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Centrale Maths 1 PC 2007

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Questions du sujet

1. Quel lien y a-t-il entre une trajectoire $\gamma(t)$ du système et le champ $\Phi(X)$ ? 2. Démontrer que si $(X(t), t\in I)$ est une solution de $(S)$, la fonction d’énergie $F(X) = y^2/2 + f(x)$ est constante sur $I$. Pour toute trajectoire issue de $X_0$, on notera $h = F(X_0)$ cette valeur constante, ou énergie de la trajectoire. Il en résulte que si $X = (x, y)$, la conservation de l’énergie $(H)$ $F(X) = h$ donne une équation implicite des trajectoires dans le plan de phase $P$. 3. I.A.1) Déterminer la solution $t \mapsto x(t)$ d’énergie $h > 0$. Quelle est la période $T$ de cette solution ? 4. I.A.2) Démontrer que la trajectoire associée dans l’espace des phases est une courbe fermée $\Gamma_h$ dont on précisera la nature et tracera le graphe\\ a) Donner son équation et ses points caractéristiques en fonction de $\omega$ et $h = F(X_0)$.\\ b) Indiquer sur le graphe le sens de parcours de cette trajectoire. 5. I.A.3) Que vaut la solution $t\mapsto X(t)$ si $X_0 = (0, 0)$ ? Quelles sont toutes les trajectoires d’énergie $0$ ?} 6. I.B.1) Calculer la solution générale $t\mapsto x(t)$. 7. I.B.2) Donner l’équation des trajectoires $\gamma_h$ et les représenter graphiquement selon que $h > 0$, $h < 0$ ou $h = 0$ (on indiquera le sens de parcours de ces trajectoires). Quelle est la nature de ces courbes, sont-elles fermées ? 8. I.B.3) Que se passe-t-il si $X_0 = (0, 0)$ ? Quelles sont toutes les trajectoires d’énergie nulle ? 9. II.A.1) Soit $U = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) 0$. On suppose $\alpha < u$ (resp. $v < \beta$). Appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz et en déduire une contradiction (examiner les signes de $\psi'(u), x_1'(u)$). 14. II.C.2) En déduire que $\Psi$ est l’unique solution de $(S)$ définie sur $J(x_0)$ satisfaisant à la condition initiale $\Psi(0) = (x_0, y_0)$. 15. II.D) Démontrer que $Z : t \mapsto (\psi(-t), -\psi'(-t))$ est l’unique solution de $(S)$ sur $]-\beta, -\alpha[$ partant à l’instant $t = 0$ du point $Z_0 = (x_0, -y_0)$.} 16. II.E.1) On veut ici caractériser les différents types de trajectoires possibles. On suppose ici que $-\infty < a$, $f'(a) \neq 0$ et $b < +\infty$, $f'(b) \neq 0$. Démontrer les propriétés suivantes :\\ a) $f(a) = f(b) = h$, $f'(a) < 0$, $f'(b) > 0$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$\\ b) Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to\alpha^+}\Psi(t)$ et $\displaystyle\lim_{t\to\beta^-}\Psi(t)$, puis montrer que $\Psi$ se prolonge sur $[\alpha, \beta]$.\\ c) Montrer que la trajectoire $\Psi$ se prolonge par la fonction $t \mapsto Z(t – 2\beta)$ définie sur l’intervalle $]\beta, 2\beta-\alpha[$ en une solution $t \mapsto X(t)$ de $(S)$ définie sur $]\alpha, 2\beta-\alpha[$ dont les deux extrémités coïncident.\\ d) Montrer que $t \mapsto X(t)$ se prolonge en une solution périodique sur $\mathbb{R}$ en posant $X(\alpha) = (a, 0)$. Exprimer la période $T$ sous forme intégrale, représenter le graphe de la trajectoire $\Gamma$ dans $P$, en précisant les temps associés aux points $(a, 0), X_0, (b, 0), Z_0, (a, 0)$. 17. II.E.2) On suppose ici que $-\infty < a$, $f(a) = h$ et $f'(a) = 0$, $f''(a) \neq 0$. Démontrer que $f''(a) < 0$ et $\alpha = -\infty$. Énoncer le résultat équivalent pour $b$. 18. II.E.3) On suppose ici que $a = -\infty$. Que peut-on dire de la trajectoire sur l’intervalle de temps $]\alpha, 0[$~? Énoncer le résultat équivalent pour $b$. 19. II.E.4) Pour les trajectoires $\Gamma_h$ ou $\gamma_h$ étudiées en partie I, préciser les points $a, b$ et leur nature (type II.E.1) ou II.E.2) ou II.E.3)). 20. III.A) Soit $e\in\mathbb{R}$, on dit que $E = (e,0)$ est un point d’équilibre du système $(S)$ si $\Phi(E) = 0 \Leftrightarrow f'(e) = 0$.