Questions du sujet
1. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\forall (X, Y) \in (\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}))^2, X^\top A Y = X^\top B Y$. Montrer que $A = B$. 2. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Montrer que les valeurs propres de $M^\top M$ sont toutes strictement positives. En déduire qu’il existe une matrice $S$ symétrique à valeurs propres strictement positives telle que $S^2 = M^\top M$. 3. Montrer que, si $\omega$ est une forme symplectique sur $E$, alors pour tout vecteur $x$ de $E$, $\omega(x, x) = 0$. 4. Justifier que $F^\omega$ est un sous-espace vectoriel de $E$. 5. Le sous-espace $F^\omega$ est-il nécessairement en somme directe avec $F$~?} 6. Pour tout $x \in E$, on note $\omega(x, \cdot)$ l’application linéaire de $E$ dans $\mathbb{R}$, $y \mapsto \omega(x, y)$ et on considère $d_\omega: \; E \to \mathcal{L}(E, \mathbb{R})$, \quad $x \mapsto \omega(x, \cdot)$.\\ Montrer que $d_\omega$ est un isomorphisme. 7. Pour $\ell \in \mathcal{L}(E, \mathbb{R})$, on note $\ell|_F$ la restriction de $\ell$ à $F$. Montrer que l’application de restriction $r_F: \mathcal{L}(E, \mathbb{R}) \to \mathcal{L}(F, \mathbb{R})$, $\ell \mapsto \ell|_F$ est surjective. 8. Préciser le noyau de $r_F \circ d_\omega$. En déduire que $\dim F^\omega = \dim E – \dim F$. 9. Montrer que la restriction $\omega_F$ de $\omega$ à $F^2$ définit une forme symplectique sur $F$ si et seulement si $F \oplus F^\omega = E$. 10. Montrer que \[ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n,\ \omega(x, y) = X^\top \Omega Y \] où $X$ et $Y$ désignent les colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$.} 11. En déduire que $\Omega$ est antisymétrique et inversible. 12. Conclure que l’entier $n$ est pair. 13. Montrer que l’application $b_s: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, $(x, y) \mapsto \langle x, j(y) \rangle$ est une forme symplectique sur $\mathbb{R}^n$. 14. Montrer que, si $\lambda\mu \neq 1$, alors les sous-espaces $E_\lambda(u)$ et $E_\mu(u)$ sont $\omega$-orthogonaux, c’est-à-dire : \[ \forall x \in E_\lambda(u),\ \forall y \in E_\mu(u),\;\; \omega(x, y) = 0. \] 15. Montrer que $u$ est un endomorphisme symplectique de l’espace symplectique standard $(\mathbb{R}^n, b_s)$ si et seulement si $M^\top J M = J$.} 16. Montrer que $\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, stable par transposition et contenant la matrice $J$. 17. Soient $A, B, C, D$ dans $\mathcal{M}_m(\mathbb{R})$ et soit $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2m}(\mathbb{R})$ (décomposition par blocs). Montrer que $M \in \mathrm{Sp}_{2m}(\mathbb{R})$ si et seulement si $A^\top C$ et $B^\top D$ sont symétriques et $A^\top D – C^\top B = I_m$. 18. Montrer que $\mathrm{Sp}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$. 19. On note $\mathcal{C}_J = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid JM = MJ \}$ le commutant de la matrice $J$, c’est-à-dire l’ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui commutent avec $J$.\\ Montrer que, pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})(= \mathcal{M}_{2m}(\mathbb{R}))$, \[ M \in \mathcal{C}_J \iff \exists (U, V) \in \mathcal{M}_m(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_m(\mathbb{R}),\ M = \begin{pmatrix} U & -V \\ V & U \end{pmatrix}. \] 20. En déduire que, pour toute matrice $M \in \mathcal{C}_J$, $\det(M) \geq 0$.