Questions du sujet
1. I.A – Montrer que, pour tout polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$, l’application $f_P : A \mapsto P (A)$ est une fonction continue de $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ dans $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$. 2. I.B – Montrer que l’application $(A, B) \mapsto \operatorname{Tr}(A^t \times B)$ est un produit scalaire sur l’espace $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$. \\ Dans toute la suite du problème, on note $\| \cdot \|$ la norme associée à ce produit scalaire. 3. I.C – Pour tous entiers $i, j$ entre 1 et $d$ et toute matrice $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$, comparer $|A_{i,j}|$ et $\|A\|$. 4. I.D – Montrer que : $\forall(A, B) \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})^2, \|A \times B\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$. 5. I.E – Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$, comparer $\|A^n\|$ et $\|A\|^n$.} 6. II.A – Soit $\mathcal{B} = \{A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R}), \|A\| < R\}$. Montrer que l’application $\varphi : A \mapsto \varphi(A) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n A^n$ est définie et continue sur $\mathcal{B}$. 7. II.B.1) Établir l’existence d’un entier $r \in \mathbb{N}^*$ tel que la famille $(A^k)_{0 \leq k \leq r-1}$ soit libre et la famille $(A^k)_{0 \leq k \leq r}$ soit liée. 8. II.B.2) Pour $n \in \mathbb{N}$, montrer l’existence et l’unicité d’un $r$-uplet $(\lambda_{0,n}, \ldots, \lambda_{r-1,n})$ dans $\mathbb{R}^r$ tel que \[A^n = \sum_{k=0}^{r-1} \lambda_{k,n}A^k\] 9. II.B.3) Montrer qu’il existe une constante $C > 0$ telle que : $\forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{r-1} |\lambda_{k,n}| \leq C\|A^n\|$ 10. II.B.4) En déduire que, pour tout entier $k$ entre $0$ et $(r-1)$, la série $\sum_{n \geq 0} a_n\lambda_{k,n}$ est absolument convergente dans $\mathbb{C}$.} 11. II.B.5) Conclure qu’il existe un unique polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\varphi(A) = P(A)$ et $\deg P < r$. 12. II.B.6) Déterminer ce polynôme $P$ lorsque $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $a_n = \dfrac{1}{n!}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 13. II.C – Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ pour qu’il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R}), \varphi(A) = P(A)$. 14. III.A.1) Rappeler l’énoncé du théorème permettant de faire le produit de deux séries de nombres complexes. \\ On admet dans la suite de la partie III que le résultat valable pour les séries de nombres complexes est encore valable pour des séries de matrices dans $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$. 15. III.A.2) Pour $(A, B) \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})^2$ tel que $A$ et $B$ commutent, montrer que $\exp(iA) \exp(iB) = \exp(i(A + B))$.} 16. III.A.3) Pour tout $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$, on pose \[\cos(A) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n A^{2n}}{(2n)!} \text{ et } \sin(A) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n A^{2n+1}}{(2n+1)!}\] Montrer \[\forall A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R}), \quad \cos(A)^2 + \sin(A)^2 = I_d\] 17. III.B.1) Pour $R$ assez grand, montrer que, pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, la matrice $(R e^{i\theta} I_d - A)$ est inversible dans $\mathcal{M}_d(\mathbb{C})$, et que son inverse est la matrice \[(R e^{i\theta})^{-1} \sum_{n=0}^{+\infty}(R e^{i\theta})^{-n}A^n\] 18. III.B.2) Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $R$ assez grand, la matrice \[\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} (R e^{i\theta})^n (R e^{i\theta} I_d - A)^{-1} d\theta\] vaut $A^{n-1}$. 19. III.B.3) On considère le polynôme caractéristique \[\chi_A(X) = \det(A - X \cdot I_d) = \sum_{k=0}^d a_k X^k\] Montrer que pour $R$ assez grand : \[\chi_A(A) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} (R e^{i\theta})\chi_A (R e^{i\theta})(R e^{i\theta}I_d - A)^{-1} d\theta\] 20. III.B.4) En déduire que $\chi_A(A)$ est la matrice nulle. \\ On pourra faire intervenir des comatrices.} 21. IV.A – Soit $\alpha$ un nombre strictement inférieur à $\frac{M}{2}$ et $F$ la primitive de $f$ s’annulant en $\alpha$. Montrer que pour tous $x$ et $y$ dans $\left]-\infty , \frac{M}{2}\right[$, avec $y \neq \alpha$, on a : \[f(2x) = \frac{2F(x+y) - F(x+\alpha) - \frac{1}{4}F(2y) + \frac{1}{4}F(2\alpha)}{y - \alpha}\] 22. IV.B – En déduire que la fonction $f$ est de classe $C^\infty$ sur $]-\infty , M[$. 23. IV.C – Montrer que $f'' = 0$, puis que l’ensemble des solutions continues de l’équation (IV.1) forme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, dont on déterminera une base. 24. V.A – Déterminer les fonctions continues $\xi$ vérifiant la condition (V.1) lorsque $d=1$. 25. V.B – Montrer \[\forall(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4, \ ad \neq bc \implies \xi(a)\xi(d) \neq \xi(b)\xi(c)\] On pourra considérer la matrice \[\begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\ c & d & 0 & \cdots & 0 \\ c & d \\ \vdots & \vdots & I_{d-2} \\ c & d \\ \end{pmatrix}\]} 26. V.C – En déduire que la fonction $\xi$ est injective, puis qu’elle est strictement monotone sur $\mathbb{R}$. 