Questions du sujet
1. Montrer que, pour tout \( M \) dans \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) et pour tous \( P \) et \( Q \) dans \( \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \), on a \( \|PMQ\|_F = \|M\|_F \). 2. On note \( D_A = \operatorname{diag}(\lambda_1(A),\ldots, \lambda_n(A)) \) et \( D_B = \operatorname{diag}(\lambda_1(B),\ldots, \lambda_n(B)) \). Montrer qu’il existe une matrice orthogonale \( P = (p_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \) telle que \( \|A – B\|_F^2 = \|D_AP – P D_B\|_F^2 \). 3. Montrer que \[ \|A – B\|_F^2 = \sum_{1 \leq i,j \leq n} p_{i,j}^2 (\lambda_i(A) – \lambda_j(B))^2. \] 4. Justifier que \( f \) admet un minimum sur \( \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) \). 5. Soit \( (i, j, k) \in \llbracket 1, n \rrbracket^3 \) tel que \( j \geq i \) et \( k \geq i \). Montrer que, pour \( M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) et pour \( x \in \mathbb{R}_+ \), \[ f(M + x E_{ii} + x E_{jk} – x E_{ik} – x E_{ji}) – f(M) = 2x(\lambda_i(A) – \lambda_j(A))(\lambda_k(B) – \lambda_i(B)) \leq 0. \]} 6. Soient \( n \geq 2 \) et \( M = (m_{i,j})_{1\leq i,j \leq n} \in \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) \) une matrice différente de l’identité. On note \( i \) le plus petit entier appartenant à \( \llbracket 1, n \rrbracket \) tel que \( m_{i,i} \neq 1 \). Montrer qu’il existe une matrice \( M’ = (m’_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) \) telle que \( f(M’) \leq f(M) \) et \( m’_{j,j} = 1 \) pour tout \( j \in \llbracket 1, i \rrbracket \). 7. En déduire que \[ \min\{f(M) \mid M \in \mathcal{B}_n(\mathbb{R})\} = f(I_n). \] 8. En déduire que \[ \forall (A,B) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})^2,\quad \sum_{i=1}^n (\lambda_i(A) – \lambda_i(B))^2 \leq \|A – B\|_F^2. \] 9. En énumérant les différents mots bien parenthésés de longueur 2, 4 et 6, montrer que \( C_1 = 1, \, C_2 = 2 \) et déterminer \( C_3 \). 10. Montrer que, pour tout entier naturel \( n \), \( C_n \leq 2^{2n} \). Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière \( \sum C_k x^k \) ?} 11. Montrer par un raisonnement combinatoire que, pour tout entier \( k \geq 1 \), \[ C_k = \sum_{i=0}^{k-1} C_i C_{k-i-1}. \] 12. Montrer que, pour tout \( x \in \left]-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right[,\, F(x) = 1 + x(F(x))^2 \), où \( F(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} C_k x^k \). 13. Montrer que la fonction \( f : \left]-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right[ \to \mathbb{R} \), \( x \mapsto 2xF(x) – 1 \), ne s’annule pas. 14. Déterminer, pour tout \( x \in \left]-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right[ \), une expression de \( F(x) \) en fonction de \( x \). 15. Déterminer le développement en série entière de la fonction \( u \mapsto \sqrt{1-u} \). On écrira les coefficients sous la forme d’un quotient de factorielles et de puissances de 2.} 16. Montrer que, pour tout entier naturel \( n \), \[ C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)! n!}. \] 17. Pour \( k \in \mathbb{N} \), que vaut \( m_{2k+1} \) ? 18. En utilisant le changement de variable \( x = 2\sin t \), calculer \( m_0 \). 19. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout entier naturel \( k \), \[ m_{2k+2} = \frac{2(2k+1)}{k+2}m_{2k}. \] 20. En déduire que \[ m_k = \begin{cases} C_{k/2} & \text{si } k \text{ est pair,} \\ 0 & \text{si } k \text{ est impair.} \end{cases} \]} 21. Justifier que la variable aléatoire \[ \sum_{i=1}^n \Lambda_{i,n}^k \] admet une espérance et que \[ \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \Lambda_{i,n}^k\right) = \frac{1}{n^{1 + k/2}} \mathbb{E}(\operatorname{tr}(M_n^k)) = \frac{1}{n^{1 + k/2}} \sum_{(i_1,\dots,i_k) \in \llbracket 1, n\rrbracket^k} \mathbb{E}(X_{i_1 i_2} X_{i_2 i_3} \cdots X_{i_k i_1}). \] 22. Montrer que le nombre de cycles de longueur \( k \) dans \( \llbracket 1, n \rrbracket \) passant par \( \ell \) sommets distincts est inférieur ou égal à \( n^\ell \ell^k \). 