Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que l’application $A \mapsto N(A)$ est une norme sous-multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. 2. I.A.2) Soit $Q \in GL_n(\mathbb{K})$. Montrer que $A \mapsto \|A\| = N(Q^{-1}AQ)$ est une norme sous-multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. 3. I.B.1) Soit $P$ dans $GL_n(\mathbb{C})$ et soit $T$ triangulaire supérieure, telles que $A = PTP^{-1}$. On se donne $\delta > 0$. On pose $\Delta = \mathrm{diag}(1, \delta, \ldots, \delta^{n-1})$ et $\widehat{T} = \Delta^{-1}T\Delta$.\\ Montrer que $\widehat{T}$ est triangulaire supérieure et qu’on peut choisir $\delta$ de sorte que $N(\widehat{T}) < 1$. 4. I.B.2) Avec ce choix de $\delta$, on pose $Q = P\Delta$ et on munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de la norme $M \mapsto \|M\| = N(Q^{-1}MQ)$.\\ Montrer que $\|A\| < 1$ et en déduire $\lim_{k\to+\infty} A^k = 0$. 5. II.A – Réduction d’un chemin à un chemin élémentaire\\Montrer que s’il existe dans $A$ un chemin de $i$ vers $j$, avec $i \ne j$, alors il existe un chemin élémentaire de $i$ vers $j$ et de longueur $\ell \leq n - 1$. De même, montrer que s’il existe dans $A$ un circuit passant $i$, alors il existe un circuit élémentaire passant par $i$ et de longueur $\ell \leq n$.} 6. II.B – Une caractérisation de l’existence d’un chemin de $i$ à $j$\\Soit $A \geq 0$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $i$, $j$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$. Soit $m \geq 1$. Montrer l’équivalence des propositions :\\ – il existe dans $A$ un chemin d’origine $i$, d’extrémité $j$, de longueur $m$ ;\\ – le coefficient d’indice $i, j$ de $A^m$ (noté $a^{(m)}_{i,j}$) est strictement positif.\\ On pourra procéder par récurrence sur l’entier $m \geq 1$. 7. II.C – Chemins dans une puissance de $A$\\Soit $i, j$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$, et soit $\ell$ et $m$ dans $\mathbb{N}^*$. Montrer l’équivalence des propositions :\\ – il existe dans $A^m$ un chemin d’origine $i$, d’extrémité $j$, de longueur $\ell$ ;\\ – il existe dans $A$ un chemin d’origine $i$, d’extrémité $j$, de longueur $m\ell$. 8. III.A – Chemins élémentaires dans une matrice primitive\\ Soit $A$ une matrice primitive de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\ Montrer que pour tous $i \neq j$ il existe dans $A$ un chemin élémentaire de $i$ à $j$ et de longueur $\ell \leq n-1$, et que pour tout $i$ il existe dans $A$ un circuit élémentaire passant par $i$ et de longueur $\ell \leq n$. 9. III.B.1) Donner un exemple simple d’une matrice carrée primitive mais non strictement positive. 10. III.B.2) Soit $B > 0$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $x \geq 0$ dans $\mathbb{R}^n$ avec $x \neq 0$. Montrer que $Bx > 0$.} 11. III.B.3) Soit $A$ une matrice primitive et $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $A^m > 0$. Montrer que $\forall p \geq m,\,A^p > 0$.\\ On pourra remarquer, en le justifiant, qu’aucune des colonnes $c_1, c_2, \ldots, c_n$ de $A$ n’est nulle. 12. III.B.4) Prouver que si $A$ est primitive, alors $A^k$ est primitive pour tout $k \geq 1$. 13. III.B.5) Montrer que le rayon spectral d’une matrice primitive est strictement positif. 14. III.C.1) Montrer que le polynôme caractéristique de $W_n$ est $X^n – X – 1$.\\ En déduire $W_n^{n-2n+1} = \sum\limits_{k=1}^{n-1} \binom{n-2}{k-1} W_n^k$, puis que $W_n^{n-2n+2} = I_n + W_n + \sum\limits_{k=2}^{n-1}\binom{n-2}{k-2} W_n^k$. 15. III.C.2) Préciser le plus court circuit passant par l’indice $1$ dans la matrice $W_n$.\\ En déduire que la matrice positive $W_n^{n-2n+1}$ n’est pas strictement positive.} 16. III.C.3) Montrer que pour tous $i, j$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$, avec $i \neq j$, il existe dans $W_n$ au moins un chemin d’origine $i$, d’extrémité $j$, et de longueur inférieure ou égale à $n – 1$.\\ On pourra traiter successivement les deux cas $1 \notin \{i, j\}$ et $1 \in \{i, j\}$.\\ En déduire que la matrice $W_n^{n-2n+2}$ est strictement positive et conclure. 17. III.D.1) Par l’absurde, on suppose $\ell = n$.\\ Montrer qu’alors tous les circuits de $A$ sont de longueur multiple de $n$.\\ En déduire que les matrices $A^{kn+1}$ (avec $k \in \mathbb{N}$) sont de diagonale nulle et aboutir à une contradiction. 