Questions du sujet
1. I.A – Déterminer le développement en série entière de la fonction $I_0(x) = \int_0^x e^{-t^2/2} dt$. 2. I.B.1) Donner la solution générale de l’équation (E): $y’ – x y(x) + e^{x^2/2} = 0$. 3. I.B.2) On désigne par $f$ la solution de (E) vérifiant la condition initiale $f(0) = 1$. Donner l’expression de $f(x)$. Montrer que $f(x)$ s’annule pour une seule valeur réelle de $x$, notée $\alpha$. 4. I.B.3) On se propose de calculer une valeur approchée de $\alpha$ par la méthode de Newton.\\ a) Déterminer préalablement un intervalle $[\alpha_1, \alpha_2]$, de longueur $1$, contenant $\alpha$. Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut l’appliquer à partir de l’intervalle $[\alpha_1, \alpha_2]$.\\ b) Écrire un algorithme, mettant en œuvre la méthode de Newton, permettant de déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-6}$ près. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.\\ c) Déterminer par l’algorithme mis en place une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-6}$ près. 5. II.A.1) Calculer $I_1(x)$.} 6. II.A.2) Trouver une relation entre $I_p$ et $I_{p-2}$, pour $p \geq 2$. 7. II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel $k$ il existe une constante $\lambda_k$ et un polynôme $A_k$ tels que : \[ \forall x \in \mathbb{R},\quad I_{2k+1}(x) = \lambda_k e^{x^2/2} + A_k(x) \] 8. II.B.2) Déterminer $\lambda_k$ et $A_k$. 9. II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel $k$ il existe une constante $\mu_k$ et un polynôme $B_k$ tels que : \[ \forall x \in \mathbb{R},\quad I_{2k}(x) = \mu_k I_0(x) + e^{x^2/2} B_k(x) \] 10. II.C.2) Déterminer $\mu_k$ et le degré de $B_k$.} 11. II.D.1) Si le degré de $P$ est égal à $n$, que peut-on dire du degré du polynôme : $1 + P'(X) – X P(X)$~? 12. II.D.2) Montrer qu’il n’existe pas de polynôme $P$ tel que $I_0(x) P(x) + e^{-x^2/2}$ soit une constante. 13. III.A.1) Montrer que $\varphi$ est une application linéaire sur $E$. 14. III.A.2) Déterminer le noyau de $\varphi$. 15. III.A.3) L’application $\varphi$ est-elle injective ? surjective ?} 16. III.A.4) Expliciter $f$ à l’aide d’une constante et de $e^{-t^2/2}$. 17. III.B.1) Quelle est l’image de $E$ par $\varphi$~? 18. III.B.2) Résoudre l’équation différentielle : $y” – 2 x y’ + (x^2 – 1) y = 0$. 19. III.C.1) Résoudre $\varphi(f) = 0$. 20. III.C.2) Résoudre $\varphi_n(f) = 0$.} 21. IV.A – $\varphi_0$ est-elle injective ? surjective ? 22. IV.B.1) Montrer que pour tout entier naturel, $X^{2n+1} \in \operatorname{Im}(\varphi_0)$. 23. IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à $\operatorname{Im}(\varphi_0)$. 24. IV.C.1) Déterminer un polynôme $P$ tel que $\varphi_0(P) = Q_q$. 25. IV.C.2) Montrer que pour tout entier naturel non nul le polynôme $Q_k(X)$ est élément de $P$.} 26. IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels $\operatorname{Vect}(X, X^3, \ldots, X^{2n+1})$ et $P$ sont en somme directe. 27. IV.C.4) Montrer que $\operatorname{Vect}(X, X^3, \ldots, X^{2n+1}) = \operatorname{Im}(\varphi_0) \oplus P$. 28. V.A – Donner la solution générale de l’équation (l’expression de cette solution utilise la fonction $H$). 29. V.B – Déterminer une fonction impaire, développable en série entière et solution de l’équation. Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière ? 30. V.C – À l’aide des questions précédentes calculer : \[ \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2} e^{-t^2/2} \] }FAQ
Ce sujet est particulièrement riche ! Il faut être à l’aise avec les développements en série entière, la résolution d’équations différentielles du premier et du second ordre, l’analyse des zéros de fonctions, ainsi que la méthode de Newton pour la recherche approchée de solutions. Tu dois aussi connaître les intégrales à paramètres, la manipulation de polynômes, les espaces vectoriels de polynômes, et les notions de linéarité. Enfin, la maîtrise du calcul formel et l’habitude de justifier rigoureusement chaque étape sont essentielles.