\\ Quelle est la solution de $(S)$, définie sur $\mathbb{R}$, partant de $X_0 = E$~?} 21. III.B) Déterminer les solutions de $(L)$ (on posera $f''(e) = \pm\gamma^2$ avec $\gamma \in \mathbb{R}_+$). 22. III.C) Le point d’équilibre $(e, 0)$ est dit stable si les solutions de $(L)$ restent bornées lorsque $t \rightarrow \pm\infty$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(e, 0)$ soit un équilibre stable. 23. III.D.1) Démontrer qu’il existe un intervalle $[c, d]$ contenant $e$ tel que la restriction de $f$ à $[c, e]$ (resp. $[e, d]$) soit un $C^1$-difféomorphisme sur son image $[0, f(c)]$ (resp. $[0, f(d)]$). 24. III.D.2) En déduire l’existence de $H > 0$ tel que, pour tout $h\in]0, H]$, l’équation $f(x) = h$ admet deux solutions $x_-(h), x_+(h)$ avec $x_-(h) < e < x_+(h)$ et $\displaystyle\lim_{h\to 0} x_-(h) = \lim_{h\to 0} x_+(h) = 0$. 25. III.D.3) Démontrer que $(e, 0)$ est un minimum local strict de $F(X)$, en déduire qu’il existe $R>0$ tel que, pour toute condition initiale $X_0 \in B(E, R)$ (disque de centre $E$ et de rayon $R$), la trajectoire associée est périodique. Déterminer la période $T(h)$ comme intégrale fonction de $h$.} 26. III.E.1) Soit une suite $(h_n)_{n\in\mathbb{N}}$ positive avec $\displaystyle\lim_{n\to\infty} h_n = 0$. On pose, pour simplifier, $x_{+n} = x_+(h_n)$, $x_{-n} = x_-(h_n)$, $T_n = T(h_n)$.\\ Donner le développement limité à l’ordre $2$ de $f(u)$ au voisinage de $e$. En déduire une expression de $h_n$ en fonction de $x_{+n}$ et $v$. 27. III.E.2) En paramétrant le segment $[e, x_{+n}]$ par $v \in [0, 1]$, démontrer l’existence d’une suite de fonctions continues $(\varepsilon_{+n})$ qui tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l’infini, telle que \[ \int_{x_{+n}}^e \frac{\text{d}u}{\sqrt{2(h_n – f(u))}} = \int_0^1 \frac{\text{d}v}{\sqrt{(1-v^2)f”(e) + \varepsilon_{+n}(v)}} \] Énoncer le résultat analogue sur l’intervalle $[x_{-n}, e]$. 28. III.E.3) En déduire $\displaystyle\lim_{n\to\infty} T_n$ puis $\displaystyle\lim_{h\to 0} T(h)$ (énoncer précisément le théorème utilisé). Quelle période retrouve-t-on ? 29. IV.A) On prend ici $f(x) = -\cos(x)$. Le système $(S)$ représente alors le mouvement d’un pendule non linéaire (grandes élongations). Le champ de vecteur $\Phi(X)$ est alors $2\pi$-périodique en $x$.\\ Déterminer tous les points d’équilibre. Lesquels sont stables ? 30. IV.B) Démontrer que toute trajectoire du système d’énergie $h\in]0, 1[$ est périodique. Comment sont définis les points $a, b$~?} 31. IV.C) Pour une condition initiale $X_0 \in P_+$ d’énergie $h > 1$, préciser les points $a, b$ et leur type (cf. II.E). Démontrer qu’alors on a $\alpha = -\infty$, $\beta = +\infty$, tracer qualitativement la trajectoire en indiquant le sens du parcours. 32. IV.D) On prend ici une condition initiale $X_0 = (0, y_0)$ d’énergie $h = 1$. Que vaut $y_0 > 0$ ? 33. IV.D.1) Préciser les points $a, b$ et utiliser II.E. Quelle est le type des points $a, b$ ? Que valent ici $\alpha$, $\beta$ ? Interpréter le résultat par rapport au pendule. 34. IV.D.2) Calculer explicitement la fonction $\tau(x)$, en déduire $x(t)$. 35. IV.D.3) Démontrer que la trajectoire $X(t)$ et sa symétrique $Z(t)$ séparent les trajectoires périodiques des trajectoires non périodiques.} 36. IV.D.4) Représenter qualitativement les trois familles de trajectoires dans le plan $P$, avec les sens de parcours. 37. IV.E.1) On perturbe le pendule, et la fonction $f$ devient ici $f(x) = -\cos(x) + \frac{1}{20}x^2$. Déterminer le nombre de points d’équilibre et leur stabilité. 38. IV.E.2) Démontrer que toutes les trajectoires sont ici du type II.E.1, à l’exception de celles passant par les équilibres instables. 39. IV.E.3) Établir un programme pour calculer la position du point d’équilibre $(e, 0)$ le plus proche à droite de $(0, 0)$.}

FAQ

Quelles sont les notions principales abordées dans le sujet Maths Centrale PC 2007 ?

