Questions du sujet
1. I.A.1) Etablir que $\tau = \tau_0 \cup \tau_1$. 2. I.A.2) Représenter sur une même figure $\tau_0$, $\tau_1$, $\tau$. 3. I.A.3) \begin{enumerate} \item[a)] Soit $a \in \mathbb{C}$ et $\theta \in \mathbb{R}$. Prouver que l’image $z_0$ du complexe $z$ par la réflexion dont l’axe est la droite passant par $a$ et dirigée par $e^{i \theta}$ vérifie la relation : \[ z_0 – a = e^{2i\theta}(z-a) \] \item[b)] Etablir une relation analogue à celle de la question précédente entre un complexe $z$ et son image $z_0$ par l’homothétie de centre $a$ et de rapport $\rho > 0$. \item[c)] Démontrer que $\varphi_0$ est la composée d’une réflexion dont on précisera l’axe et d’une homothétie de rapport strictement positif à préciser et dont le centre appartient à l’axe de la réflexion. Prouver une propriété analogue pour $\varphi_1$. Ces décompositions sont-elles uniques ? \end{enumerate} 4. I.A.4) Que vaut l’image d’un triangle plein $abc$ par $\varphi_0$ et par $\varphi_1$ ? Déterminer $\varphi_0(\tau)$ et $\varphi_1(\tau)$. 5. I.B.1) \begin{enumerate} \item[a)] Démontrer que $K$ est un compact de $\mathbb{R}^3$ pour sa topologie usuelle. \item[b)] Démontrer que $K$ est convexe c’est à dire que, pour tout réel $t \in [0,1]$ et tout couple $(u,v)$ d’éléments de $K$, $tu + (1-t)v$ appartient à $K$. \item[c)] Etablir que, si $(a,b,c) \in \mathbb{C}^3, abcc$ est un compact convexe de $\mathbb{C}$ muni de sa topologie usuelle. \item[d)] Avec les mêmes notations prouver l’existence de : \[ \delta(abcc) = \max \{ |z_0 – z| \mid (z,z_0) \in abcc^2 \} \] \end{enumerate}} 6. I.B.2) \begin{enumerate} \item[a)] Démontrer que, si l’on fixe $z \in \mathbb{C}$ et $(a,b,c) \in \mathbb{C}^3$ \[ \max \left\{ |z_0 – z| \mid z_0 \in abcc \right\} = \max(|z-a|,|z-b|,|z-c|). \] \item[b)] En déduire une expression simple de $\delta(abcc)$. \end{enumerate} 7. II.1) Déterminer l’unique élément $f_0$ de $E$ qui soit affine. 8. II.2) Montrer que $Tg \in E$ pour tout $g \in E$. 9. II.3) Soient $g_1$ et $g_2$ deux éléments de $E$. Prouver que : \[ \| T g_2 – T g_1 \|_{\infty} = \frac{1}{\sqrt{2}} \| g_2 – g_1 \|_{\infty} \] 10. II.4) On définit maintenant une suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $E$ en choisissant $f_0$ affine comme ci-dessus et $f_{n+1} = T f_n$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item[a)] Prouver que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $f \in E$. \item[b)] Prouver que $Tf = f$. \item[c)] Prouver que, pour tout $x \in [0,1]$, $f(x) = -f(1-x)$ et interpréter géométriquement cette relation. \end{enumerate} } 11. III.A.1) Soit $(r_n)_{n \geq 1} \in \{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$ \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que la série de terme général $\frac{r_n}{2^n}$ converge et que sa somme $x$ appartient à $[0,1]$. \item[b)] En posant pour tout entier naturel $p$, $x_p = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{r_{n+p}}{2^n}$, prouver la relation : \[ f(x) = \varphi_{r_1} \circ \varphi_{r_2} \circ \cdots \varphi_{r_p}(f(x_p)) \] pour tout entier naturel non nul $p$. \end{enumerate} 12. III.A.2) Inversement, soit $x \in [0,1[$. \begin{enumerate} \item[a)] Etablir que, pour tout entier naturel non nul $n$, $r_n(x) \in \{0,1\}$. \item[b)] Montrer que, pour tout entier naturel non nul $N$ et tout réel $x \in [0,1[$ : \[ \left\lfloor 2^N x \right\rfloor / 2^N = \sum_{n=1}^N \frac{r_n(x)}{2^n} \qquad\text{puis}\qquad x = \sum_{n=1}^\infty \frac{r_n(x)}{2^n} \] \item[c)] Montrer que si, en outre, $x \in \mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]$ alors il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $r_n(x) = 0$ pour tout entier naturel $n > N$. \item[d)] Calculer $f\left(\frac{1}{2}\right)$ et $f\left(\frac{1}{4}\right)$. Reconnaître $\varphi_0 \circ \varphi_0$ et en déduire $f\left(\frac{1}{2^k}\right)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. \end{enumerate} 