Questions du sujet
1. I.A.1) Dans chacun des deux cas suivants, montrer que f \ast g est définie et bornée sur \mathbb{R} et donner une majoration de \|f \ast g\|_\infty pouvant faire intervenir \|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2 ou \|\cdot\|_\infty.\\ a) $f \in L^1(\mathbb{R})$, $g \in C_b(\mathbb{R})$;\\ b) $f,g \in L^2(\mathbb{R})$. 2. I.A.2) Soient $f, g \in C(\mathbb{R})$ telles que $f \ast g(x)$ soit défini pour tout réel $x$. Montrer que $f \ast g = g \ast f$. 3. I.A.3) Montrer que si $f$ et $g$ sont à support compact, alors $f \ast g$ est à support compact. 4. I.B.1) Montrer qu’une fonction $h$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\lim_{\alpha \to 0} \|T_\alpha(h) – h\|_\infty = 0$. 5. I.B.2) Pour tout réel $\alpha$, montrer que $T_\alpha(f \ast g) = (T_\alpha(f)) \ast g$.} 6. I.B.3) Pour tout réel $\alpha$, montrer que $\|T_\alpha(f \ast g) – f \ast g\|_\infty \leq \|T_\alpha(f) – f\|_2 \times \|g\|_2$. 7. I.B.4) En déduire que $f \ast g$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ dans le cas où $f$ est à support compact. 8. I.B.5) Montrer que $f \ast g$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ dans le cas général. 9. I.C.1) On suppose que $f \in L^1(\mathbb{R})$ et $g \in C_b(\mathbb{R})$.\\ a) Montrer que $f \ast g$ est continue.\\ b) Montrer que si $g$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$, alors $f \ast g$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$. 10. I.C.2) Soit $k$ un entier naturel non nul. On suppose que $g$ est de classe $C^k$ sur $\mathbb{R}$ et que toutes ses fonctions dérivées, jusqu’à l’ordre $k$, sont bornées sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer que $f \ast g$ est de classe $C^k$ sur $\mathbb{R}$ et préciser sa fonction dérivée d’ordre $k$.} 11. I.C.3) Dans cette question I.C.3, on suppose que $g$ est continue, $2\pi$-périodique et de classe $C^1$ par morceaux.\\ a) Énoncer sans démonstration le théorème sur les séries de Fourier applicable aux fonctions continues, $2\pi$-périodiques et de classe $C^1$ par morceaux.\\ b) Montrer que $f \ast g$ est $2\pi$-périodique et est somme de sa série de Fourier. Expliciter les coefficients de Fourier de $f \ast g$ à l’aide des coefficients de Fourier de $g$ et d’intégrales faisant intervenir $f$. 12. I.D.1) Montrer que la suite $(f \ast \delta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $f$ sur $\mathbb{R}$. 13. I.D.2) Montrer que si $f$ est à support compact, alors la suite $(f \ast \delta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. 14. I.D.3) Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la fonction définie sur $[-1,1]$ par \[ h_n(t) = \frac{(1 – t^2)^n}{\lambda_n} \] et nulle en dehors de $[-1,1]$, le réel $\lambda_n$ étant donné par la formule \[ \lambda_n = \int_{-1}^1 (1 – t^2)^n dt. \] a) Montrer que la suite de fonctions $(h_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une approximation de l’unité.\\ b) Montrer que si $f$ est une fonction continue à support inclus dans $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, alors $f \ast h_n$ est une fonction polynomiale sur $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ et nulle en dehors de l’intervalle $[-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$.\\ c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction complexe continue sur un segment de $\mathbb{R}$ est limite uniforme sur ce segment d’une suite de fonctions polynomiales. 15. I.D.4) Existe-t-il une fonction $g \in C_b(\mathbb{R})$ telle que pour toute fonction $f$ de $L^1(\mathbb{R})$, on ait $f \ast g = f$ ?} 16. II.A – Pour toute fonction $f \in L^1(\mathbb{R})$, montrer que $\hat{f}$ appartient à $C_b(\mathbb{R})$. 17. II.B.1) On suppose que $g$ est bornée.\\ a) Montrer que $f \ast g$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ et déterminer $\int_{\mathbb{R}} f \ast g$ en fonction de $\int_{\mathbb{R}} f$ et $\int_{\mathbb{R}} g$.\\ b) Montrer que $\widehat{f \ast g} = \hat{f} \times \hat{g}$. 