Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et préciser leurs dimensions. 2. I.A.2) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que pour toute matrice $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, $\|A-A_s\|_2 \leq \|A-S\|_2$. Préciser à quelle condition sur $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, cette inégalité est une égalité. 3. I.B.1) Si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $X, Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, la matrice $X^\top M Y$ appartient à $\mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ et on convient de l’identifier au nombre réel égal à son unique coefficient.\\Avec cette convention, montrer que $A_s \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ si et seulement si $\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, $X^\top A_s X \geq 0$ et que $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \setminus \{0\}, X^\top A_s X > 0$. 4. I.B.2) Pour toute valeur propre réelle $\lambda$ de $A$, montrer que $\min \operatorname{sp}_\mathbb{R}(A_s) \leq \lambda \leq \max \operatorname{sp}_\mathbb{R}(A_s)$.\\En déduire que si $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ alors $A$ est inversible. 5. I.B.3) On suppose que $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.\\a) Montrer qu’il existe une unique matrice $B$ de $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $B^2 = A_s$.\\b) Montrer qu’il existe une matrice $Q$ de $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ telle que $\det(A) = \det(A_s)\det(I_n+Q)$.\\c) En déduire que $\det(A) \geq \det(A_s)$.} 6. I.B.4) On suppose $A$ inversible et, conformément aux notations du problème, $(A^{-1})_s$ désigne la partie symétrique de l’inverse de $A$. Montrer que $\dfrac{\det(A)^2}{\det((A^{-1})_s)} = \det(A_s)$.\\On pourra considérer $A(A^{-1})_s A^\top$. 7. I.C.1) Soit $A \in O_n(\mathbb{R})$. Montrer que les valeurs propres de $A_s$ sont dans $[-1,1]$. 8. I.C.2) Donner un exemple de matrice symétrique $S$ dans $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{sp}_\mathbb{R}(S) \subset [-1, 1]$ et pour laquelle il n’existe pas de matrice $A \in O_2(\mathbb{R})$ vérifiant $A_s = S$. 9. I.C.3) Soit $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.\\a) On suppose que $\operatorname{sp}_\mathbb{R}(S) \subset [-1, 1]$ et que pour toute valeur propre $\lambda$ de $S$ dans $]-1, 1[$, l’espace propre de $S$ associé à $\lambda$ est de dimension paire. Montrer qu’il existe $A \in O_n(\mathbb{R})$ telle que $A_s = S$.\\b) Réciproquement, montrer que s’il existe $A \in O_n(\mathbb{R})$ telle que $A_s = S$, alors $\operatorname{sp}_\mathbb{R}(S) \subset [-1,1]$ et pour toute valeur propre $\lambda$ de $S$ dans $]-1,1[$, l’espace propre de $S$ associé à $\lambda$ est de dimension paire. 10. II.A.1) Montrer qu’une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est singulière si et seulement si elle est $E_n$-singulière.} 11. II.A.2) Montrer que $A$ est $H$-singulière si et seulement s’il existe un vecteur non nul $X$ de $H$ et un réel $\lambda$ tels que $AX=\lambda N$. 12. II.A.3) En déduire que $A$ est $H$-singulière si et seulement si la matrice $A_N = \begin{pmatrix} A & N\\ N^\top & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ est singulière. 13. II.A.4) Montrer qu’il existe une matrice $B = \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix}$ avec $B_1 \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), ~ B_2 \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}), ~ B_3 \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R}), ~ B_4 \in \mathcal{M}_1(\mathbb{R})$ telle que :\\ $A_N B = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ N^\top A^{-1} & -N^\top A^{-1}N \end{pmatrix}$. 14. II.A.5) En déduire que $\det(A_N) = -N^\top A^{-1}N \det(A)$. 15. II.A.6) Montrer que si $\det((A^{-1})_s) = 0$, alors il existe un hyperplan $H$ de $E_n$ tel que $A$ est $H$-singulière.} 16. II.A.7) En déduire que si $\det(A_s) = 0$, alors il existe un hyperplan $H$ de $E_n$ tel que $A$ est $H$-singulière. 17. II.A.8) On suppose que $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est $H$-régulière pour tout hyperplan $H$ de $E_n$. 18. II.B.1) Montrer que $A(\mu)$ est inversible pour tout réel $\mu$. 19. II.B.2) Calculer $A(\mu)_s$ et montrer que $A(\mu)_s$ est singulière pour $\mu=1,~1-\sqrt{3},~1+\sqrt{3}$. 20. II.B.3) Déterminer un hyperplan $H$ tel que $A(1)$ soit $H$-singulière.} 21. II.C.1) Montrer que $A$ est $F$-singulière si et seulement s’il existe un élément non nul $X$ de $F$ et deux réels $\lambda_1$, $\lambda_2$ tels que $AX = \lambda_1 N_1 + \lambda_2 N_2$. 22. II.C.2) En déduire que $A$ est $F$-singulière si et seulement si la matrice\\ $A_N = \begin{pmatrix} A & N \\ N^\top & 0_2\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n+2}(\mathbb{R})$\\ est singulière. 23. II.C.3) Montrer qu’il existe une matrice $B = \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix}$ avec $B_1 \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $B_2 \in \mathcal{M}_{n,2}(\mathbb{R})$, $B_3 \in \mathcal{M}_{2,n}(\mathbb{R})$ et $B_4 \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que\\ $A_N B = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ N^\top A^{-1} & -N^\top A^{-1}N \end{pmatrix}$ 24. II.C.4) En déduire que $\det(A_N) = \det(N^\top A^{-1}N) \det(A)$. 