23. En déduire que \[ \frac{1}{n^{1+k/2}} \sum_{\,\substack{\vec{\imath} \in \llbracket 1,n\rrbracket^k\\ |\vec{\imath}|\leq (k+1)/2}} |\mathbb{E}(X_{i_1 i_2}X_{i_2 i_3} \ldots X_{i_k i_1})| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] 24. Montrer que, si le cycle \( (i_1, i_2, \ldots, i_k, i_1) \) appartient à \( \mathcal{A}_k \), alors \[ \mathbb{E}(X_{i_1 i_2} X_{i_2 i_3} \cdots X_{i_k i_1}) = 0. \] 25. Montrer que, pour tout cycle \( \vec{\imath} \) appartenant à \( \mathcal{C}_k \), \( |\vec{\imath}| \leq \frac{k+1}{2} \).} 26. Que peut-on dire de \( \mathcal{B}_k \) si \( k \) est impair ? En déduire que \[ \lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \Lambda_{i,n}^k\right) = 0 \] dans ce cas. 27. Justifier que l’on obtient ainsi un mot bien parenthésé de longueur \( k \). 28. Dénombrer les cycles \( \vec{\imath} \) qui correspondent à un mot bien parenthésé fixé. 29. Déduire de ce qui précède que \[ \lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \Lambda_{i,n}^k\right) = C_{k/2}. \] 30. En déduire que, pour tout polynôme \( P \in \mathbb{R}[X] \), \[ \lim_{n\to+\infty} \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n P(\Lambda_{i,n}) \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-2}^{2} P(x)\sqrt{4-x^2}dx. \]} 31. Montrer que, pour tout \( A > 2 \) et pour tout \( (p, q) \in \mathbb{N}^2 \), \[ \mathbb{E}\left( \sum_{1\leq i \leq n, |\Lambda_{i,n}| \geq A} |\Lambda_{i,n}|^p \right) \leq \frac{1}{A^{p+2q}} \mathbb{E}\left( \sum_{i=1}^n |\Lambda_{i,n}|^{2(p+q)} \right). \] 32. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \mathbb{E} \left( \sum_{1\leq i\leq n, |\Lambda_{i,n}| \geq A} |\Lambda_{i,n}|^p \right) = 0. \] 33. Soient \( f \) une fonction continue et bornée de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) et \( P \) un polynôme de degré \( p \). Justifier qu’il existe une constante \( K \) telle que \[ \forall x \in \mathbb{R} \setminus ]-A, A[,\, |f(x) – P(x)| \leq K|x|^p. \] 34. En déduire que \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \mathbb{E} \left( \sum_{1\leq i\leq n, |\Lambda_{i,n}| \geq A} |f-P|(\Lambda_{i,n}) \right) = 0. \] 35. En déduire que, pour tout polynôme \( P \in \mathbb{R}[X] \), \[ \lim_{n\to+\infty} \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n P(\Lambda_{i,n}) \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-2}^{2} P(x)\sqrt{4-x^2}dx. \]} 36. Soit \( f \) une fonction continue et bornée de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \). Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(\Lambda_{i,n}) \right) = \frac{1}{2\pi} \int_{-2}^{2} f(x)\sqrt{4-x^2}dx. \] 37. Soit \( X \) une variable aléatoire discrète d’espérance finie. Montrer que \[ \mathbb{E}(X \mathbf{1}_{|X| \leq C}) \xrightarrow[C \to +\infty]{} \mathbb{E}(X). \] 38. En déduire que \(\displaystyle \lim_{C \to +\infty} \sigma_{ij}(C) = 1.\) 39. Justifier que, pour \( C \) assez grand, les variables \( \widehat{X}_{ij}(C) \) sont bien définies et qu’elles sont alors bornées, centrées, de variance 1 et qu’elles sont mutuellement indépendantes pour \( 1 \leq i \leq j \). 40. Montrer que \[ X_{ij} – \widehat{X}_{ij}(C) = \left(1 – \frac{1}{\sigma_{ij}(C)}\right) X_{ij} + \frac{1}{\sigma_{ij}(C)}\left(X_{ij} \mathbf{1}_{|X_{ij}| > C} – \mathbb{E}(X_{ij} \mathbf{1}_{|X_{ij}| > C})\right). \]} 41. Montrer que \[ \lim_{C \to +\infty} \mathbb{E}\left( (X_{ij} – \widehat{X}_{ij}(C))^2 \right) = 0. \] 42. On suppose de plus \( f \) bornée. Montrer \[ \mathbb{E} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(\Lambda_{i,n}) \right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2\pi}\int_{-2}^{2} f(x) \sqrt{4-x^2}\,dx. \] 43. Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction \( K \)-lipschitzienne. Montrer que \[ \left| \mathbb{E} \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(\Lambda_{i,n}) \right) – \mathbb{E} \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(\widehat{\Lambda}_{i,n}) \right) \right| \leq K \frac{1}{n} \mathbb{E}(\| M_n – \widehat{M}_n(C) \|_F). \] 44. Montrer la loi du demi-cercle dans le cas général.}FAQ