18. III.D.2) D’après ce qui précède, il existe dans $A$ un circuit élémentaire $\mathcal{C}$ de longueur $\ell \leq n-1$.\\ Pour simplifier la rédaction, et parce que cela n’enlève rien à la généralité du problème, on suppose qu’il s’agit du circuit $1 \to 2 \to \ldots \to \ell-1 \to \ell \to 1$ (les $n-\ell$ indices restants $\ell+1, \ell+2, \ldots, n$ étant donc situés « en dehors » du circuit $\mathcal{C}$).\\ Nous allons montrer que $A^{n+\ell(n-2)}$ est strictement positive.\\ Pour cela, on se donne $i$ et $j$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$. Tout revient à établir qu’il existe dans $A$ un chemin d’origine $i$, d’extrémité $j$ et de longueur $n + \ell(n-2)$.\\ a) Montrer que dans $A$, on peut former un chemin d’origine $i$, de longueur $n-\ell$, et dont l’extrémité est dans $\{1,2,\ldots,\ell\}$ (on notera $k$ cette extrémité).\\ On pourra traiter le cas $1 \leq i \leq \ell$, puis le cas $\ell+1 \leq i \leq n$.\\ b) Dire pour quelle raison les $\ell$ premiers coefficients diagonaux de $A^\ell$ (et en particulier le $k$-ième) sont strictement positifs. Montrer alors qu’il existe un chemin de longueur $n-1$ dans $A^\ell$ (c’est-à-dire un chemin de longueur $\ell(n-1)$ dans $A$) d’origine $k$ et d’extrémité $j$.\\ c) En déduire finalement $A^{n+\ell(n-2)} > 0$, puis $A^{n^2-2n+2} > 0$. 19. IV.A.1) Montrer que $H$ est l’hyperplan orthogonal à la droite $\Delta$ (c’est-à-dire $H = \Delta^\perp$). 20. IV.A.2) Prouver que $L$ est la matrice, dans la base canonique, de la projection de $\mathbb{R}^n$ sur la droite $D$, parallèlement à l’hyperplan $H$.} 21. IV.A.3) Vérifier que $L$ est de rang $1$, qu’elle est strictement positive, et que $L^\top y = y$. 22. IV.A.4) Montrer que $AL = LA = rL$. En déduire : $\forall m \in \mathbb{N}^*,\ (A-rL)^m = A^m – r^m L$. 23. IV.B.1) Montrer que $Lz = 0$, puis $Az = \lambda z$. En déduire $\rho(B) \leq r$. 24. IV.B.2) Par l’absurde, on suppose $\rho(B) = r$. On peut donc choisir $\lambda$ de telle sorte que $|\lambda| = r$. Montrer qu’alors $\lambda = r$ puis $Lz = z$ et aboutir à une contradiction. Conclure. 25. IV.B.3) Déduire de ce qui précède (et de la sous-partie IV.A) que $\lim_{k\to+\infty} \left( \frac{1}{r} A \right)^k = L$.} 26. IV.C – Le rayon spectral de $A$ est une valeur propre simple\\ Dans cette sous-partie, on montre que la valeur propre dominante de $A$ (c’est-à-dire son rayon spectral $r$) est simple (on sait déjà que le sous-espace propre associé est une droite vectorielle).\\ Soit $\mu$ la multiplicité de $r$ comme valeur propre de $A$ et soit $T = P A P^{-1}$ une réduite triangulaire de $A$.\\ En examinant la diagonale de $\left(\frac{1}{r} T \right)^k$ quand $m \rightarrow +\infty$, montrer que $\mu = 1$. 27. V.A.1) Exprimer l’irréductibilité de $A$ en termes de chemins dans $A$. 28. V.A.2) Montrer que si $A$ est irréductible, alors pour tous $i$ et $j$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$, il existe $m \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$ (dépendant a priori de $i$ et $j$) tel que $a^{(m)}_{i,j} > 0$. 29. V.A.3) Donner un exemple simple d’une matrice carrée irréductible mais non primitive. 30. V.A.4) Montrer que si $A$ n’est pas irréductible, alors $A^2$ n’est pas irréductible.\\ En revanche, donner un exemple simple d’une matrice $A$ irréductible telle que $A^2$ ne soit pas irréductible.} 31. V.A.5) Montrer que le rayon spectral d’une matrice irréductible est strictement positif. 32. V.B.1) Pour la matrice positive $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :\\ – la matrice $A$ est irréductible ;\\ – la matrice $B = I_n + A + A^2 + \cdots + A^{n-1}$ est strictement positive ;\\ – la matrice $C = (I_n + A)^{n-1}$ est strictement positive. 33. V.B.2) Soit $A$ irréductible. Montrer qu’aucune ligne (et aucune colonne) de $A$ n’est identiquement nulle. 34. V.C.1) On suppose que $\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ a_{i,i} > 0$. Montrer que $A^{n-1} > 0$ (donc $A$ est primitive).\\ On raisonnera en termes de chemins dans $A$. 35. V.C.2) On suppose que : $\exists i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\, a_{i,i} > 0$. Montrer que $A$ est primitive.