13. III.A.3) \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que $f\left(\left[0,1\right] \cap \mathbb{Z}\left[\frac{1}{2}\right]\right) \subset \tau$. \item[b)] Montrer que $f([0,1]) \subset \tau$. \end{enumerate} 14. III.A.4) Inversement, soit $z \in \tau$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer qu’on peut définir deux suites $(z_n)_{n \geq 0}$ et $(r_n)_{n \geq 1}$ de la manière suivante : \begin{itemize} \item $z_0 = z$ et, si $n \geq 1$ : \item si $z_{n-1} \in \tau_0$ alors $r_n = 0$ et $z_n = (\varphi_0)^{-1}(z_{n-1})$ \item sinon $r_n = 1$ et $z_n = (\varphi_1)^{-1}(z_{n-1})$ \end{itemize} Prouver que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, $z_n$ appartient à $\tau$. \item[b)] Prouver que $f\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{r_n}{2^n}\right) = z$ (on pourra exprimer $z$ en fonction de $z_n$ et des $\varphi_{r_i}$). \item[c)] Écrire une fonction qui prend en argument un complexe $z$ (que l’on supposera dans $\tau$) et un réel $\epsilon$ et qui renvoie une valeur approchée à $\epsilon$ près d’un antécédent de $z$. \end{enumerate} 15. III.A.5) \begin{enumerate} \item[a)] Prouver que $f$ n’est pas injective (on pourra utiliser la relation $f(1-x) = -f(x)$). \item[b)] Plus généralement montrer qu’il n’existe aucune bijection continue de $[0,1]$ sur $\tau$ (on pourra utiliser un argument de connexité par arcs). \end{enumerate} } 16. III.A.6) \begin{enumerate} \item[a)] Pour $(i,j) \in \{0,1\}^2$, déterminer l’expression complexe de $\varphi_i \circ \varphi_j$, la reconnaître, préciser son point fixe et l’image de $\tau$. Faire un dessin. \item[b)] Soient $r_1, r_2, \ldots, r_p$ des éléments de $\{0,1\}$. Prouver que $\varphi = \varphi_{r_1} \circ \varphi_{r_2} \circ \cdots \circ \varphi_{r_p}$ possède un unique point fixe que l’on ne cherchera pas nécessairement à exprimer simplement. \item[c)] Exhiber, à l’aide de l’application $f$, un point fixe de $\varphi$. \end{enumerate} 17. I.B.3) Soit $(r_n)_{n \geq 1}$ un élément de $\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$. Pour chaque entier naturel non nul $n$, on note $\tilde{\tau}_n = \varphi_{r_1} \circ \varphi_{r_2} \circ \cdots \circ \varphi_{r_n} (\tau)$. Montrer que $\bigcap_{n \geq 1} \tilde{\tau}_n$ est réduit à un seul point appartenant à $\tau$. 18. III.A.6.d) Montrer que l’ensemble $X$ des complexes $z$ qui sont point fixe de la composée d’un nombre fini d’applications $\varphi_0$ et $\varphi_1$ est dense dans $\tau$. 19. III.B.1) Supposons que $f$ soit dérivable sur $[0,1]$. Soient $x \in [0,1]$, $(\alpha_n)_{n \geq 1}$ et $(\beta_n)_{n \geq 1}$ deux suites d’éléments de $[0,1]$, convergentes vers $x$ et telles que $\alpha_n \leq x \leq \beta_n$ et $\alpha_n < \beta_n$ pour tout $n$. Montrer que la suite de terme général \[ \frac{f(\beta_n) - f(\alpha_n)}{\beta_n - \alpha_n} \] converge vers $f'(x)$. 20. III.B.2) Soit $x \in [0,1]$ \begin{enumerate} \item[a)] Si $x \in [0,1[$, en choisissant : \[ \alpha_n = \frac{r_1(x)}{2} + \cdots + \frac{r_n(x)}{2^n} \quad\text{et}\quad \beta_n = \alpha_n + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{2^k} \] prouver que $f$ n’est pas dérivable en $x$. \item[b)] Prouver que $f$ n’est pas dérivable en $1$. \end{enumerate} }FAQ
Le sujet de maths Centrale MP 2010 aborde principalement l’analyse du plan complexe avec applications affines (reflexion, homothétie), les ensembles compacts et convexes, la construction de fonctions par récurrence (suite d’applications contractantes), la topologie de l’ensemble image, la convergence uniforme, ainsi que la construction et l’étude d’une fonction continue mais non dérivable, typiquement une fonction de type « courbe de Koch », en lien avec les fractals. Tu rencontreras également la notion de codage binaire d’un réel (développements dyadiques) et l’analyse d’applications définies par récurrence (équations fonctionnelles).