Le sujet aborde en profondeur des notions centrales de CPGE scientifique : la norme de Frobenius et les matrices orthogonales, l’inégalités sur les valeurs propres, les polynômes et fonctions génératrices (notamment reliés aux nombres de Catalan), la combinatoire, ainsi que des bases solides de probabilités et de matrices aléatoires. Travailler sur ce sujet te permet de consolider les techniques classiques tout en t’ouvrant aux grandes questions de la théorie spectrale et de la loi du demi-cercle, souvent au programme des oraux.
La loi du demi-cercle (ou loi de Wigner) est une loi limite remarquable en probabilités qui apparaît lorsqu’on étudie la répartition des valeurs propres de grandes matrices aléatoires symétriques. Ici, elle intervient en toute fin de sujet et permet de relier les outils de combinatoire, de calcul matriciel et de probabilités pour montrer une convergence vers une densité de probabilité explicite. Ce lien entre algèbre et probabilités illustre parfaitement l’esprit de l’épreuve Centrale !
Les nombres de Catalan interviennent partout dès qu’il s’agit de dénombrer des structures combinatoires bien parenthésées : chemins, arbres binaires, parenthésages, etc. Dans ce sujet, ils apparaissent sous forme d’un développement en série entière via la fonction génératrice et jouent un rôle clé dans l’étude des moments des matrices aléatoires. Les retrouver dans un problème de Centrale, ce n’est pas par hasard : tu dois maîtriser leurs définitions, propriétés de récurrence et formules analytiques, car ils sont un passage obligé en combinatoire avancée.
Tout est lié dans ce sujet : tu passes de la norme matricielle (analyse et algèbre), aux inégalités sur les spectres de matrices (algèbre linéaire), puis à la combinatoire (nombres de Catalan et dénombrement de cycles) pour aboutir à la convergence de distributions de valeurs propres (probabilités). Centrale aime tester ta capacité à jongler entre ces domaines et à voir les connexions entre outils classiques et questions plus profondes d’algèbre et de statistiques.
Tu n’as pas besoin d’être spécialiste de théorie spectrale ; mais avoir de solides réflexes sur les matrices symétriques, la façon d’étudier leurs valeurs propres et quelques bases sur les matrices aléatoires est indispensable. L’important, c’est de savoir mobiliser tes connaissances fondamentales et de t’appuyer sur les outils de combinatoire et d’analyse classique pour dérouler des raisonnements rigoureux, même quand tu es confronté à des aspects plus originaux comme ici.
Avant tout, entraîne-toi à manipuler les normes matricielles, les calculs de traces, de produits scalaires et à utiliser à bon escient l’orthogonalité en algèbre. En combinatoire, révise les formules de récurrence et apprends à écrire rapidement des raisonnements d’énumération. Enfin, garde sous le coude les grands classiques d’intégration par parties, de changements de variables astucieux et de manipulation de séries entières ! Ce sont ces automatismes qui font la différence le jour du concours.
Bosser sur ce type de sujet t’aide à repérer les jalons classiques du concours (matrices, normes, valeurs propres, convergence en loi, combinatoire) tout en te confrontant à des situations inédites. Cela développe ton sens de l’initiative et t’habitue aux raisonnements rigoureux et transversaux demandés à Centrale. Accède aux corrigés détaillés et au dashboard personnalisé sur Prépa Booster pour consolider encore plus efficacement tes automatismes et prendre confiance avant les écrits.