Questions du sujet
1. Montrer que 𝐸_a est un automorphisme de 𝕂[𝑋].
2. Montrer que 𝐽 est un endomorphisme de ℝ[𝑋].
3. Montrer que 𝐽 conserve le degré et que 𝐽 est inversible.
4. Montrer que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t} t^k dt$ existe pour tout $k \in \mathbb{N}$ et calculer sa valeur.
5. Montrer que 𝐿 est un endomorphisme de 𝕂[𝑋]. Est-il inversible ?}
6. Soit $a \in \mathbb{K}$. Vérifier que les endomorphismes $I$ et $D$ sont shift-invariants, ainsi que les endomorphismes $E_a$, $J$ et $L$ définis dans la partie I. Sont-ils des endomorphismes delta ?
7. Montrer que l’ensemble des endomorphismes shift-invariants de $\mathbb{K}[X]$ est une sous-algèbre de $\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])$. L’ensemble des endomorphismes delta de $\mathbb{K}[X]$ est-il stable par addition ? par composition ?
8. Soit $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite d’éléments de $\mathbb{K}$. Pour tout polynôme $p \in \mathbb{K}[X]$, montrer que l’expression $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k D^k p$ a un sens et définit un polynôme de $\mathbb{K}[X]$.
9. Montrer que, pour toute suite $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ d’éléments de $\mathbb{K}$, $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k D^k$ est un endomorphisme shift-invariant.
10. Soit $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ et $(b_k)_{k\in\mathbb{N}}$ des suites d’éléments de $\mathbb{K}$ telles que $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k D^k = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k D^k$. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $a_k = b_k$.}
11. Montrer que $T$ est un endomorphisme shift-invariant si, et seulement si, $T = \sum_{k=0}^{+\infty} (T q_k)(0) D^k$.
12. Montrer que deux endomorphismes shift-invariants de $\mathbb{K}[X]$ commutent.
13. Pour tout $p \in \mathbb{K}[X]$ non nul et $a \in \mathbb{K}$, montrer, à l’aide de la question 11, que $p(X + a) = \sum_{k=0}^{\deg(p)} \frac{a^k}{k!} p^{(k)}$ où $p^{(k)}$ désigne la dérivée $k$-ième du polynôme $p$. Reconnaitre cette formule.
14. Pour $p \in \mathbb{K}[X]$, exprimer $Jp$ en fonction des dérivées $p^{(k)}$ ($k \in \mathbb{N}$) de $p$.
15. Démontrer que l’endomophisme $D – I$ est inversible et exprimer $L$ en fonction de $(D – I)^{-1}$.}
16. Montrer qu’il existe un entier naturel $n(T)$ tel que, pour tout polynôme $p \in \mathbb{K}[X]$, $\deg(Tp) = \max\{-1, \deg(p)-n(T)\}$.
17. En déduire $\ker(T)$ en fonction de $n(T)$.
18. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate}\item $T$ est inversible ; \item $T1 \neq 0$ ; \item $\forall p \in \mathbb{K}[X],~\deg(Tp) = \deg(p)$. \end{enumerate}
19. Si ces conditions sont vérifiées, montrer que $T^{-1}$ est encore un endomorphisme shift-invariant.
20. Montrer qu’il existe une suite de scalaires $(\alpha_k)_{k \in \mathbb{N}}$ vérifiant $\alpha_0 = 0$, $\alpha_1 \neq 0$ et $T = \sum_{k=1}^{+\infty} \alpha_k D^k$.}
21. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme $U$ shift-invariant et inversible tel que $T = D \circ U$. Préciser $U$ dans le cas $T = D$, puis dans le cas $T = L$.
22. Pour tout polynôme $p \in \mathbb{K}[X]$ non nul, vérifier que $\deg(Tp) = \deg(p) – 1$. En déduire $\ker(T)$ et le spectre de $T$.
23. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $T_n$ la restriction de $T$ à $\mathbb{K}_n[X]$. Montrer que $T_n$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}_n[X]$. Est-il diagonalisable ?
24. Déterminer $\mathrm{Im}(T_n)$ en fonction de $n \in \mathbb{N}$ et en déduire que $T$ est surjectif.
25. Montrer l’existence et l’unicité de la suite $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de polynômes associée à $Q$.}
26. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\forall (x, y) \in \mathbb{K}^2,~ q_n(x+y) = \sum_{k=0}^{n} q_k(x) q_{n-k}(y)$.
27. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme delta $Q$ dont $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est la suite de polynômes associée.
28. Montrer que la famille $(q_0, q_1, \ldots, q_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$.
29. D’après la question 23, $Q$ induit un endomorphisme de $\mathbb{K}_n[X]$ noté $Q_n$. Donner sa matrice dans la base précédente. En déduire sa trace, son déterminant et son polynôme caractéristique.
30. Pour $Q = D$, vérifier que $\forall n \in \mathbb{N},~ q_n = \frac{X^n}{n!}$.}
31. Pour $Q = E_1 – I$, vérifier que $\forall n \in \mathbb{N}^*,~ q_n = \frac{X(X-1)\ldots(X-n+1)}{n!}$.
32. Démontrer que, pour tout $p \in \mathbb{K}[X]$, l’expression $\sum_{k=0}^{+\infty} (Q^k p)(0) q_k$ a un sens et définit un polynôme de $\mathbb{K}[X]$, puis que $p = \sum_{k=0}^{+\infty} (Q^k p)(0) q_k$.
33. En déduire que, pour tout endomorphisme shift-invariant $T$, on a $T = \sum_{k=0}^{+\infty} (T q_k)(0) Q^k$.
34. En choisissant $Q = E_1 – I$, démontrer que, si $p$ est un polynôme non constant, alors \[ p'(X) = \sum_{k=1}^{\deg(p)} \frac{1}{k} \left(\sum_{j=0}^k (-1)^{j+1} \binom{k}{j} p(X+j)\right). \] C’est la formule de dérivation numérique des polynômes.
35. Soit $T$ un endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$ on définit sa dérivée de Pincherle, notée $T’$, comme l’endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$ tel que, $\forall p \in \mathbb{K}[X],~T'(p) = T(Xp) – X T(p)$. Montrer que, s’il existe $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ suite de scalaires telle que $T = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k D^k$, alors $T’ = \sum_{k=1}^{+\infty} k a_k D^{k-1}$.}
36. Si $T$ est un endomorphisme shift-invariant, montrer que $T’$ est encore un endomorphisme shift-invariant.
37. Si $T$ est un endomorphisme delta, montrer que $T’$ est un endomorphisme shift-invariant et inversible.
38. Vérifier que $(S \circ T)’ = S’ \circ T + S \circ T’$.
39. Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $(Q’ \circ U^{-n-1})(X^n) = X U^{-n}(X^{n-1})$.
40. En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $n! q_n(X) = X U^{-n}(X^{n-1})$ puis que $n q_n(X) = X(Q’)^{-1}(q_{n-1})$.}
41. Vérifier que, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\ell’_n = \ell’_{n-1} – \ell_{n-1}$ et $X \ell”_n – X \ell’_n + n \ell_n = 0$ et $\ell_n(X) = \sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n-1}{k-1} \frac{X^k}{k!}$.
42. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme inversible $T$ tel que $\forall n \in \mathbb{N},~T q_n = \frac{X^n}{n!}$.
43. Montrer aussi que $D = T \circ Q \circ T^{-1}$.
44. Montrer que $W$ est un automorphisme de $\mathbb{K}[X]$.
45. Montrer que $P = \frac{1}{\alpha} D \circ \left(\frac{1}{\alpha} D – I\right)^{-1}$.}
46. Montrer ensuite que $P$ est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie $\forall n \in \mathbb{N},~p_n = \ell_n(\alpha X)$.
47. Vérifier que $D = L \circ (L – I)^{-1}$ puis que $P = L \circ (\alpha I + (1 – \alpha) L)^{-1}$.
48. Montrer que $Q = D \circ (\alpha I + (1-\alpha) D)^{-1}$. En déduire que $Q$ est un endomorphisme delta dont la suite de polynômes associée $(r_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,~ r_n = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \alpha^k (1-\alpha)^{n-k} \frac{X^k}{k!}. \]
49. Conclure que $\forall n \in \mathbb{N}^*,~ \ell_n(\alpha X) = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \alpha^k (1-\alpha)^{n-k} \ell_k(X)$.}