Les fonctions contractantes et la convergence uniforme sont des thèmes incontournables car elles permettent d’étudier des suites de fonctions, la stabilité d’ensembles et l’existence d’objets mathématiques très singuliers comme les courbes fractales. En maths de MP, la maîtrise de ces notions est essentielle pour comprendre des phénomènes de convergence dans des espaces de fonctions, et c’est un excellent terrain pour mobiliser à la fois l’analyse, un peu de topologie, et le raisonnement par récurrence. Ce sujet 2010 en fait un bel exemple !
En MP, il est crucial de savoir qu’un ensemble compact dans ℝ³ (ou ℂ avec la topologie usuelle) est fermé et borné, et que la convexité garantit que tout segment reliant deux points de l’ensemble est contenu dans cet ensemble. Ces propriétés jouent un rôle central dans le raisonnement sur l’image ou l’antécédent de certains ensembles par des applications affines, et plus tard dans l’analyse fonctionnelle ou la géométrie des convexes. Elles sont aussi indispensables pour démontrer l’existence de maximum ou de minimum et l’unicité de certains points fixes dans l’épreuve.
Le sujet t’invite à construire une fonction par une suite de fonctions continues contractantes, ce qui garantit la continuité de la limite — même si cette limite n’est pas dérivable en aucun point ! La clé est d’étudier les accroissements finis sur de petits intervalles et de montrer que ces accroissements ne convergent pas, en raison des discontinuités « de pente » à toutes les échelles introduites par la construction fractale. C’est une méthode fréquemment mobilisée dans la construction des courbes continues non dérivables. Pour bien t’entraîner avec ce type de preuves, pense à débloquer les corrigés complets sur Prépa Booster.
La composition d’applications affines (reflexions, homothéties) est un incontournable de la géométrie complexe et permet de comprendre comment des ensembles comme des triangles, des fractales ou des images d’intervalles sont transformés. C’est aussi un excellent exemple d’objet auto-similaire, très utile pour modéliser des phénomènes naturels ou aborder les premiers concepts de fractales en MP. En les manipulant, tu affermis ton intuition géométrique tout en consolidant ta maîtrise des calculs sur ℂ, ce qui est un atout pour tous les concours.
Le codage dyadique, ou développement binaire, consiste à écrire un réel de [0,1] sous la forme d’une somme de puissances de 1/2, soit x = ∑ rₙ/2ⁿ avec rₙ ∈ {0,1}. Cette idée, mobilisée dans le sujet Centrale MP 2010, permet de lier l’étude des réels aux suites binaires et d’associer une dynamique à chaque réel via les applications successives — une technique puissante pour approcher les propriétés fractales et l’auto-similarité !
En MP, dès qu’une fonction est strictement contractante sur un ensemble compact, le théorème du point fixe de Banach assure l’unicité du point fixe et la convergence de toute suite itérée vers ce point. Dans le sujet, tu verras que la densité des points fixes de compositions finies d’applications évoque la structure très riche de l’ensemble fractal étudié (ici la courbe de Von Koch modifiée), encore une conséquence profonde de la théorie des points fixes et de l’auto-similarité des constructions fractales.
Quand on construit une courbe fractale comme dans l’épreuve Centrale MP 2010, l’application f n’est pas injective à cause de la symétrie imposée (f(1-x) = -f(x)) et de la non-unicité de certains développements dyadiques (par exemple, dans le codage de 1). De façon plus générale, les objets auto-similaires de ce type ne peuvent pas être l’image continue bijective d’un intervalle à cause de leur structure complexe (connexité, ramifications, recouvrements locaux), ce qui se démontre via des arguments topologiques. Si tu veux tout comprendre dans le détail, pense à explorer les corrigés détaillés de Prépa Booster !
Travaille autant tes compétences de calcul que ta rigueur logique ! Les sujets peuvent mêler algèbre linéaire, analyse, géométrie complexe et des arguments de topologie ou de combinatoire. Entraîne-toi sur des sujets corrigés, compare tes raisonnements détaillés à ceux attendus, et décompose systématiquement tes réponses : chaque justification, chaque propriété mobilisée doit être explicite. Pense aussi à t’appuyer sur les dashboards personnalisés de Prépa Booster pour cibler tes révisions et identifier les thématiques où progresser rapidement.