25. II.C.5) Montrer qu’il existe $P \in \mathcal{G}_{n,2}(\mathbb{R})$ telle que $\det(P^\top A^{-1}P) = 0$ si et seulement s’il existe $P’ \in \mathcal{G}_{n,2}(\mathbb{R})$ telle que $\det(P’^\top A P’) = 0$.} 26. II.C.6) Montrer que si $N’ = (N’_1 \;\; N’_2)$ alors\\ $\det(N’^\top A N’) = (N’_1{}^\top A_s N’_1)(N’_2{}^\top A_s N’_2) – (N’_1{}^\top A_s N’_2)^2 + (N’_1{}^\top A_a N’_2)^2$ 27. II.C.7) En déduire que si $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $\det(N^\top A^{-1}N) > 0$. 28. II.C.8) En conclure que si $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $A$ est $F$-régulière pour tout sous-espace vectoriel $F$ de dimension $n-2$ de $E_n$. 29. II.D.1) Comment choisir $N’=(N’_1 \;\; N’_2)$ de façon que $\det(N’^\top A N’) = 0$ ? 30. II.D.2) Déterminer un sous-espace vectoriel $F$ de $E_3$ tel que $\dim F=1$ et tel que $A(1)$ soit $F$-singulière.} 31. II.E.1) Montrer que $A$ est $F$-singulière si $\det(N’^\top A N’)=0$ pour une matrice $N’ \in \mathcal{G}_{n,p}(\mathbb{R})$ que l’on définira. 32. II.E.2) On suppose désormais que $A_s \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.\\Montrer que si $X \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$ est non nul alors $X^\top N’^\top A N’ X>0$. 33. II.E.3) En déduire que les valeurs propres réelles de $N’^\top A N’$ sont strictement positives. 34. II.E.4) En déduire que $\det(N’^\top A N’) > 0$. 35. II.E.5) En déduire que $A$ est $F$-régulière pour tout sous-espace vectoriel $F\neq\{0\}$ de $E_n$.} 36. III.A.1) Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est positivement stable si et seulement si $\operatorname{tr}(A)>0$ et $\det(A)>0$. 37. III.A.2)\\a) La somme de deux matrices positivement stables de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ est-elle nécessairement positivement stable ?\\b) Soit $A, B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ deux matrices positivement stables qui commutent. Montrer que $A+B$ est positivement stable. 38. III.A.3) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A_s$ soit définie positive.\\a) Soit $X=Y+iZ$ une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$, où $Y$ et $Z$ appartiennent à $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$. On pose $\overline{X} = Y – iZ$ et on identifie la matrice $X^\ast A X \in \mathcal{M}_1(\mathbb{C})$ au nombre complexe égal à son unique coefficient.\\Montrer que, si $X\neq 0$, alors $\operatorname{Re}(X^\ast A X)>0$, où $\operatorname{Re}(z)$ désigne la partie réelle de $z \in \mathbb{C}$.\\b) Montrer que $A$ est positivement stable. 39. III.A.4) Donner un exemple de matrice $A$ positivement stable telle que $A_s$ n’est pas définie positive. 40. III.B.1) Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $\operatorname{Re}(\lambda)>0$. Soit $u$ une fonction à valeurs complexes de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$.\\On suppose que la fonction $v = u’ + \lambda u$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$. Montrer que $u$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.\\On pourra considérer l’équation différentielle $y’+\lambda y = v$.} 41. III.B.2) Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice triangulaire supérieure à coefficients complexes. On suppose que les coefficients diagonaux de $T$ sont des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit $u_1,\ldots,u_n$ des fonctions à valeurs complexes, définies et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ et soit, pour tout $t \in \mathbb{R}_+$,\\ $U(t)=\begin{pmatrix}u_1(t)\\\vdots\\u_n(t)\end{pmatrix}$\\ On suppose que, pour tout $t \in\mathbb{R}_+$, $U'(t)+TU(t)=0$.\\ Montrer que les fonctions $u_j$, où $1\leq j\leq n$, sont bornées sur $\mathbb{R}_+$. 42. III.B.3) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice positivement stable de valeurs propres complexes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ et soit $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha<\min_{1\leq j\leq n}\operatorname{Re}(\lambda_j)$.\\ Montrer que la fonction $t \mapsto e^{\alpha t} \exp(-tA)$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.\\ On pourra appliquer la question III.B.2 à une matrice triangulaire $T$ semblable à $A-\alpha I_n$. 43. III.C.1) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice positivement stable. On considère l’endomorphisme $\Phi$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tel que\\ $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),~\Phi(M) = A^\top M + M A$.\\ Montrer que $\Phi$ est positivement stable, c’est-à-dire que sa matrice dans une base quelconque de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est positivement stable. 44. III.C.2)\\a) Montrer qu’il existe une unique matrice $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^\top B + B A = I_n$.\\b) Montrer que $B$ est symétrique et que $\det(B)>0$. 45. III.C.3) Pour tout réel $t$, on pose $V(t)=\exp(-tA^\top)\exp(-tA)$ et $W(t)=\int_0^t V(s) ds$.\\ a) Montrer que, pour tout réel $t$, $V(t) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et que, si $t>0$, $W(t) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.\\ b) Montrer que, pour tout réel $t$, $A^\top W(t)+W(t)A=I_n-V(t)$.\\ c) Qu’obtient-on en faisant tendre $t$ vers $+\infty$ dans l’égalité précédente ? En déduire que la matrice $B$ de la question III.C.2 est définie positive.}FAQ
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