Questions du sujet
1. I.A.1) Enoncer pr\’ecis\’ement le th\’eor\`eme de Cauchy-Lipschitz adapt\’e \`a l’\’equation $(E_\lambda)$ et exploiter l’unicit\’e pour prouver qu’une solution $y$ de $(E_\lambda)$ est impaire si et seulement si $y(0) = 0$. 2. I.A.2) Prouver, par exemple \`a l’aide du wronskien, que $(E_\lambda)$ ne peut admettre une base de solutions de m\^eme parit\’e. En d\’eduire la dimension d’un sous-espace propre de $Q$. 3. I.B.1) D\’eterminer les valeurs propres de $A$ et $B$ et, pour chacune d’entre elles, un vecteur propre unitaire associ\’e. 4. I.B.2) D\’emontrer, pour tout $f\in E^2$, les in\’egalit\’es suivantes : $(f|A(f))\leq (f|Q(f))\leq (f|B(f))$. 5. II.A.1) Questions de cours dont les preuves ne sont pas demand\’ees : justifier l’existence de $\Pi_n$. Que repr\’esente $\Pi_n(f)$ relativement \`a la s\’erie de Fourier de $f$ ? Que valent $\lim_{n\to\infty}||\Pi_n(f)||_2$ et $\lim_{n\to\infty}||f-\Pi_n(f)||_2$ ?} 6. II.A.2) D\’emontrer, pour tout couple $(f,g)\in E^2$, la relation $(f|\Pi_n(g)) = (\Pi_n(f)|g)$. 7. II.A.3) Etablir, pour tout couple $(f,g)\in E^2$, que $(f|Q(g)) = (Q(f)|g)$. En d\’eduire que $Q_n$ est un endomorphisme sym\’etrique de $V_n$. 8. II.B.1) A l’aide de la question I.B.2), d\’emontrer, pour tout $f\in V_n$, les in\’egalit\’es : $(f|A_n(f))\leq (f|Q_n(f))\leq (f|B_n(f))$. 9. II.B.2) a) D\’eduire de la question I.B.1 les valeurs propres des endomorphismes $A_n$ et $B_n$ class\’ees par ordre croissant.\\b) Soit $k\in\{1,2,\ldots,n\}$ ; montrer qu’il existe un vecteur unitaire $f$ appartenant \`a $V_k\cap \mathrm{Vect}(e_{k,n},e_{k+1,n},\ldots,e_{n,n})$ puis que $\lambda_{k,n}\leq (f|Q(f))\leq (f|B(f))\leq k^2+b$. Prouver de mani\`ere analogue l’in\’egalit\’e $k^2+a\leq\lambda_{k,n}$.\\c) Dans cette question, on suppose $n > 2$. D\’emontrer que, pour tout $f\in V_{n-1}$, $(f|Q_n(f)) = (f|Q_{n-1}(f))$. En d\’eduire, en utilisant une m\’ethode analogue \`a celle sugg\’er\’ee dans la question pr\’ec\’edente, que si $1\leq k\leq n-1$ alors $\lambda_{k,n-1}>\lambda_{k,n}$. 10. II.C – On pose, dans la suite du probl\`eme, $I_k = [k^2 + a, k^2 + b]$. Prouver que, si $k\in\mathbb{N}^*$, la suite $(\lambda_{k,n})_{n\geq k}$ converge vers une limite $\lambda_k$ \’el\’ement de l’intervalle $I_k$ et que la suite $(\lambda_k)_{k\geq 1}$ est croissante.} 11. III.A.1) Soit $y_\lambda$ la solution maximale de $(E_\lambda)$. Prouver qu’existent deux fonctions $r_\lambda$ et $\theta_\lambda$, de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ telles que : $r_\lambda>0$, $y_\lambda’r_\lambda^{\,-1} = \cos \theta_\lambda$, $y_\lambda r_\lambda^{\,-1} = \sin \theta_\lambda$, $\theta_\lambda(0) = 0$. 12. III.A.2) Prouver que $\theta_\lambda$ est l’unique solution maximale de $(T_\lambda)$. 13. III.A.3) D\’eterminer une \’equation diff\’erentielle lin\’eaire du premier ordre, dont les coefficients d\’ependent de la fonction $\theta$, satisfaite par $r_\lambda$. 14. III.B.1) Prouver, pour tout $t>0$, les in\’egalit\’es : $|\theta(\lambda,t) – \sqrt{\lambda}t|\leq \dfrac{||q||_\infty t}{\sqrt{\lambda}}$ puis $|\cos(2\theta(\lambda,t)) – \cos(2\sqrt{\lambda}t)|\leq \dfrac{2||q||_\infty t}{\sqrt{\lambda}}$. 15. III.B.2) Prouver l’existence d’une constante $K$ telle que : $|\theta(\lambda,2\pi) – 2\pi\sqrt{\lambda} + \frac{1}{2\sqrt{\lambda}} \int_0^{2\pi} q(t)\ dt – \frac{1}{2\sqrt{\lambda}} \int_0^{2\pi} q(t)\cos(2\sqrt{\lambda}t)dt|\leq K/\lambda$.} 16. III.B.3) Montrer que, quand $\lambda$ est au voisinage de $+\infty$ :\\ $\theta(\lambda,2\pi) = 2\pi\sqrt{\lambda}\left(1 – \frac{1}{4\pi\lambda} \int_0^{2\pi} q(t)\,dt + o\left(\frac{1}{\lambda}\right)\right)$ 17. III.B.4) a) Prouver l’existence d’un entier naturel $k_0>0$ et d’une suite $(\mu_k)_{k\geq k_0}$, strictement croissante de r\’eels strictement positifs telle que, pour tout entier naturel $k\geq k_0$, on ait $\theta(\mu_k,2\pi) = 2k\pi$.