Questions du sujet
1. I.A.1) Écrire une fonction suite qui prend en argument $x$ et l’entier $n$ et qui renvoie l’affichage de la liste (ou tableau si l’on préfère) $[s_1,s_2, \ldots ,s_n]$. 2. I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu’elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées $(n,S_n)_{n\leq 70}$ et de la droite horizontale d’ordonnée $x$ (on ne demande pas d’écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour $x = -1$, $n = 70$ le dessin suivant:\\[.2cm] Que constate-t-on pour la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$? Expliquer le principe de l’algorithme. 3. I.B On pose dorénavant, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $s(n) = s_n$. Prouver, pour $n > 1$, les propriétés suivantes : \[ \left\{ s(1), s(2), \ldots, s(n) \right\} = \left\{2,4,\ldots,2p_n\right\} \cup \left\{1,3,\ldots,2q_n-1\right\} \] \[ p_n + q_n = n \] \[ S_n = u_{s(1)} + \cdots + u_{s(n)} \] En déduire que $s$ est injective. 4. I.C.1) Démontrer qu’une suite d’entiers convergente est constante à partir d’un certain rang. 5. I.C.2) On se propose de démontrer que la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ croît vers $+\infty$.\\ a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée. Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour $n > n_0$, $S_n > x$ et \[ S_n = S_{n_0} – \sum_{k=n_0}^{n-1} \frac{1}{2q_{n_0} + 2k – 2n_0 + 1} \] En déduire une contradiction.\\ b) Déduire du raisonnement précédent que la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.} 6. I.C.3) Justifier rapidement que $(q_n)$ tend vers $+\infty$. 7. I.C.4) Déduire de ce qui précède que $s$ est une bijection de $\mathbb{N}^*$ sur lui-même. 8. I.D.1) Démontrer que, pour tout entier $n > 0$, on a : $|S_{n+1} – x| \leq |S_n – x|$ ou $|S_{n+1} – x| \leq |u_{s(n+1)}|$ 9. I.D.2) En déduire que pour tout naturel $N$, il existe un entier $n > N$ tel que $|S_{n+1} – x| \leq |u_{s(n+1)}|$ 10. I.D.3) Justifier l’existence d’un entier $n_0$ tel que pour $n > n_0$, $p_n > 1$ et $q_n > 1$.} 11. I.D.4) Soit $n > n_0$. On note $v_n = \max\left(|S_n – x|, |u_{2p_n + 1}|, |u_{2q_n + 1 – 1}|\right)$. Démontrer que $(v_n)_{n > n_0}$ est décroissante. En déduire qu’elle converge vers $0$. 12. I.D.5) Démontrer que $(S_n)$ converge vers $x$ et conclure. 13. I.E.1) Démontrer l’existence d’une constante $\gamma > 0$ telle que : \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)\text{ quand } n \to +\infty. \] 14. I.E.2) Donner un développement analogue pour $\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}$ en fonction de $\gamma$. 15. I.E.3) a) Justifier, pour tout naturel $n$ tel que $p_n > 1$ et $q_n > 1$, l’égalité : \[ S_n = \sum_{k=1}^{p_n} \frac{1}{2k} – \sum_{k=1}^{q_n} \frac{1}{2k-1} \] b) En déduire que : $S_n = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{p_n}{n-p_n}\right) – \ln 2 + o(1)$.\\ c) En déduire un équivalent simple de $p_n$ et de $q_n$.\\ d) Déterminer la limite de : \[ \frac{|u_{s(1)}| + |u_{s(2)}| + \cdots + |u_{s(n)}|}{|u_1| + |u_2| + \cdots + |u_n|} \] quand $n \to +\infty$.} 16. II.A Montrer qu’une suite complexe $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que la série $\sum a_n$ converge absolument vérifie (P1). 17. II.B Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que la série $\sum |a_{n+1} – a_n|$ converge.\\ II.B.1) Prouver que la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ possède une limite.\\ II.B.2) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que la série $\sum u_n$ converge. On note $U_n = u_0 + \cdots + u_n$. Prouver, pour tout entier naturel $N$, la relation : \[ \sum_{n=0}^N a_n u_n = \sum_{n=0}^{N-1}(a_n – a_{n+1})U_n + a_N U_N. \] En déduire que la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie (P2). 