\\ On pourra considérer le produit de matrices par blocs $\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ i I_m & I_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U & -V \\ V & U \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -i I_m & I_m \end{pmatrix}$.} 21. Montrer que $\mathrm{OSp}_n(\mathbb{R})$ est un sous-groupe compact du groupe symplectique $\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$. 22. Montrer que $\mathrm{OSp}_n(\mathbb{R}) \subset \mathcal{C}_J$. 23. En déduire que, pour toute matrice $M$ de $\mathrm{OSp}_n(\mathbb{R})$, $\det(M) = 1$. 24. Jusqu’à la fin de la sous-partie III.C, on considère une matrice $M \in \mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$. Soit $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ une matrice symétrique à valeurs propres strictement positives telle que $S^2 = M^\top M$. Montrer que $S$ est symplectique.\\ On pourra considérer une base de vecteurs propres de l’endomorphisme $s$ de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $S$, et montrer que $s$ est un endomorphisme symplectique de l’espace standard $(\mathbb{R}^n, b_s)$. 25. Justifier que $S$ est inversible puis montrer que la matrice $O$ définie par $O = MS^{-1}$ appartient au groupe $\mathrm{OSp}_n(\mathbb{R})$.} 26. Conclure que le déterminant de la matrice $M$ est égal à $1$. 27. Soit $a \in E$ un vecteur non nul et $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer que l’application $\tau_a^\lambda$ définie par\\ $\forall x \in E,\quad \tau_a^\lambda(x) = x + \lambda \omega(a, x)a$\\ est une transvection de $E$ et qu’il s’agit d’un endomorphisme symplectique de ce même espace.\\ Les applications $\tau_a^\lambda$ pour $a \in E \setminus \{0_E\}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ sont appelées transvections symplectiques de $E$. 28. Soit $a \in E$ un vecteur non nul et soient $\lambda$ et $\mu$ des réels. Montrer que $\tau_a^\mu \circ \tau_a^\lambda = \tau_a^{\lambda+\mu}$. 29. Soient $a \in E$ un vecteur non nul et $\lambda$ un réel. Montrer que $\det(\tau_a^\lambda) > 0$. 30. La réciproque $(\tau_a^\lambda)^{-1}$ est-elle encore une transvection symplectique~?} 31. On commence par montrer le lemme suivant :\\ Pour tous vecteurs non nuls $x$ et $y$ de $E$, il existe une composée $\gamma$ d’au plus deux transvections symplectiques de $E$ telle que $\gamma(x) = y$.\\ On fixe $x$ et $y$, non nuls, dans $E$.\\ Supposons que $\omega(x, y) \neq 0$. Montrer qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\tau_{y-x}^\lambda(x) = y$. 32. Supposons que $\omega(x, y) = 0$. Montrer qu’il existe un vecteur $z \in E$ tel que $\omega(x, z) \neq 0$ et $\omega(y, z) \neq 0$. 33. Montrer le lemme cité ci-dessus. 34. Soit $u \in \mathrm{Symp}_\omega(E)$ un endomorphisme symplectique de $E$.\\ Soit $e_1 \in E$ un vecteur non nul.\\ Justifier l’existence de $f_1 \in E$, non colinéaire à $e_1$, tel que $\omega(e_1, f_1) = 1$. 35. On pose $P = \mathrm{Vect}(e_1, f_1)$ le plan vectoriel engendré par les vecteurs $e_1$ et $f_1$. On va montrer l’existence d’une composée $\delta$ d’au plus quatre transvections symplectiques de $E$ telle que \[ \begin{cases} \delta(u(e_1)) = e_1 \\ \delta(u(f_1)) = f_1 \end{cases} \] Pourquoi existe-t-il une composée $\delta_1$ d’au plus deux transvections symplectiques de $E$ telle que $\delta_1(u(e_1)) = e_1$~?