\\ Pour tous $j$ et $k$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$, on pourra montrer qu’il existe dans $A$ un chemin de $j$ à $k$ et passant par $i$, et considérer le maximum $m$ des longueurs des chemins ainsi obtenus. On prouvera que $A^m > 0$.} 36. VI.A – Diagonales des puissances d’une matrice imprimitive\\ Soit $A$ une matrice imprimitive de coefficient d’imprimitivité $p \geq 2$.\\ Pour tout entier $m$ non multiple de $p$, montrer que la diagonale de $A^m$ est identiquement nulle.\\ On pourra s’intéresser à la trace de $A^m$.\\ En déduire que le résultat de la question IV.B.3 ne tient plus si $A$ est imprimitive. 37. VI.B.1) Montrer que la matrice $Z_n$ est irréductible. 38. VI.B.2) Montrer que le polynôme caractéristique de $Z_n$ est $X(X^{n-1} – 2)$.\\ En déduire que $Z_n$ est imprimitive et préciser son coefficient d’imprimitivité. 39. VI.B.3) Montrer que $Z_n^{n^2-2n+2} = 2^{n-1} Z_n$ et retrouver le fait que $Z_n$ n’est pas primitive. 40. VI.C.1) On rappelle que le spectre de $A$ est invariant par le produit $z \mapsto \omega z$, où $\omega = e^{2i\pi/p}$.\\ En déduire que, pour tout $k\in\{k_1, k_2, \ldots, k_u\}$, l’entier $k$ est divisible par $p$.\\ Penser aux fonctions symétriques élémentaires des $\lambda_i$.} 41. VI.C.2) Réciproquement, on suppose par l’absurde que les $k_i$ sont tous divisibles par $qp$, avec $q \geq 2$.\\ On pose $\beta = e^{2i\pi/(nq)}$ (donc $\beta^n = \omega$). Montrer que $\beta r$ est valeur propre de $A$ et conclure. 42. VI.D.1) Soit $i, j$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$. On sait qu’il existe $r$ et $s$ dans $\mathbb{N}$ tels que $a^{(r)}_{i,i} > 0$ et $a^{(s)}_{j,j} > 0$.\\ Pour tout $k$ dans $\{0\} \cup L_i$, montrer que $d_i$ divise $r + k + s$. En déduire que $d_i$ divise $d_j$.\\ Par symétrie, il en résulte évidemment que tous les $d_i$ sont égaux. On note $d$ leur valeur commune. 43. VI.D.2) Montrer que si $p = 1$ (c’est-à-dire si $A$ est primitive), alors $d = 1$ (utiliser la question III.B.3). 44. VI.D.3) Dans la suite de cette question, on suppose $p \geq 2$.\\ Montrer que $p$ divise $d$ (utiliser la question VI.A). 45. VI.D.4) On va montrer que $d$ divise $p$. Il en résultera bien sûr l’égalité $d = p$.\\ On rappelle que la diagonale de $A$ est nulle (c’est une conséquence de la question VI.A).\\ Soit $\chi_n(x) = \det(xI_n – A)$ le polynôme caractéristique de $A$.\\ On sait que $\chi_n(x) = \sum \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n [xI_n – A]_{i,\sigma(i)}$, où la somme est étendue aux permutations $\sigma$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$.\\ On fixe une permutation $\sigma$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$, on pose $\Psi(\sigma) = \prod_{i=1}^n [xI_n – A]_{i,\sigma(i)}$ et on suppose $\Psi(\sigma) \neq 0$.\\ On note $H$ l’ensemble des éléments $j$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\sigma(j) \neq j$, et $\mathrm{card}(H) = h$, avec $0 \leq h \leq n$.\\ a) Montrer que $\Psi(\sigma) = (-1)^h x^{n-h} \prod_{i\in H} a_{i,\sigma(i)}$.\\ b) La restriction à $H$ de la permutation $\sigma$ se décompose en produits de cycles à supports disjoints (et de longueur $\geq 2$ puisque par hypothèse aucun des éléments de $H$ n’est invariant par $\sigma$).\\ Soit $s = (j_1, j_2, \ldots, j_u)$, avec $m \geq 2$, l’un quelconque des cycles entrant dans cette décomposition.\\ Montrer que $j_1 \to j_2 \ldots \to j_u \to j_1$ est un circuit dans la matrice $A$.\\ En déduire que $m$, puis $h$, sont des multiples de $d$.\\ c) Montrer finalement que $\chi_n(x)$ s’écrit :\\ $\chi_n(x) = x^n + \alpha_1 x^{n-d} + \alpha_2 x^{n-2d} + \cdots + \alpha_u x^{n-ud} + \cdots$\\ En déduire que $d$ est un diviseur de $p$ (utiliser le résultat de la question VI.C). Conclure.}FAQ
Une matrice primitive est une matrice carrée à coefficients réels non-négatifs telle qu’il existe un entier m ≥ 1 pour lequel toutes les entrées de A^m sont strictement positives. Cette notion est extrêmement importante car elle intervient dans de nombreux résultats sur le comportement asymptotique des puissances d’une matrice, la théorie spectrale, l’étude des chaînes de Markov et la connectivité des graphes associés. Comprendre la primitivité permet d’accéder à des résultats puissants sur la convergence et l’accessibilité dans la théorie des matrices et des graphes.
