Questions du sujet
1. I.A.1) Donner l’ensemble des solutions de (F0). 2. I.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour $h : x \mapsto \cos (x)$. Donner l’ensemble des solutions de (Fh) dans ce cas. 3. I.A.3) Dans cette question uniquement, on prend pour $h$ la fonction $2\pi$-périodique sur $\mathbb{R}_+$, définie par \[ h(x) = \begin{cases} \sin (x) & \text{si } x \in [0, \pi] \\ 0 & \text{si } x \in ]\pi, 2\pi] \end{cases} \] Démontrer que $h$ est continue sur $\mathbb{R}_+$ et déterminer l’ensemble des solutions de (Fh). 4. I.B Si $(a, b) \in \mathbb{R}^2$, et $f$ est la solution de (F0) vérifiant $\begin{pmatrix} f(0), f'(0) \end{pmatrix} = (a, b)$, montrer que $f \in B$ et $\|f\|_\infty \leq \|(a, b)\|$. 5. I.C Si $h \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$, montrer que $f_0 : t \in \mathbb{R}_+ \mapsto \int_0^t h(u)\sin(t-u)\, du$ est solution de (Fh), et en déduire l’ensemble des solutions de (Fh).} 6. I.D On donne $h \in L^1$. Déterminer la solution $f$ de (Fh) vérifiant $\begin{pmatrix} f(0), f'(0) \end{pmatrix} = (0,0)$, montrer que $f \in B$, et $\|f\|_\infty \leq \sqrt{2}\|h\|_1$. En déduire que (Fh) est stable par rapport au second membre au sens 1. 7. I.E Soit $\delta \in \mathbb{R}_+^*$. Résoudre l’équation différentielle $y” + y = \delta \cos(t)$, et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisément, ne sont pas en $o(t)$ quand $t \to +\infty$. En déduire la non stabilité de (F0) par rapport au second membre au sens $\infty$. 8. II.A Démontrer l’existence de $I(\alpha)$, pour $\alpha > 1$, et sa continuité par rapport à $\alpha$. 9. II.B.1) Justifier l’existence d’une primitive $A$ de $\dfrac{g’}{g}$, et montrer que $g e^{-A}$ est constante. 10. II.B.2) En écrivant la fonction $A$ sous la forme $A = B + iC$, où $B$ et $C$ sont des fonctions à valeurs réelles, justifier qu’existent $r \in C^k(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+^*)$ et $\theta \in C^k(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ tels que $g = r e^{i\theta}$.} 11. II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu’existent $r \in C^1(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+^*)$ et $\theta \in C^1(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ telles que $f = r \cos(\theta)$ et $f’ = r \sin(\theta)$. Exprimer $r$ en fonction de $f$ et $f’$. Les fonctions $r$ et $\theta$ sont fixées ainsi pour la suite de la partie. 12. II.C.2) Démontrer que $\theta’ = -1 + q\sin(\theta)\cos(\theta)$. 13. II.C.3) Démontrer que $r’ = q r \sin^2(\theta)$. 14. II.C.4) Démontrer que $r$ a une limite strictement positive en $+\infty$ vérifiant $\lim_{+\infty} r \leq r(0)\exp(I(\alpha))$. Démontrer que $f$ et $f’$ sont bornées par $\|(f(0), f'(0))\| \exp(I(\alpha))$. 15. II.C.5) Démontrer que $\theta(t) + t$ tend vers une limite réelle quand $t \to +\infty$.} 16. II.C.6) Démontrer qu’existent $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $f(t) – a \cos(t + b) \to 0$ quand $t \to +\infty$. 17. II.C.7) Tracer l’allure du graphe de $f$ vers $+\infty$. 18. III.A Démontrer que $(E_{\alpha,0})$ est stable par rapport aux conditions initiales. 19. III.B.1) Déterminer une équation différentielle vérifiée par $w$, et montrer qu’existent $a, b$ réels tels que pour tout $x \in \mathbb{R}_+, 0 < a \leq |w(x)| \leq b$. 20. III.B.2) Si $h \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$, montrer que les solutions de $(E_{\alpha,h})$ sont les fonctions du type $f = -C_1 f_1 + C_2 f_2$, où $C_1$ est une primitive de $\frac{h f_2}{w}$ et $C_2$ une primitive de $\frac{h f_1}{w}$.} 21. III.B.3) Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes requises sur $C_1$ et $C_2$ dans la question précédente pour avoir $\begin{pmatrix} f(0), f'(0) \end{pmatrix} = (0,0)$ ? 22. III.B.4) Démontrer l’existence de $C \in \mathbb{R}_+$ telle que : pour tout $h \in L^1$, la solution $f$ de $(E_{\alpha,h})$ vérifiant $\begin{pmatrix} f(0), f'(0) \end{pmatrix} = (0,0)$ est dans $B$, et $\|f\|_\infty \leq C \|h\|_1$. En déduire que $(E_{\alpha,0})$ est stable par rapport au second membre au sens 1. 23. III.C.1) Démontrer que $\Phi$ est solution de $(E_{\alpha,h})$, pour une fonction $h \in C(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ vérifiant $h(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$. 24. III.C.2) Démontrer que $h(t) \to 0$ implique que $\int_0^t |h| = o(t)$ quand $t\to+\infty$. 25. III.C.3) Utilisant la résolution de $(E_{\alpha,h})$ vue en III.B, montrer que $\Phi(t) = o(t)$ quand $t \to +\infty$.} 26. III.C.4) Démontrer que $(E_{\alpha,0})$ n’est pas stable par rapport au second membre au sens $\infty$. 27. III.D.1) Démontrer que $\Phi$ est une solution de l’équation différentielle $(E_{\alpha,h})$ avec \[ h : t \mapsto \left( \frac{1}{1+t^\beta} - \frac{1}{1+t^\alpha} \right) g' \] 28. III.D.2) Démontrer que $h \in L^1$ et \[ \|h\|_1 \leq \|(a,b)\|\, e^{I(\beta)} \left( |J(\alpha)-J(\beta)| + |K(\alpha)-K(\beta)| \right). \] 29. III.D.3) Démontrer que $(E_{\alpha,0})$ est stable par rapport au paramètre. 