} 36. Notons $\tilde{f}_1$ le vecteur $\delta_1(u(f_1))$. Montrer qu’il existe une composée $\delta_2$ d’au plus deux transvections symplectiques de $E$ telle que \[ \begin{cases} \delta_2(e_1) = e_1 \\ \delta_2(\tilde{f}_1) = f_1 \end{cases} \] On pourra adapter la démonstration du lemme précédent.\\ La composée $\delta = \delta_2 \circ \delta_1$ d’au plus quatre transvections symplectiques vérifie bien les conditions (III.1) souhaitées. On pose $v = \delta \circ u$. 37. Montrer que $P$ est stable par $v$ et déterminer $v_P$ , endomorphisme induit par $v$ sur $P$. 38. Montrer que $P^\omega$ est stable par $v$. 39. Montrer que la restriction $\omega_{P^\omega}$ de $\omega$ à $P^\omega \times P^\omega$ munit $P^\omega$ d’une structure d’espace symplectique et que l’endomorphisme $v_{P^\omega}$ induit par $v$ sur $P^\omega$ est un endomorphisme symplectique. 40. À l’aide de ce qui précède, montrer le théorème annoncé.} 41. On munit toujours l’espace $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa topologie d’espace vectoriel normé.\\ Montrer que le groupe symplectique $\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$ est une partie connexe par arcs de cet espace. 42. Utiliser les résultats de cette sous-partie III.D pour prouver l’inclusion $\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R}) \subset \mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$. 43. Montrer que, pour tout $r > 0$, il existe $u \in \mathrm{SL}(\mathbb{R}^{2m})$ tel que $u(B_{2m}(1)) \subset Z_{2m}(r)$. 44. Soit $r > 0$ tel qu’il existe $u \in \mathrm{SL}(\mathbb{R}^{2m})$ vérifiant $u(B_{2m}(1)) \subset B_{2m}(r)$.\\ Notons $U \in \mathcal{M}_{2m}(\mathbb{R})$ la matrice de $u$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2m}$.\\ Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre complexe de la matrice $U$.\\ Montrer que $|\lambda| \leq r$.\\ Pour le cas $\lambda$ non réel, si $P$ et $Q$ dans $\mathcal{M}_{2m,1}(\mathbb{R})$ sont telles que $Z = P + i Q$ est une colonne propre de $U$ pour la valeur propre $\lambda$, on pourra montrer que $\|UP\|^2 + \|UQ\|^2 = |\lambda|^2(\|P\|^2 + \|Q\|^2)$. 45. En déduire que $1 \leq r$.} 46. À quelle condition nécessaire et suffisante sur $r > 0$ existe-t-il $u$ appartenant à $\mathrm{SL}(\mathbb{R}^{2m})$ tel que $u(B_{2m}(1)) \subset B_{2m}(r)$~? 47. Soit $r > 0$ tel qu’il existe un endomorphisme symplectique $\psi \in \mathrm{Symp}_{b_s}(\mathbb{R}^{2m})$ vérifiant $\psi(B_{2m}(1)) \subset Z_{2m}(r)$.\\ On note $M \in \mathrm{Sp}_{2m}(\mathbb{R})$ la matrice de $\psi$ dans la base canonique $(e_1, …, e_m, f_1, …, f_m)$ de $\mathbb{R}^{2m}$ et $\psi^\top$ l’endomorphisme canoniquement associé à $M^\top$.\\ Montrer que $|b_s(\psi^\top(e_1), \psi^\top(f_1))| = 1$ puis que $\|\psi^\top(e_1)\| \geq 1$ ou $\|\psi^\top(f_1)\| \geq 1$. 48. Montrer que $1 \leq r$. 49. Montrer le théorème de non-tassement linéaire~: \\ Pour $R > 0$ et $R’ > 0$, il existe $\psi \in \mathrm{Symp}_{b_s}(\mathbb{R}^{2m})$ tel que $\psi(B_{2m}(R)) \subset Z_{2m}(R’)$ si et seulement si $R \leq R’$.}FAQ
Le sujet couvre de nombreuses briques fondamentales de l’algèbre linéaire et des structures, notamment les matrices symétriques, les valeurs propres, les sous-espaces, la symplecticité, les groupes de matrices (Sp, SL, OSp), les formes bilinaires, les propriétés de la transposition, la dualité, et la théorie des transvections. Les parties sur les espaces symplectiques et la manipulation de matrices par blocs sont aussi centrales. C’est un cocktail typique d’un sujet où la maîtrise de la théorie et des calculs concrets est exigée.
