le segment les joignant reste entièrement inclus dedans. Ce sont toujours des questions classiques en fin de sujet, et il est crucial de bien connaître ces définitions !
Pour représenter une courbe paramétrée (type \( t \mapsto \rho(t) e^{it} \) ou courbes dans le plan complexe), il faut d’abord traduire les expressions paramétriques, puis choisir la bonne fenêtre de tracé (axe, échelle, intervalle de définition). En concours, tu gagnes du temps si tu as déjà manipulé un peu Maple ou Mathematica : connaitre la syntaxe basique pour Plot, ParametricPlot, manipulation des couleurs ou animations. Prépare-toi à ce genre de questions qui invitent aussi à comprendre le comportement géométrique des fonctions complexes ou trigonométriques.
Le théorème de Green-Riemann permet de transformer un calcul d’aire (ou de circulation) dans le plan en un calcul d’intégrale curviligne. Pour un domaine plan borné et régulier, l’aire s’obtient via une intégrale le long de la frontière du domaine. Ce théorème relie l’analyse vectorielle et l’intégration, deux piliers des sujets de Centrale. Il est bon de savoir adapter le théorème pour obtenir une expression simple de l’aire à partir des coordonnées paramétriques de la frontière du domaine.