18. II.B.2) Un contre-exemple\\ Montrer qu’il existe deux fonctions $f$ et $g$ dans $L^1(\mathbb{R})$ telle que $f \ast g(0)$ ne soit pas défini. 19. II.C.1) Exprimer la transformée de Fourier $\hat{k}_n(x)$ à l’aide de la fonction définie par \[ \varphi(x) = \begin{cases} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 &\text{si } x \neq 0 \\ 1 &\text{si } x = 0 \end{cases} \] 20. II.C.2) Justifier que $\varphi \in L^1(\mathbb{R})$.} 21. II.C.3) Montrer que la suite de fonctions $(K_n)_{n>1}$ est une approximation de l’unité. 22. II.D.1) Pour tout réel $t$ et tout entier naturel non nul $n$, montrer que $I_n(t) = (f \ast K_n)(t)$. 23. II.D.2) En déduire, pour tout réel $t$ : \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(x) e^{itx} dx. \] 24. III.A.1) Montrer que la famille $(g_1, \ldots, g_p)$ est libre si et seulement si la famille $(\varphi_{g_1}, \ldots, \varphi_{g_p})$ est libre. 25. III.A.2) Soit $E$ un espace vectoriel de dimension infinie et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une famille de formes linéaires sur $E$. On note \[ K = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} \ker(f_n). \] Montrer que la codimension de $K$ dans $E$ est égale au rang de la famille $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dans l’espace dual $E^*$ (on commencera par le cas où ce rang est fini).} 26. III.A.3) Montrer que la codimension de $N_g$ dans $L^1(\mathbb{R})$ est égale à la dimension de $V_g$. 27. III.A.4)\\ a) Soit $\beta \in \mathbb{R}$ et soit $g$ la fonction définie par $g(t) = e^{i\beta t}$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. Déterminer la codimension de $N_g$ dans $L^1(\mathbb{R})$.\\ b) Soit $n$ un entier naturel. Montrer qu’il existe une fonction $g$ de $C_b(\mathbb{R})$ telle que $N_g$ soit de codimension $n$ dans $L^1(\mathbb{R})$. 28. III.B.1) Montrer que, si $N_g$ est de codimension finie dans $L^1(\mathbb{R})$ et si $g$ vérifie l’hypothèse A, alors $g$ est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants. 29. III.B.2) En déduire l’ensemble des fonctions $g$ vérifiant l’hypothèse A et telles que $N_g$ soit de codimension finie dans $L^1(\mathbb{R})$. 30. III.C.1) Montrer qu’il existe des réels $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ et des fonctions $m_1, \ldots, m_n$ d’une variable réelle telles que, pour tout réel $\alpha$,\\ $T_\alpha(g) = \sum_{i=1}^n m_i(\alpha)T_{\alpha_i}(g)$.} 31. III.C.2) Soit $F$ un sous-espace de dimension finie, notée $p$, de $C(\mathbb{R})$. Pour toute fonction $f \in C(\mathbb{R})$ et pour tout réel $x$, on note $e_x(f) = f(x)$.\\ a) Montrer qu’il existe des réels $a_1, \ldots, a_p$ tels que $(e_{a_1}, \ldots, e_{a_p})$ soit une base de l’espace dual $F^*$.\\ b) Si $(f_1, \ldots, f_p)$ est une famille d’éléments de $F$, montrer que $Det(f_i(a_j))_{1 \leq i, j \leq p}$ est non nul si et seulement si $(f_1, \ldots, f_p)$ est une base de $F$. 32. III.C.3) En appliquant la question III.C.2) à $V_g$, montrer que si $g$ est de classe $C^k$ alors les fonctions $m_1, \ldots, m_n$ sont de classe $C^k$. 33. III.C.4) Montrer que, pour tout entier naturel $r$ non nul, $V_{h_r \ast g}$ est de dimension finie (les fonctions $h_r$ sont celles de la question I.D.3). 34. III.C.5) Montrer que pour $r$ assez grand la dimension de $V_{h_r \ast g}$ est égale à celle de $V_g$. 35. III.C.6) En déduire que les fonctions $m_1, \ldots, m_n$ sont de classe $C^\infty$.} 36. III.C.7) Déterminer l’ensemble des fonctions $g \in C_b(\mathbb{R})$ telles que $N_g$ soit de codimension finie dans $L^1(\mathbb{R})$.}FAQ
La convolution est une opération très centrale qui prend deux fonctions et en produit une troisième, synthétisant l’information des deux de façon à étudier comment une fonction en “influence” une autre. Cette notion apparaît aussi bien en analyse qu’en probabilités et en traitement du signal. En maths de CPGE, elle permet de relier la régularité, les propriétés de support, l’intégrabilité et la périodicité des fonctions. C’est aussi le point d’entrée naturel vers la découverte de la transformée de Fourier !