Le sujet traite en profondeur des systèmes dynamiques, de la conservation de l’énergie, des équations différentielles autonomes, des points d’équilibre et de stabilité, ainsi que de l’étude qualitative des trajectoires dans le plan de phase. Bien sûr, la maîtrise des intégrales, du champ de vecteurs et des propriétés différentielles de fonctions est essentielle ici. Débloque le corrigé sur Prépa Booster pour accéder aux solutions détaillées et t’entraîner avec des exercices similaires.

Quelle est la différence entre trajectoire dans le plan de phase et évolution temporelle d’un système ?

La trajectoire dans le plan de phase permet de visualiser l’évolution de l’état du système (position, vitesse, etc.) indépendamment du temps : on y trace toutes les valeurs possibles que peut prendre le couple (x(t), y(t)). L’évolution temporelle, elle, décrit justement comment ces valeurs évoluent au fil du temps. Cette distinction est fondamentale pour analyser la stabilité et la nature des solutions d’un système dynamique.

À quoi sert la conservation de l’énergie dans l’étude d’un système différentiel ?

La conservation de l’énergie permet souvent de réduire la complexité d’une équation différentièle : on transforme le problème dynamique en un problème géométrique, en définissant une courbe niveau qui caractérise les trajectoires. Cela aide à identifier les types de trajectoires (fermées, ouvertes), à déterminer les points d’équilibre et à étudier la stabilité. C’est une stratégie très puissante en mécanique analytique et en mathématiques appliquées.

Comment reconnaître un point d’équilibre et déterminer sa stabilité dans un système à deux variables ?

Un point d’équilibre (ou stationnaire) est une position où la dérivée du champ de vecteurs s’annule : ici, f’(e) = 0. Pour la stabilité, tout se joue sur la dérivée seconde de la fonction d’énergie (ou potentielle) : si elle est positive c’est un minimum (stable), si elle est négative c’est un maximum (instable). On peut affiner avec une étude spectrale de la matrice jacobienne si besoin.

Quels exemples concrets de systèmes physiques sont abordés dans ce sujet de Maths Centrale PC ?

L’exemple central est celui du pendule simple, modélisé avec une énergie potentielle f(x) = -cos(x), ce qui permet d’aborder à la fois le régime des petites oscillations et celui des grandes amplitudes (non linéarités). On rencontre aussi des systèmes conservatifs plus généraux, illustrant la pertinence de la mécanique classique dans l’étude des équations différentielles du second ordre.

Pourquoi les équations différentielles du second ordre sont-elles omniprésentes en Physique et en Maths spé ?

Elles modélisent la grande majorité des phénomènes physiques usuels — oscillateurs, mouvements planétaires, circuits électriques, mécanique des fluides… Elles décrivent la dynamique d’un système à partir de ses lois fondamentales. Savoir les résoudre, qualitativement comme quantitativement, est donc un atout majeur en concours comme pour la suite des études scientifiques.

Comment le théorème de Cauchy-Lipschitz intervient-il dans les exercices de ce sujet ?

Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence et l’unicité des solutions locales des équations différentielles, sous réserve de certaines hypothèses de régularité sur le champ de vecteurs. Dans le sujet, il te permet, dès lors que les hypothèses sont vérifiées, d’assurer que les trajectoires étudiées sont bien définies — ce qui évite toute ambiguïté lors de la résolution.

Quels types de courbes rencontre-t-on dans le plan de phase ?

On tombe fréquemment sur trois grandes familles : les courbes fermées (solutions périodiques), les courbes ouvertes finies (solutions qui rejoignent un point en un temps fini, souvent les homoclines/hétéroclines), et les trajectoires ouvertes infinies (le système diverge ou fait une transition d’état). Fonctions d’énergie, points singuliers et stabilité jouent un rôle clé pour les reconnaître.

Travailler sur les intégrales pour obtenir les solutions explicites, c’est toujours indispensable ?

Pas forcément ! Parfois, une solution explicite n’a pas de formule simple avec les fonctions usuelles. Dans ce cas, il faut être capable d’exprimer la solution sous forme intégrale, d’étudier ses propriétés (période, comportement asymptotique…) et d’interpréter son sens physique. Savoir manipuler et exploiter une solution sous forme « implicite » est un véritable critère de maîtrise à Centrale.

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