18. II.C Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\sum |a_n|$ diverge. Construire une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres complexes de module $1$ telle que la série $\sum a_n u_n$ diverge. Caractériser les suites complexes $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifiant (P1). 19. II.D Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels positifs telle que la série $\sum a_n$ diverge. On se propose de construire une suite $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tendant vers $0$ telle que la série $\sum a_n \varepsilon_n$ diverge. Pour cela on définit par récurrence trois suites $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ comme suit :\\ • $p_0=0,\ \varepsilon_0=1,\ A_0=a_0$.\\ • Pour $n>1$ : \[ \left\{ \begin{array}{lll} p_n=1+p_{n-1} \text{ et } \varepsilon_n=\frac{\varepsilon_{n-1}}{2} & \text{si} & A_{n-1}>p_{n-1} \\ p_n=p_{n-1} \text{ et } \varepsilon_n=\varepsilon_{n-1} & \text{sinon} \end{array} \right. \] Dans tous les cas : $A_n = A_{n-1} + a_n \varepsilon_n$.\\ II.D.1) Dans cette question seulement on suppose que $a_0=1$ et, pour tout $n>1$, $a_n=\frac{9}{4(n+1)}$. Déterminer les 6 premiers termes des suites $(p_n)$, $(\varepsilon_n)$ et $(A_n)$. Écrire une procédure {\tt exemple} qui prend en argument l’entier $n$ et retourne la liste : \begin{itemize} \item en Maple : $[[0,p_0,\varepsilon_0,A_0], [1,p_1,\varepsilon_1,A_1], \ldots, [n,p_n,\varepsilon_n,A_n]]$ \item en Mathematica : $\{\{0,p_0,\varepsilon_0,A_0\}, \{1,p_1,\varepsilon_1,A_1\},\ldots, \{n,p_n,\varepsilon_n,A_n\}\}$ \end{itemize} 20. II.D.2)\\ a) Démontrer que pour tout naturel $N$, il existe un entier $n > N$ tel que $p_n = 1 + p_{n-1}$ (on pourra raisonner par l’absurde). En déduire qu’on peut définir une suite $(n_k)_{k\in\mathbb{N}}$ strictement croissante d’entiers par : \[ \left\{ \begin{array}{l} n_0 = 0 \\ n_{k+1} = \min\{ n \in \mathbb{N}\ |\ n > n_k \ \text{et}\ p_n=1 + p_{n-1} \} \end{array} \right. \] pour $k > 0$.\\ b) Dans le cas général, calculer $p_{n_k}$, $\varepsilon_{n_k}$. Prouver que la suite $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers 0 et que la série $\sum \varepsilon_n a_n$ diverge.\\ c) Déterminer $n_1$, $n_2$ et $n_3$ pour l’exemple de la question III.B.1).} 21. II.D.3) Dans cette question seulement on suppose que : $\forall n\in\mathbb{N},\ a_n = \frac{1}{n+1}$.\\ a) Écrire une fonction {\tt indexer} qui prend en argument l’entier $n$ et qui retourne : \begin{itemize} \item en Maple, la liste $[[0,n_0], [1,n_1],\ldots, [q, n_q]]$ \item en Mathematica, la liste $\{\{0,n_0\}, \{1,n_1\},\ldots, \{q,n_q\}\}$ \end{itemize} où $q$ est le plus grand des entiers $k$ tel que $n_k \leq n$. Par exemple l’appel de {\tt indexer}(10000) retourne : $[0,0], [1,1], [2,2], [3,51]$ (resp. $\{0,0\},\{1,1\},\{2,2\},\{3,51\}$).\\ b) Soit $k > 3$ un indice tel que $n_k – 2 > n_{k-1}$. Prouver l’inégalité : \[ k-1 \leq A_{n_{k-1}} \leq k-1 + \frac{1}{2^{k-1}} n_k \] En déduire que $n_{k+1} – 2 > n_k$.\\ c) Calculer explicitement la différence $A_{n_{k+1}-1} – A_{n_{k-1}}$ en fonction de $k$, $n_k$ et $n_{k+1}$. En déduire, pour $k > 3$, l’inégalité : \[ \frac{1}{2^k} \ln\left(\frac{n_{k+1}+1}{n_k+1} \right) \leq A_{n_{k+1}-1} – A_{n_{k-1}} \leq \frac{1}{2^k} \ln\left(\frac{n_{k+1}}{n_k}\right) \] d) Déduire des deux questions précédentes, pour $k > 3$, l’inégalité : \[ \frac{2^k}{n_k} \leq \ln\left( \frac{n_{k+1}}{n_k} \right) \leq \frac{2^k + 1}{n_{k+1}} – \ln\left(1 + \frac{1}{n_{k+1}}\right) + \ln\left(1 + \frac{1}{n_k}\right) \] e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de terme général $(\ln n_k – 2^k)$ ; puis prouver l’existence d’une constante $C > 0$ telle que : \[ n_k \sim_{k \to +\infty} C\exp(2^k) \] en déduire que : \[ A_{n_k} \sim_{k\to +\infty} \frac{\ln(\ln n_k)}{\ln 2} \] puis que : \[ A_n \sim_{n \to +\infty} \frac{\ln(\ln n)}{\ln 2} \] Que peut-on penser de l’exécution de la fonction {\tt indexer} ? 