Une norme sous-multiplicative sur l’espace des matrices carrées, noté \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \), est une norme N telle que pour toutes matrices A et B carrées de même taille, N(AB) ≤ N(A)N(B). Elle possède donc une compatibilité naturelle avec la multiplication matricielle. On sait qu’une telle norme est fondamentale en analyse matricielle, en algèbre linéaire et en stabilité de suites de matrices, ce qui est exploité à plusieurs moments dans le sujet Centrale MP. Retrouve des corrigés détaillés sur ce thème dans la section ‘débloquer les corrigés’ sur Prépa Booster !
Le rayon spectral d’une matrice, noté généralement \( \rho(A) \), est le plus grand module (valeur absolue) des valeurs propres de la matrice A. Il apparaît dans les résultats sur la convergence des puissances de matrices, la stabilité des systèmes dynamiques linéaires et l’étude des chaînes de Markov. Son calcul et sa compréhension sont des incontournables pour résoudre ce type de sujet, en particulier pour anticiper le comportement à l’infini de \( A^k \) ou pour déterminer si une matrice est primitive ou irréductible.
Une matrice strictement positive possède uniquement des coefficients strictement positifs. Une matrice irréductible est une matrice carrée à coefficients réels non-négatifs, telle que, pour tout couple d’indices (i,j), il existe une puissance m pour laquelle \( (A^m)_{i,j}>0 \) ; cela équivaut à la connexité forte du graphe associé à A. Enfin, la matrice est dite primitive si elle est irréductible et si le plus petit entier m tel que \( A^m > 0 \) existe pour des puissances successives. La primitivité implique l’irréductibilité, mais l’inverse n’est pas toujours vrai.
Le lien entre matrices et graphes orientés permet d’utiliser la combinatoire (chemins, circuits, connexité) pour analyser les puissances des matrices, l’accessibilité entre sommets, ou la structure des solutions d’équations linéaires. Pour chaque matrice non-négative, il existe une correspondance naturelle avec un graphe orienté : étudier les chemins revient alors à raisonner sur les puissances de matrices. Ce fil conducteur rejaillit dans plusieurs questions du sujet !
Ce sujet croise plusieurs grands chapitres du programme MP : l’algèbre linéaire avancée, la théorie spectrale des matrices non-négatives, l’interprétation combinatoire via les graphes, la convergence des suites de matrices, et les applications à la dynamique des systèmes linéaires. Maîtriser ces thèmes, c’est être armé pour affronter efficacement l’épreuve Centrale et progresser dans ton apprentissage scientifique. Pour une progression optimisée, tu peux débloquer le corrigé complet et suivre ta progression sur Prépa Booster.
Travailler sur les puissances de matrices t’entraîne à résoudre des problèmes de suite récurrente linéaire, d’évolution de systèmes dynamiques, de chaînes de Markov, d’algorithmes de Google PageRank, d’épidémiologie ou d’informatique théorique (graph theory, complexité, etc.). Ces notions sont directement exploitables en MPSI-MP et rejaillissent dans la plupart des grands concours scientifiques.
Le polynôme caractéristique permet de calculer explicitement les valeurs propres de la matrice, ce qui oriente toute l’étude spectrale du sujet : convergence, stabilité, imprimitivité, etc. De plus, sa factorisation et ses propriétés (comme la structure en blocs ou sa factorisation selon des diviseurs communs) donnent des informations fines sur la cyclicité, la multiplicité des pôles spectraux ou le comportement des suites (A^k).
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