\\b) Montrer que $\lim_{k\to\infty}(\mu_k – k^2) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}q(t)dt$. 18. III.C.1) D\’emontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $\theta(\lambda,-x) = -\theta(\lambda,x)$ et\\ $\theta(\lambda,2\pi + x) – 2k\pi = \theta(\lambda,x)$. 19. III.C.2) Prouver que si $u$ est une fonction continue, impaire et $2\pi$-p\’eriodique alors la fonction $x\mapsto\exp\left(\int_0^x u(t)\,dt\right)$ est $2\pi$-p\’eriodique. En d\’eduire que $r_\lambda$ est $2\pi$-p\’eriodique. 20. III.C.3) Prouver que $y_\lambda$ est $2\pi$-p\’eriodique et impaire et conclure.} 21. III.C.4) Que repr\’esentent les r\’eels $\mu_k$ d\’efinis dans la question III.B.4) pour l’application lin\’eaire $Q$ ? 22. IV.A.1) a) Montrer que, pour tout entier $n>1$, on peut prendre $y_n$ unitaire et tel que $y_n'(0)>0$. Cette condition sera suppos\’ee remplie dans la suite de cette partie.\\b) D\’emontrer que $Q_n(y_n) = -y_n” + \Pi_n(qy_n)$. En d\’eduire que : $||Q(y_n) – \alpha_n y_n||_2 = ||qy_n – \Pi_n(qy_n)||_2$ dont on se propose de prouver la convergence vers 0 quand $n\to\infty$.\\c) Etablir la relation : $qy_n – \Pi_n(qy_n) = \sum_{m=1}^n b_m (y_n)[qs_m – \Pi_n(qs_m)]$. 23. IV.A.2) On note $(u,v)$ la base de solutions de l’\’equation $y” + (\alpha-q)y = 0$ telle que :\\ $u(0) = 1, \quad u'(0) = 0, \quad v(0) = 0, \quad v'(0) = 1$ \\ et on pose $z_n = Q(y_n) – \alpha y_n \in E$.\\a) Prouver que $\lim_{n\to\infty}||z_n||_2 = 0$.\\b) Prouver que le wronskien de $(u,v)$ vaut constamment 1.\\c) En r\’esolvant une \’equation diff\’erentielle, d\’eterminer en fonction de $u$ et $v$ une fonction $K : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, continue et telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ : \\$y_n(x) = y_n'(0)\ v(x) + \int_0^x K(x,t)\ z_n(t)\ dt$ \\d) Pour tout entier naturel $n$, on note $f_n$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ d\’efinie par :\\$\forall x\in\mathbb{R},\ f_n(x) = \int_0^x K(x,t)\ z_n(t)\ dt$. \\Prouver que la suite de fonctions $(f_n)_n$ tend uniform\’ement vers 0 sur tout segment de $\mathbb{R}$.\\e) Prouver que $\lim_{n\to\infty}\left(\int_0^{2\pi}(y_n(x) – y_n'(0)\,v(x))^2\,dx\right)^{1/2} = 0$. En d\’eduire la limite de la suite $(y_n'(0))_{n\geq 1}$.\\f) Etablir la convergence uniforme sur tout segment de $\mathbb{R}$ de la suite de fonctions $(y_n)_{n\geq 1}$ vers une fonction de norme 1 que l’on d\’eterminera en fonction de $v$. En d\’eduire que $v\in E$ et que $\alpha$ est une valeur propre de $Q$. 24. IV.B.1) Prouver que la famille $(e_k)_{k\geq 1}$ est orthonormale ; en d\’eduire que la suite $(\lambda_k)_{k\geq 1}$ est strictement croissante. 25. IV.B.2) Soit $m\in\mathbb{N}^*$ et $n\geq m$\\a) Prouver, \`a l’aide de la relation (1) convenablement adapt\’ee que, pour tout $k\in\mathbb{N}^*$ tel que $k\leq n$ et $k^2+a>m^2$ on a : $|(e_{k,n}|s_m)|\leq \dfrac{||q||_2}{k^2+a-m^2}$.\\b) Prouver, gr\^ace au pr\’eliminaire, que : $1 = ||s_m||_2^2 = \sum_{k=1}^{\infty} (e_k|s_m)^2$ puis $\lim_{n\to\infty}||s_m – \sum_{k=1}^n (e_k|s_m)e_k||_2 = 0$} 26. IV.B.3) Montrer que la famille $(e_k)_{k\geq 1}$ est totale dans $E$.\\ (On pourra calculer $(f|s_m)$ pour un vecteur $f$ orthogonal \`a tout vecteur $e_k$). 27. IV.B.4) Montrer que les valeurs propres de $Q$ sont exactement les \’el\’ements de la suite $(\lambda_k)_{k\geq 1}$.\\ (On pourra supposer l’existence d’une valeur propre $\lambda$ diff\’erente des $\lambda_k$ et calculer $(e|e_k)$ pour un vecteur propre $e$ associ\’e \`a la valeur propre $\lambda$). 