Un espace symplectique est un espace vectoriel réel ou complexe, de dimension paire, muni d’une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée appelée forme symplectique. Ces structures sont centrales car elles modélisent les systèmes conservatifs en physique et servent d’outil puissant en mathématiques pures. Dans ce sujet, tu croiseras souvent la forme canonique, les notions d’orthogonalité symplectique (avec le symbole F^ω), les groupes de matrices qui préservent la forme (le groupe symplectique Sp) et des questions sur la structure intrinsèque de ces objets.
Pour bien attaquer ces questions, il faut absolument connaître les définitions et propriétés clés : groupe symplectique Sp_n(ℝ), groupe spécial linéaire SL_n(ℝ), groupe orthogonal symplectique OSp_n(ℝ), et leurs inclusions. N’hésite pas à t’entraîner à manipuler les conditions matricielles (ex : MᵗJM = J), à bien faire le lien entre les propriétés algébriques et la géométrie de l’espace. Ce type de question tombe très souvent dans ce concours ! Et si tu veux voir toutes les méthodes, pense à débloquer le corrigé complet sur Prépa Booster, qui te donnera les astuces et corrections détaillées.
Une transvection symplectique est une application linéaire particulière de la forme τ_a^λ(x) = x + λ ω(a, x)a qui, tout en modifiant une direction, conserve la structure symplectique. Ce sont les analogues symplectiques des transvections classiques qu’on rencontre avec les produits scalaires. Les transvections symplectiques servent, entre autres, à générer des symétries du groupe symplectique. Savoir jongler avec ces outils, c’est la clé pour beaucoup de questions du sujet !
Dans le cadre symplectique, l’« orthogonal » d’un sous-espace F (noté F^ω) n’est pas définit via le produit scalaire, mais via la forme symplectique : c’est l’ensemble des vecteurs qui font ω(x, y) = 0 pour tout x dans F. Les propriétés sont différentes : F ∩ F^ω, la somme directe, la dimension de F^ω, tout ça est à maîtriser ! Les calculs sont parfois trompeurs et demandent de bien distinguer entre structures euclidiennes et symplectiques.
Tout simplement parce que la non-dégénérescence d’une forme symplectique impose que l’espace ait une dimension paire. Sur une dimension impaire, il n’existe pas de forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée. C’est pour ça que le sujet t’invite à montrer que n est pair, et que tout groupe symplectique est construit sur des vecteurs de dimension 2m.
Il faut être hyper rigoureux tout en gardant un style synthétique et structuré : bien préciser les hypothèses, expliciter l’utilisation des propriétés de symétrie/antisymétrie, et utiliser les bons résultats (lemme du rang, théorème du rang/dimension, dualité, etc.). N’oublie pas de bien détailler chaque implication et d’avoir une rédaction claire et aérée, ça évite les pertes de points bêtes ! Pour voir des exemples modèles, tu peux débloquer le corrigé sur Prépa Booster.
Il est incontournable de maîtriser : les calculs de matrices (surtout blocs et transposée), la diagonalisabilité, les valeurs propres, les applications linéaires liées aux formes, la reconnaissance des propriétés de groupes de matrices, la manipulation d’orthogonaux symplectiques, et la construction de bases adaptées. Les problèmes transversaux (ex : démontrer une propriété globale via des arguments locaux) sont aussi très importants. Entraîne-toi sur des annales et pense à croiser les thèmes !
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