30. IV.A Établir que pour tout $t > 0$, $g”(t) + \left[1 – \frac{3}{4(t + 1)^2}\right]g(t) = 0$.} 31. IV.B Démontrer qu’existent $\rho \in C^2(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}_+^*)$ et $\beta \in C^2(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ telles que $g = \rho \cos(\beta)$ et $g’ = \rho \sin(\beta)$. 32. IV.C Déterminer une équation différentielle vérifiée par $\beta$ et montrer que $\beta(x) + x$ tend vers une limite réelle lorsque $x \to +\infty$. 33. IV.D Déterminer une équation différentielle vérifiée par $\rho$, et démontrer que $\rho$ tend vers une limite réelle $a > 0$ en $+\infty$. 34. IV.E Démontrer qu’il existe un réel $b$ tel que $f(t) – a\sqrt{t}\cos(t + b) = o(\sqrt{t})$ quand $t \to +\infty$, où $a$ est le réel défini ci-dessus. 35. IV.F Tracer l’allure du graphe de $f$ vers $+\infty$.} 36. V.A Démontrer que $(E_{1,0})$ n’est pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre. 37. V.B Si $\lambda \in \mathbb{R}$, et $f_\lambda : x \mapsto \lambda x \sin(x)$, calculer $f”_\lambda(x) – \frac{1}{1+x}f’_\lambda(x) + f_\lambda(x)$. Qu’en déduire concernant la stabilité de $(E_{1,0})$ par rapport au second membre au sens $\infty$ ?}FAQ
Ce sujet aborde avant tout les équations différentielles linéaires d’ordre 2, la stabilité des solutions, les fonctions de classe C^k, les fonctions périodiques, l’analyse des bornes des solutions (majorations, normes, etc.), mais aussi l’étude des comportements asymptotiques à l’infini. Il mobilise aussi des techniques de changement de variables, d’étude qualitative et quantitative des EDO, et certains outils d’analyse complexe comme l’écriture polaire. Ces notions sont fondamentales pour ce type d’épreuve et se retrouvent fréquemment aux concours d’écoles d’ingénieurs. N’hésite pas à consulter le corrigé détaillé pour chaque question afin de solidifier ta maîtrise de ces sujets incontournables.
Pour aborder sereinement les équations différentielles d’ordre 2 du concours Centrale, il te faut maîtriser la résolution homogène et inhomogène, savoir utiliser les conditions initiales pour déterminer les constantes, t’appuyer sur les méthodes variation de la constante ou transformation de l’équation selon la nature du second membre (périodique, borné, intégrable, etc.). N’oublie pas de soigner tes justifications sur la stabilité des solutions, l’encadrement des normes et la compréhension des comportements asymptotiques. Les exercices de ce sujet sont une vraie “boîte à outils” pour ces techniques. Découvre leur application pas à pas en débloquant le corrigé sur Prépa Booster !
La stabilité d’une équation différentielle (par rapport au second membre, aux conditions initiales ou au paramètre) est essentielle car elle permet d’analyser la sensibilité des solutions aux perturbations. Ce point est central tant pour la modélisation physique que pour l’analyse rigoureuse des systèmes en mathématiques appliquées. Ce sujet te fait explorer différentes notions de stabilité : au sens de la norme L^1, de la norme infinie, ou encore vis-à-vis des paramètres de l’équation. Comprendre et maîtriser ces aspects, c’est garantir des solutions robustes aux problèmes concrets et théoriques, un incontournable des épreuves du concours Centrale.
Oui, le comportement asymptotique des solutions est souvent étudié à l’aide des méthodes de changement de variables, d’analyse qualitative (majorations, encadrements, oscillations), d’utilisation de normes et parfois de passage à la forme polaire des solutions complexes. La compréhension du théorème de stabilité de Lyapunov, ou encore la méthode des phases rapides ou lentes (selon la structure du second membre ou des coefficients), est précieuse pour les exercices classiques et difficiles de concours. Pour voir comment appliquer concrètement ces méthodes, consulte le corrigé accessible sur Prépa Booster.
Une solution bornée d’une EDO est une fonction dont la norme reste toujours inférieure à une certaine valeur fixe, quelle que soit la valeur de la variable (ici, le temps t). Dire qu’une fonction est en o(t) signifie qu’elle croît moins vite que t lorsque t tend vers l’infini : précisément, f(t)/t tend vers 0. Ce sont des notions cruciales pour qualifier la stabilité et le type de croissance (ou décroissance) d’une solution, surtout dans l’étude des systèmes linéaires et de leur comportement à long terme. Elles sont omniprésentes pour distinguer la régularité et la robustesse d’un modèle en physique ou en ingénierie.
Maîtrise tes bases sur les équations différentielles, les comportements asymptotiques, et l’utilisation de la théorie des fonctions continues, dérivables voire analytiques. Prends le temps de bien comprendre la structure de l’épreuve et la formulation des questions qui peuvent mêler calcul formel, raisonnement sur la stabilité ou étude qualitative des solutions. Sois particulièrement vigilant à la rédaction, à la clarté de tes démonstrations, et à la présentation des propriétés sur les bornes et normes. N’oublie pas que t’entraîner sur de vrais sujets corrigés—comme ceux accessibles via Prépa Booster—est une clé pour progresser efficacement.