Questions du sujet
1. I.A.1) Exprimer $\frac{\partial \tilde{f}}{\partial r}(r,\theta)$ et $\frac{\partial \tilde{f}}{\partial \theta}(r,\theta)$ en fonction de $r$, $\theta$, $\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta, r\sin\theta)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos\theta, r\sin\theta)$. 2. I.A.2) Pour tout $(r,\theta) \in \R^*_+ \times \R$, montrer \[ \frac{\partial \tilde{f}}{\partial r}(r,\theta) = \frac{1}{r} \frac{\partial \tilde{g}}{\partial \theta}(r,\theta) \quad \text{et} \quad \frac{\partial \tilde{g}}{\partial r}(r,\theta) = -\frac{1}{r} \frac{\partial \tilde{f}}{\partial \theta}(r,\theta). \] 3. I.B.1) Pour tout $n \in \Z^*$, déterminer les réels $\alpha$ tels que $\varphi_\alpha$ appartienne à $E_n$. 4. I.B.2) Déterminer $E_n$ pour $n \in \Z$. On discutera séparément le cas $n=0$. 5. I.C.1) Montrer que $c_{n,f}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^*_+$ et vérifie \[ \forall r \in \R^*_+,\quad \big(c_{n,f}\big)'(r) = \frac{in}{r}c_{n,g}(r) \]} 6. I.C.2) Montrer que $c_{n,f}$ appartient à $E_n$ et que $c_{n,f}$ est bornée au voisinage de $0$. En déduire l’existence de $a_n \in \C$ tel que \[ \forall r \in \R^*_+, \quad c_{n,f}(r) = a_n r^{|n|} \] 7. I.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir \[ \forall (r, \theta) \in \R^*_+ \times \R, \quad \tilde{f}(r, \theta) = \lim_{p\to+\infty} \sum_{n=-p}^p a_n r^{|n|} e^{in\theta} \] 8. I.D.1) Si $n \in \Z$, montrer que la fonction $(c_{n,f})’$ est bornée sur $\R^*_+$. 9. I.D.2) Montrer que les fonctions $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont constantes. 10. II.A) Déterminer les fonctions de $\mathcal{P}_2$ vérifiant (1) sur $\R^2$.} 11. II.B) En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si $(t_0,u_0)$ est dans $(\R^*)^2$, l’existence d’un intervalle ouvert $I$ de $\R$ contenant $t_0$ et d’une fonction $u \in \mathcal{C}^1(I, \R)$ telle que $u$ soit solution de (II.1) sur $I$ et vérifie $u(t_0) = u_0$. 12. II.C) Soit $J$ un intervalle ouvert non vide de $\R$. Existe-t-il une fonction polynomiale solution de (II.1) sur $J$ ? 13. II.D.1) Montrer que $\Omega(J)$ est un ouvert non vide. 14. II.D.2) Montrer que $W$ est dans $\mathcal{C}^2(\Omega(J),\R)$ et que l’on a équivalence entre\\ i. $W$ vérifie (1) sur $\Omega(J)$,\\ ii. $w’$ vérifie (II.1) sur $J$. 15. II.D.3) Montrer que $W$ est la restriction à $\Omega(J)$ d’une fonction de $\mathcal{P}_2$ si et seulement si $w$ est affine.} 16. II.E) Soient $\Omega$ un ouvert non vide de $\R^2$, $f$ dans $\mathcal{C}^2(\Omega, \R)$ vérifiant (1) sur $\Omega$, $(a,b) \in \R^2$, $\Omega_{a,b}$ l’image de $\Omega$ par la translation de vecteur $(a,b)$ et $f_{a,b}$ la fonction définie sur $\Omega_{a,b}$ par\\ $\forall(x,y)\in\Omega_{a,b},\ f_{a,b}(x,y) = f(x-a,y-b)$\\ Montrer que $f_{a,b}$ vérifie (1) sur $\Omega_{a,b}$. 17. II.F) Si $(x_0,y_0)$ est dans $\R^2$, montrer qu’il existe un ouvert $U$ de $\R^2$ contenant $(x_0,y_0)$ tel que l’ensemble des fonctions de $\mathcal{C}^2(U,\R)$ vérifiant (1) sur $U$ et ne coïncidant sur $U$ avec aucun élément de $\mathcal{P}_2$ soit infini. 18. III.A) Rappeler la définition d’un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\R^2$ sur $\R^2$ et le théorème caractérisant un tel difféomorphisme parmi les applications de classe $\mathcal{C}^1$ de $\R^2$ dans $\R^2$. 19. III.B.1) Vérifier\\ $F(q) – F(p) = \int_0^1 dF_{p+t(q-p)}(q-p)\;dt$ 20. III.B.2) Montrer\\ $\langle F(q) – F(p), q-p \rangle > \alpha\|q-p\|^2$} 21. III.C.1) Si $p$ et $h$ sont dans $\R^2$, calculer $dG_a{}_p(h)$. 22. III.C.2) Montrer que $G_a(p)\to+\infty$ quand $\|p\|\to+\infty$. 23. III.C.3) En déduire que $G_a$ atteint un minimum global sur $\R^2$ en un point $p_0$. 24. III.C.4) Montrer que $F(p_0) = a$. 25. III.D) Montrer que $F$ réalise un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\R^2$ sur $\R^2$.} 26. IV.A) Si $(x,y)\in\R^2$, montrer que $\operatorname{Jac} F(x,y) – I_2$ (où $I_2$ désigne la matrice identité d’ordre 2) est symétrique positive. En déduire que $F$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\R^2$ sur $\R^2$. 27. IV.B.1) Montrer qu’il existe deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ dans $\mathcal{C}^1(\R^2, \R)$ telles que \[ \forall(x, y) \in \R^2, \left\{ \begin{array}{l} \varphi (u(x, y), v(x, y)) = x – \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \\ \psi (u(x, y), v(x, y)) = -y + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{array} \right. \] 28. IV.B.2) Calculer $\frac{\partial \varphi}{\partial u}(u(x,y), v(x,y))$, $\frac{\partial \varphi}{\partial v}(u(x,y), v(x,y))$, $\frac{\partial \psi}{\partial u}(u(x,y), v(x,y))$ et $\frac{\partial \psi}{\partial v}(u(x,y), v(x,y))$ (que l’on abrégera en $\frac{\partial \varphi}{\partial u}$, $\frac{\partial \varphi}{\partial v}$, $\frac{\partial \psi}{\partial u}$ et $\frac{\partial \psi}{\partial v}$) en fonction de $r(x,y)$, $s(x,y)$ et $t(x,y)$ (que l’on abrégera en $r$, $s$ et $t$). 