28. V.A.1) Prouver que $a < \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}q(t)\,dt < b$. 29. V.A.2) On adopte ici les notations de la question III.B.4) dont on utilisera les r\'esultats.\\a) D\'emontrer l’existence d’un entier $k_1\geq k_0$ tel que, pour $k\geq k_1$ on ait $I_k\cap I_{k+1}=\varnothing$.\\b) Prouver que $\lambda_k = \mu_k$ \`a partir d’un certain rang. En d\'eduire que $\lambda_k = k^2 + \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}q(t)\,dt + o(1)$ lorsque $k\to\infty$.}FAQ
Le sujet traite de nombreux concepts majeurs du programme MP de CPGE : équations différentielles linéaires du second ordre, conditions d’existence et d’unicité (théorème de Cauchy-Lipschitz), études de parité des solutions, Wronskien, espaces propres et valeurs propres, opérateurs autoadjoints, séries de Fourier, projections orthogonales, endomorphismes symétriques, relations de récurrence sur les valeurs propres, asymptotiques, méthodes de Sturm-Liouville et calculs analytiques précis. Ces notions sont fondamentales pour la réussite à tout concours d’ingénieur de haut niveau.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz (ou Picard-Lindelöf) permet d’assurer l’existence et l’unicité des solutions d’équations différentielles sous certaines conditions. Dans ce sujet, il sert à justifier l’analyse détaillée du comportement des solutions et la compréhension de leur parité, ce qui est décisif pour étudier les espaces propres des opérateurs impliqués et pour raisonner sur l’ensemble des solutions admissibles.
Le calcul du Wronskien permet, dans ce contexte, de tester l’indépendance linéaire de deux solutions d’une équation différentielle linéaire. C’est particulièrement utile pour déterminer si deux solutions de même parité peuvent former une base de l’espace des solutions, thématique classique des écrits MP. Comprendre ce point t’aide à manipuler habilement les notions de structure de l’espace des solutions et donc à mieux répondre aux questions d’algèbre linéaire applicative.
Les séries de Fourier et les projections orthogonales apparaissent tout au long du programme et dans ce sujet pour étudier la convergence, la décomposition sur des bases orthonormées et l’analyse spectrale des opérateurs. Maîtriser ces outils te permet d’aborder plus sereinement la compréhension des espaces de Hilbert, l’approximation de fonctions et la diagonalisation des opérateurs, autant d’éléments essentiels pour le concours Centrale MP.
Le sujet exploite à fond les notions de valeurs propres et vecteurs propres à travers l’étude des endomorphismes liés aux équations différentielles, en particulier la structure des espaces propres, leur dimension, et l’asymptotique des valeurs propres. La maîtrise de ces concepts est indispensable pour comprendre la nature des solutions des opérateurs linéaires rencontrés en concours, aussi bien d’un point de vue théorique que calculatoire.
Pour briller dans ce genre d’épreuve, il faut bien maîtriser : les équations différentielles linéaires, les opérateurs symétriques et autoadjoints, le formalisme des espaces de Hilbert, la manipulation des séries de Fourier, les projections orthogonales et surtout être à l’aise avec les raisonnements rigoureux sur la structure des solutions et les propriétés analytiques et algébriques des opérateurs. Prends le temps d’entraîner ces points sur des sujets corrigés pour progresser efficacement. D’ailleurs, débloque vite les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à tous les exercices détaillés et personnaliser ta progression !
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