Les séries entières permettent de représenter des fonctions sous forme de sommes infinies de polynômes, ce qui est fondamental pour de nombreux raisonnements en analyse. Dans l’épreuve Centrale PC 2005, tu dois ainsi savoir développer des fonctions comme l’exponentielle ou des intégrales paramétrées en série entière, puis utiliser ces développements pour résoudre des équations ou approcher la valeur de certains zéros. C’est un outil puissant pour comprendre, manipuler et calculer les fonctions rencontrées en maths sup et maths spé.
Il est impératif de bien lire l’énoncé pour repérer le type d’équation différentielle : premier ou second ordre, linéaire ou non, homogène ou non. Ensuite, applique la méthodologie adaptée (variation de la constante, résolution de l’équation homogène, etc.) et exploite toute condition initiale indiquée dans le sujet. En Centrale, une attention particulière est portée à la justification de chaque étape et à la clarté des solutions. Le mieux pour progresser reste de t’entraîner sur les corrigés détaillés des sujets précédents : débloque les corrigés sur Prépa Booster pour avoir accès à l’ensemble des solutions commentées !
La méthode de Newton est une technique numérique pour approcher les solutions d’une équation f(x) = 0. Elle repose sur le calcul itératif et l’utilisation de la dérivée de la fonction. Pour le concours, il faut savoir exposer le principe, être capable de déterminer un intervalle d’encadrement pour la solution, et parfois rédiger un algorithme (souvent en pseudo-code ou sur calculatrice). Savoir discuter la rapidité de convergence et les conditions initiales est un vrai plus pour grappiller des points !
Les polynômes sont omniprésents en CPGE et dans les sujets d’écrit de Centrale : ce sont les outils de base pour manipuler les fonctions, étudier les applications linéaires, et résoudre des équations différentielles ou fonctionnelles. La compréhension des espaces vectoriels de polynômes, de la dimension, de l’injectivité ou surjectivité de certaines applications linéaires est indispensable. Cela permet aussi de travailler ta rigueur et de gagner en vitesse sur des raisonnements fréquents en oral comme à l’écrit.
Les intégrales dépendant d’un paramètre comme I_p(x) sont au cœur de l’analyse en prépa PC. Elles permettent de relier des méthodes issues du calcul différentiel à des questions d’étude de fonctions. Tu dois savoir dériver sous le signe intégral, manipuler ces objets et exploiter leurs propriétés pour déduire des récurrences ou simplifier certains calculs, comme dans ce sujet où elles apparaissent de manière récurrente.
Pour réussir, il faut être solide sur les bases (calculs de séries, équations différentielles linéaires, manipulations de polynômes), mais aussi savoir rédiger avec la rigueur attendue en CPGE. La gestion du temps et l’ordre dans lequel tu abordes les questions sont essentiels. Un conseil : entraîne-toi avec les corrigés des anciens sujets et profite des exercices corrigés de Prépa Booster pour t’habituer aux niveaux d’exigence du concours !
Le plus efficace, c’est de travailler d’abord seul sur les sujets, puis de consulter le corrigé détaillé pour identifier les points à retravailler, découvrir d’autres méthodes ou commentaires de correction. Sur Prépa Booster, l’accès au dashboard te permet de cibler tes révisions sur les notions que tu maîtrises le moins, et d’accéder à une collection d’exercices corrigés pour t’entraîner encore et encore. N’hésite pas à débloquer les corrigés pour passer à la vitesse supérieure !