22. II.E Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de réels tendant vers 0, la série $\sum \varepsilon_n a_n$ converge.\\ a) Prouver que la série $\sum \varepsilon_n |a_n|$ converge.\\ b) En déduire que la série $\sum |a_n|$ converge. 23. II.F Soit maintenant $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels telle que, pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, la convergence de la série $\sum x_n$ entraîne la convergence de la série $\sum a_n x_n$.\\ II.F.1) Prouver que la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée.\\ II.F.2) Soit $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence de la série $\sum \varepsilon_n (a_{n+1} – a_n)$.\\ II.F.3) Prouver que la série $\sum |a_{n+1} – a_n|$ converge.\\ II.F.4) Caractériser les suites vérifiant (P2).}FAQ
Ce sujet aborde en profondeur les propriétés des suites (arithmétiques, récurrentes, injectivité, bijection), la convergence ou divergence de suites d’entiers, ainsi que la convergence uniforme ou absolue de suites et séries de réels ou de complexes. On y retrouve aussi l’étude du comportement asymptotique, la construction de suites particulières, et des questions classiques sur les équivalents et développements asymptotiques.
La convergence absolue d’une série implique directement la convergence simple (ou ordinaire), mais l’inverse n’est pas toujours vrai. C’est un outil fondamental pour manipuler les séries, notamment pour la manipulation des termes (sommation, réarrangement). Les questions de ce sujet t’apprennent à bien distinguer ces notions et à utiliser les propriétés de chaque type de convergence pour résoudre des exercices difficiles, souvent rencontrés en concours.
Manipuler les sommes, obtenir des équivalents ou des asymptotiques précis, c’est fondamental pour les grands concours comme Centrale. Les développements du type \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1) \) sont omniprésents en analyse et en probas. Savoir les retrouver, les utiliser ou les adapter à diverses situations te donne une longueur d’avance et est indispensable pour gérer les questions de limites ou d’étude fine des suites et séries.
La capacité à formaliser des algorithmes (en Maple ou Mathematica) te permet de tester des hypothèses, de générer rapidement des suites ou des tableaux de valeurs pour observer des comportements. Dans ce sujet, c’est un bon moyen de visualiser la convergence ou l’évolution de suites complexes, et de t’entraîner à traduire une démarche mathématique en code – une compétence de plus en plus valorisée en maths sup et spé.
Pour prouver qu’une suite définie par un algorithme ou une construction est injective ou bijective, il faut souvent passer par des propriétés de récurrence, des décompositions en parties ou la preuve d’une couverture et d’une distinction des valeurs. Ce sont des arguments classiques à maîtriser pour les oraux comme pour les écrits, et ce sujet type Centrale offre un excellent entraînement pour ces démonstrations.
Toujours commencer par tester la convergence ou la divergence, soit via les critères classiques (comparaison, racine, d’Alembert, critères de Cauchy), soit par un développement asymptotique fin si c’est possible. Ensuite, bien distinguer entre convergence simple et absolue, et savoir utiliser les propriétés des séries télécopiques, les critères pour les suites à variation bornée, ou encore les séries à termes positifs. L’entraînement sur des sujets corrigés est fondamental pour progresser efficacement : pense à débloquer le corrigé pour t’exercer à ces méthodes !