29. IV.B.3) Montrer que $\frac{\partial \varphi}{\partial u}$ et $\frac{\partial \varphi}{\partial v}$ sont bornées sur $\R^2$. 30. IV.B.4) Montrer, en utilisant la première partie, que $\frac{\partial \varphi}{\partial u}$ et $\frac{\partial \varphi}{\partial v}$ sont constantes.} 31. IV.B.5) En déduire que $r$, $s$ et $t$ sont constantes. 32. IV.C) Montrer que les seules fonctions de $\mathcal{C}^2(\R^2, \R)$ vérifiant (1) sur $\R^2$ appartiennent à $\mathcal{P}_2$.}FAQ
Le sujet balaye de nombreuses notions majeures du programme de CPGE MP. Il te faut être à l’aise avec les changements de coordonnées (cartésiennes à polaires), la manipulation des dérivées partielles, l’étude des espaces de fonctions, la résolution d’équations différentielles et la théorie du difféomorphisme en dimension 2. Maîtriser le lien entre calcul intégral, analyse complexe, et résolution de systèmes d’équations est aussi attendu. Pour progresser efficacement sur ces points, n’hésite pas à débloquer les corrigés complets sur Prépa Booster.
Les coordonnées polaires sont incontournables dès qu’on s’intéresse à des problèmes à symétrie circulaire, ou pour simplifier des calculs d’analyse ou de géométrie. Elles permettent de travailler efficacement sur des domaines comme les disques, annulus, ou pour exploiter les propriétés d’invariance par rotation. En concours, savoir passer rapidement d’un système de coordonnées à un autre est un vrai atout pour débloquer les exercices d’analyse et d’algèbre multilineaire.
Lorsqu’on traite des difféomorphismes, il faut revoir la définition exacte : application bijective, réciproque de classe C¹, et jacobienne inversible partout. Les questions sur la matrice jacobienne engagent souvent l’étude de sa positivité, symétrie, ou de ses valeurs propres, essentielles pour la géométrie globale. Un conseil : entraîne-toi à expliciter rapidement la jacobienne, à vérifier ses propriétés, et à relier ces résultats aux théorèmes essentiels (inverse local/global, théorème d’Inversion locale…). Le corrigé détaillé t’attend sur Prépa Booster si tu veux décortiquer ces méthodes pas à pas !
Dans ce sujet, les espaces de fonctions comme \( E_n \) ou \( \mathcal{P}_2 \) permettent de structurer l’étude des solutions d’équations aux dérivées partielles (EDP) et de caractériser les formes des fonctions candidates. Par exemple, déterminer à quoi ressemble précisément l’ensemble des solutions d’une équation du type (1) sur \( \mathbb{R}^2 \) est fondamental pour distinguer polynômes, solutions générales, et propriétés d’invariance par translation. Ces outils sont essentiels dès qu’on généralise les méthodes à d’autres problèmes d’analyse ou de physique mathématique.
L’épreuve exploite des résultats incontournables comme le théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles, le théorème d’inversion locale, les propriétés des fonctions de classe \( \mathcal{C}^k \) en dimension 2, ainsi que la résolution des EDP linéaires à coefficients constants. Être au clair sur l’énoncé précis et le champ d’application de ces théorèmes, c’est la clé pour ne pas perdre de temps face à la rédaction. Tu retrouveras des applications directes de ces outils dans les corrigés détaillés sur Prépa Booster.
La translation et l’invariance jouent un rôle essentiel pour tester ta compréhension des symétries et des propriétés structurelles des équations. Ici, on te demande d’analyser comment la solution d’une EDP se transforme par une translation dans le plan, et de caractériser les solutions invariantes. Comprendre ces propriétés t’aide à aborder des questions d’unicité ou de diversité des solutions, utiles en maths pures mais aussi en mécanique ou en physique des milieux continus.
Pour exceller en résolution d’équations différentielles ordinaires et partielles, commence par bien connaître les méthodes générales : séparation des variables, utilisation des invariants, recours aux séries (de Fourier, le cas échéant). Entraîne-toi à identifier le bon changement de variable ou la bonne symétrie pour simplifier l’équation. Surtout, lis attentivement les énoncés pour exploiter les particularités demandées dans les sujets de concours comme Centrale. Les corrigés et le dashboard personnalisé sur Prépa Booster t’aident à cibler les approches efficaces et à progresser sur tes points faibles.