27. V.D – Montrer que la fonction $\xi$ ne s’annule pas sur $\mathbb{R}^*$. 28. V.E.1) Montrer que si $\xi(0) \neq 0$, alors il existe $\alpha > 0$ tel que $\xi(0)\xi(2) = \xi(1)\xi(\alpha)$. 29. V.E.2) Conclure. 30. V.F – Soit $\eta = \xi^{-1} : I \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction réciproque de la bijection $\xi : \mathbb{R} \rightarrow I$. Montrer que là où cela est défini \[(\eta(xy))^2 = \eta(x^2)\eta(y^2)\]} 31. V.G.1) Montrer que la fonction $f = \ln \circ \eta \circ \exp$ vérifie l’équation (IV.1) sur un intervalle $]-\infty, M[$, avec $M$ (éventuellement infini) à préciser en fonction de l’intervalle $I$. 32. V.G.2) En déduire que sur l’intervalle $I\cap]0,+\infty[$ la fonction $\eta$ est de la forme \[\eta : x \mapsto K_1 x^{\alpha_1}\] avec deux constantes $K_1 > 0$ et $\alpha_1 > 0$. 33. V.G.3) Montrer que sur l’intervalle $I \cap ]-\infty, 0[$ la fonction $\eta$ est de la forme \[\eta : x \mapsto K_2(-x)^{\alpha_2}\] avec deux constantes $K_2 < 0$ et $\alpha_2 > 0$. 34. V.G.4) Montrer que $I = \mathbb{R}$ puis que la fonction $\eta$ est une fonction impaire. 35. V.H – En déduire dans le cas général que, si $\xi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction continue vérifiant la condition (V.1), alors elle est impaire et sa restriction à $\mathbb{R}_+^*$ est de la forme $x \mapsto C x^\beta$, avec $C \neq 0$ et $\beta > 0$.} 36. V.I – Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, calculer le déterminant de la matrice $A_\lambda \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ ne comportant que des $1$ hors de la diagonale et que des $\lambda$ sur la diagonale. 37. V.J – En déduire toutes les fonctions continues $\xi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant (V.1).}FAQ
Tu es confronté à des questions sur l’analyse matricielle : continuité des applications polynomiales sur les matrices, normes matricielles, produits scalaires, inégalités de normes, applications des polynômes à une matrice, calculs autour des puissances de matrices, polynôme caractéristique et série entière appliquée à une matrice. Maîtriser ces outils t’aidera à décortiquer efficacement les grandes familles d’exercices classiques du concours.
L’astuce classique est de considérer le rayon de convergence de la série entière initiale et de l’adapter à la norme matricielle utilisée. Il suffit généralement de vérifier que la norme de la matrice se trouve à l’intérieur du disque ouvert de convergence : si c’est le cas, la série définissant l’application converge absolument pour cette matrice. Pour aller plus loin et voir des exercices détaillés, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Le polynôme caractéristique intervient dans des questions de diagonalisation, de calculs d’expressions de la forme \(P(A)\) via des relations du type Cayley-Hamilton, et apparaît aussi dans des intégrales complexes en lien avec la matrice elle-même. Ce type de manipulation prépare à traiter les questions de réduction de matrices très courantes en MP, et accélère la résolution de nombreux exercices.
Dans ce sujet, tu retrouves la linéarisation des fonctions analytiques usuelles (exponentielle, sinus, cosinus), mais appliquées aux matrices. Toute la difficulté consiste à vérifier la convergence terme à terme selon la norme matricielle et à savoir utiliser les propriétés algébriques (notamment commutativité) pour retrouver par exemple la formule de l’exponentielle d’une somme. Ces points sont centraux pour de nombreux exercices de concours.
La dernière partie du sujet aborde l’étude des fonctions continues vérifiant des conditions fonctionnelles précises (fonctionnelle sur les produits et sommes, invariance, etc.), qui amènent à des arguments sur l’injectivité, la stricte monotonie, et la forme explicite de la fonction sur \(\mathbb{R}^*\). Ce genre d’analyse prépare aux problèmes ouverts et à la recherche de toutes les solutions continues d’équations fonctionnelles, un grand classique à Centrale.
Consacre du temps à revoir les théorèmes fondamentaux sur les matrices (normes, polynômes), les outils de convergence (séries, intégrales), et à bien comprendre les arguments d’analyse fonctionnelle sur les espaces vectoriels. Entraîne-toi sur les calculs de puissances de matrices, la maîtrise des séries entières appliquées aux matrices et sur les démonstrations d’injectivité/monotonie. Tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour t’inspirer d’exercices types et bénéficier d’un dashboard personnalisé en fonction de tes lacunes.
Oui ! De nombreux outils ici traversent l’algèbre, l’analyse, l’algèbre linéaire et même la physique, notamment l’étude des exp, sin, cos de matrices (utile en mécanique quantique), la manipulation des polynômes caractéristiques (qui revient en optique, en probabilités matricielles, etc.) et la gestion de l’injectivité/monotonie dans les équations fonctionnelles (présentes en spé Maths et en spé Physique).