Le support compact d’une fonction, c’est le fait qu’elle soit nulle en dehors d’un segment. Cela simplifie beaucoup d’intégrales et de démonstrations en convolution, puisqu’on peut circonscrire l’étude à un intervalle fini. Dans le sujet Centrale MP 2012, tu as dû remarquer que la compacité du support permet d’assurer que la convolution reste à support compact, ce qui garantit des propriétés intéressantes de continuité, d’uniforme convergence ou encore de concours avec des polynômes d’approximation.
La transformée de Fourier, c’est un outil essentiel pour passer du domaine temporel au domaine fréquentiel. Elle intervient à la croisée de l’analyse, de l’algèbre et de la physique. Comprendre comment convoluer deux fonctions, étudier leur régularité et voir comment les transformées se comportent, c’est incontournable : la formule clé \( \widehat{f \ast g} = \hat{f} \cdot \hat{g} \) te permet de résoudre bien des problèmes, en lien avec les équations différentielles, l’approximation ou encore la synthèse de signaux. Les sujets des concours aiment exploiter tous ces liens ! Pour t’entraîner sur ce type de questions et décrocher une méthode solide, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Le célèbre théorème de Weierstrass affirme qu’on peut approcher toute fonction continue sur un segment arbitrairement près grâce à des polynômes. Dans ce sujet, la stratégie est d’utiliser une suite d’approximations de l’unité, puis de montrer que leur convolution avec ta fonction continue donne des fonctions polynomiales sur la zone d’intérêt. C’est fondamental si tu veux maîtriser l’approximation et comprendre le lien entre analyse et algèbre en CPGE.
Les espaces fonctionnels reviennent sans cesse au concours ! Tu dois bien assimiler les espaces \( L^1(\mathbb{R}) \) (fonctions intégrables), \( L^2(\mathbb{R}) \) (fonctions à carré intégrable), \( C_b(\mathbb{R}) \) (fonctions continues et bornées), ainsi que la notion de support compact. Sais-tu manipuler pinceaux, supports, normes \( \|\cdot\|_1 \), \( \|\cdot\|_2 \) et \( \|\cdot\|_\infty \) ? C’est souvent ce qui fait la différence entre une rédaction solide et une réponse floue !
Ce sont trois notions à bien distinguer ! La continuité d’une fonction implique qu’en chaque point, les valeurs proches sont proches. L’uniforme continuité, elle, te garantit qu’un même contrôle sur la variation s’applique sur tout \( \mathbb{R} \). Quant à la convergence uniforme d’une suite de fonctions vers une autre, cela signifie que, passé un certain rang, toutes les fonctions de la suite restent proches de la limite, uniformément sur l’ensemble. Ces subtilités sont systématiquement exploitées au concours, notamment pour démontrer la régularité ou l’approximation par convolution, comme dans le sujet de Centrale 2012.
Les approximations de l’unité permettent d’approcher n’importe quelle fonction « raisonnable » par convolution avec des noyaux lissants. C’est crucial autant pour l’analyse réelle (approximation de Weierstrass, lissage), que pour l’analyse harmonique et la résolution d’équations différentielles. Savoir construire et exploiter ces approximations, c’est dompter l’outil ultime pour régulariser, approximer, et rédiger des preuves rigoureuses, qualités essentielles pour le concours.
L’étude des espaces vectoriels de fonctions, des formes linéaires et leur dual fait la transition avec l’algèbre linéaire avancée. Déterminer la codimension d’un sous-espace de fonctions, relier la dimension d’espaces invariants, ou encore explorer la liberté des familles de fonctions convoluées, c’est aller plus loin que la simple manipulation, c’est rentrer dans la structure profonde des objets de l’analyse fonctionnelle !
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