Questions du sujet
1. Soit $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux à valeurs dans un intervalle $J$. Soit $\varphi$ une fonction continue et convexe sur $J$. Démontrer que
\[
\varphi \left( \frac{1}{b – a} \int_a^b f(t) \, dt \right) \leq \frac{1}{b – a} \int_a^b \varphi \circ f(t) \, dt.
\]
On pourra utiliser des sommes de Riemann.}
2. Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers 0.}
3. Déterminer la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Notant $\mathbb{1}_{[0,x]}$ la fonction indicatrice de $[0, x]$, on pourra remarquer que $g(x) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{x} t f(t) \mathbb{1}_{[0, x]}(t) \, dt$.}
4. En déduire que l’intégrale
\[
\int_0^{+\infty} h(x) \, dx
\]
converge et que
\[
\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \int_0^{+\infty} h(x) \, dx.
\]
On pourra utiliser une intégration par parties.}
5. Démontrer que, pour tout $x > 0$,
\[
\exp \left( \frac{1}{x} \int_0^x \ln(f(t)) \, dt \right) \leq e \frac{1}{x} \int_0^{x} t f(t) \, dt.
\]
On pourra remarquer que $\ln(f(t)) = \ln(t f(t)) – \ln(t)$.}
6. En déduire que $x \mapsto \exp \left( \frac{1}{x} \int_0^x \ln(f(t)) \, dt \right)$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$ et que
\[
\int_0^{+\infty} \exp \left( \frac{1}{x} \int_0^x \ln(f(t)) \, dt \right) dx \leq e \int_0^{+\infty} f(x) dx.
\]}
7. Soit $k$ dans $\mathbb{N}^*$. Démontrer que la fonction $v_k$ définie sur $[k-1, k]$ par
\[
v_k(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x} \sum_{i=1}^{k-1} \ln(a_i) + \frac{1}{x} (x – k + 1) \ln(a_k) & \text{si}\ k \geq 2 \\
\ln(a_1) & \text{si}\ k=1
\end{cases}
\]
est minimale pour $x = k$.}
8. Démontrer que, pour tout $k$ dans $\mathbb{N}^*$,
\[
\int_{k-1}^{k} \exp \left( \frac{1}{x} \int_0^x \ln(f(t)) \, dt \right) dx \geq \exp \left( \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \ln(a_i) \right) .
\]
On pourra utiliser la question précédente.}
9. En déduire l’inégalité de Carleman dans le cas où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite décroissante.}
10. Expliquer comment on peut retirer l’hypothèse de décroissance.}
11. On admet que $f$ et $g_s$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U_n$. Donner l’expression de leur gradient en un point $x = (x_1, \dots, x_n)$ de $U_n$.}
12. Démontrer que la restriction de $f$ à $X_s$ admet un maximum sur $X_s$ et que ce maximum est en fait atteint sur $X_s \cap U_n$.
On pourra vérifier que $f$ est strictement positive en certains points de $X_s \cap U_n$.}
13. On note $a = (a_1, \dots, a_n)$ un élément de $X_s \cap U_n$ en lequel la restriction de $f$ à $X_s$ atteint son maximum. Démontrer qu’il existe un réel $\lambda > 0$ tel que, pour tout $k$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$, $a_k = \frac{f(a)}{\lambda}$.}
14. Démontrer alors que, pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in U_n \cap X_s$,
\[
\left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
\]
et en déduire l’inégalité arithmético-géométrique
\[
\forall (x_1, \dots, x_n) \in (\mathbb{R}_+)^n,\ \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i.
\]}
15. Déterminer le gradient de $F_n$ et le gradient de $h_n$ en tout point de $U_n$.}
16. Démontrer que la restriction de $F_n$ à $U_n \cap H_n$ admet un maximum.
On admet que le maximum de $F_n$ est en fait atteint sur $U_n \cap H_n$.
On note $M_n$ le maximum de $F_n$ sur $U_n \cap H_n$ et on note $(a_1, \dots, a_n)$ un point de $U_n \cap H_n$ en lequel il est atteint.
Pour $k$ entre $1$ et $n$, on note $\gamma_k = (a_1 a_2 \dots a_k)^{1/k}$.}
17. Démontrer qu’il existe un réel $\lambda > 0$ tel que
\[
\begin{cases}
\gamma_1 + \dfrac{\gamma_2}{2} + \cdots + \dfrac{\gamma_n}{n} = \lambda a_1 \\
\dfrac{\gamma_2}{2} + \cdots + \dfrac{\gamma_n}{n} = \lambda a_2 \\
\vdots \\
\dfrac{\gamma_n}{n} = \lambda a_n \\
a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1
\end{cases}
\]}
18. En déduire que :\\
a) $\lambda = \gamma_1 + \gamma_2 + \cdots + \gamma_n = M_n$ ;\\
b) pour tout $k$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$, $\gamma_k = \lambda \omega_k a_k$, où
\[
\omega_k =
\begin{cases}
k \left(1 – \dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right) & \text{si } k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket \\
n & \text{si } k = n
\end{cases}
\]}
19. Vérifier que, pour tout $k$ dans $\mathbb{N}$,
\[
\frac{1}{e} \leq \left( \frac{k+1}{k+2} \right)^{k+1}.
\]}
20. Démontrer que $\omega_1 \leq \frac{1}{e}$ et que, pour tout $k$ dans $\llbracket 1, n\rrbracket$, $\omega_k \leq \frac{k}{k+1}$.
On pourra démontrer, pour $k \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$, que
\[
\frac{\omega_{k+1}}{k+1} = \frac{1}{\lambda} \frac{\omega_k}{k} (1 – \frac{\omega_k}{k})^{-k}.
\]}
21. Aboutir à une contradiction sur $\omega_n$. En déduire que, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, pour tout $(x_1, \ldots, x_n) \in (\mathbb{R}_+^*)^n$ tels que $x_1 + \cdots + x_n = 1$,
\[
\sum_{k=1}^n (x_1 x_2 \cdots x_k)^{1/k} \leq e.
\]}
22. En déduire l’inégalité de Carleman.}
23. Justifier que $\varphi$ est prolongeable par continuité en $0$ et préciser la valeur de son prolongement en $0$.
On notera toujours $\varphi$ ce prolongement.}
24. Démontrer que, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $|b_n| \leq 1$. En déduire une inégalité sur le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k \geq 0} b_k t^k$.}
25. Démontrer que, pour tout $t$ dans $]-1, 1[$, $\varphi'(t) = \varphi(t) \psi(t)$, où
\[
\forall t \in ]-1, 1[, \quad \psi(t) = – \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+2} t^n,
\]
puis que, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$,
\[
\varphi^{(n)}(0) = – \sum_{k=0}^{n-1} \frac{k!}{k+2} \binom{n-1}{k} \varphi^{(n-k-1)}(0).
\]}
26. Conclure alors que
\[
\forall t \in ]-1, 1[, \ \varphi(t) = e^{1 – \sum_{k=1}^{+\infty} b_k t^k}.
\]}
27. Démontrer que
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n} \leq \sum_{k=1}^{+\infty} c_k a_k \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{1}{n} \left(\prod_{i=1}^n c_i\right)^{-1/n}.
\]}
28. En considérant $c_n = \frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}$, en déduire l’inégalité de Carleman-Yang :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n}
\leq
e \sum_{n=1}^{+\infty} \left( 1 – \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{b_k}{(n+1)^k} \right)a_n.
\]}
29. Démontrer que, pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^*$, $b_n \geq 0$. En quoi l’inégalité précédente est-elle un raffinement de l’inégalité de Carleman ?}