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Centrale Maths 1 MP 2005

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Questions du sujet

1. I.A.1) Montrer que $M$ est une forme linéaire sur $B$, que l’ensemble des fonctions moyennables est un sous-espace vectoriel de $B$, et que $M$ est une forme linéaire sur cet espace. On notera de façon équivalente $M$ ou cette moyenne.} 2. I.A.2) Vérifier que $M$ et $M_1$ sont lipchitziennes pour $\|\cdot\|_\infty$.} 3. I.B – Montrer que la moyenne $M$ est invariante par translation : si $x \in M_1$ et $\tau \in \mathbb{R}$ on pose $x_\tau(t) = x(t-\tau)$, alors $x_\tau$ est moyennable et $M x_\tau = M x$.} 4. I.C.1) Soit $x$ une fonction de $B$ de période $P$ ($P > 0$). Montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}$, $\int_a^{a+P} x(t)\,dt = \int_0^P x(t)\,dt$. En déduire que $x$ est moyennable, et que $M x$ est égale à la moyenne sur n’importe quel intervalle de longueur $P$.} 5. I.C.2) En particulier montrer que pour $\omega$ réel non nul, $M(e_\omega) = 0$ et $M(e_0) = 1$.} 6. I.C.3) Montrer que si $x(t)\to c$ lorsque $t \to +\infty$, alors $x$ est moyennable et $M x = c$.} 7. I.C.4) Soit la fonction $x_0$ définie par $x_0(t)=U(t)e^{i t \ln t + 1}$. Vérifier que $x_0 \in B$, calculer $M_T(x_0)$. Examiner le comportement de $M_T(x_0)$ lorsque $T \to +\infty$, et en déduire que $x_0$ n’est pas moyennable.} 8. I.D.1) Montrer que toute fonction $x$ qui tend vers $0$ à l’infini est aussi de moyenne quadratique nulle.} 9. I.D.2) Pour $x,y \in M_2$, donner une majoration de $|M_T(x^2) – M_T(y^2)|$ et $|M_T(xy) – M_T(y^2)|$ en fonction de $\|x\|_\infty$, $\|y\|_\infty$, $\|x-y\|_\infty$.} 10. I.D.3) Montrer, à l’aide de $x_0$ et $U$, que $M_2$ n’est pas un espace vectoriel.} 11. I.E.1) Si $E$ est un espace vectoriel inclus dans $M_2$, montrer que deux fonctions $x, y \in M_2$ sont comparables (développer $M_T((x+iy)^2)$ et $M_T((x-iy)^2)$). Il en résulte que sur $E$, $ = M(xy^*)$ est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier \[ M(x+y)^2 = Mx^2 + My^2 + 2\text{Re} \langle x, y \rangle. \] } 12. I.E.2) On dira que deux fonctions $x$, $y$, sont orthogonales si $\langle x, y \rangle = 0$. Que vaut alors $M(x+y)^2$ ?} 13. I.E.3) Écrire l’inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).} 14. I.F – Soit $P$ un réel strictement positif. Montrer que l’ensemble des fonctions $P$-périodiques de $B$ est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables.} 15. I.G – Soit $P = \left\{x : x(t) = \sum_{k=1}^N c_k e_{\omega_k}(t), N \in \mathbb{N}, c_k \in \mathbb{C}, \omega_k \in \mathbb{R}$ distincts $\right\}$ l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que $P$ est stable par produit de fonctions, et que l’application $(x,y) \mapsto \langle x, y \rangle$ définit un produit scalaire sur $P$. En particulier, pour $x = \sum_{k=1}^N c_k e_{\omega_k}$, établir que $M x^2 = \sum_{k=1}^N |c_k|^2$.} 16. I.H.1) Soit $x_n$ une suite qui converge uniformément vers $x$. Montrer l’existence de $m = \lim_{n \to \infty} M(x_n)$.} 17. I.H.2) En déduire que $x$ est moyennable et $M x = m$ (pour $\epsilon > 0$, on choisira $n$ tel que $\|x – x_n\|_\infty < \epsilon$ et $|M(x_n) - m|<\epsilon$).} 18. I.I.1) Soit $x_n$ une suite dans $M_2$ qui converge uniformément vers $x \in B$. Montrer que $K = \sup \{\|x_n\|_\infty, \|x\|_\infty, n \in \mathbb{N}\} < +\infty$.} 19. I.I.2) Montrer que $M(x_n^2)$ existe.} 20. I.I.3) En suivant la méthode du I.H.2), en déduire que $x \in M_2$ et $M x^2 = m^2$.} 21. II.A.1) Montrer que $Q$ est un espace vectoriel inclus dans $M_1 \cap M_2$, et fermé pour $\|\cdot\|_\infty$.} 22. II.A.2) Toutes les fonctions de $Q$ sont comparables, et continues.} 23. II.A.3) Si $x \in Q$, alors $x_\tau \in Q$ pour tout $\tau \in \mathbb{R}$.} 24. II.A.4) Si $c_k$ est une suite complexe telle que $\sum_{k=0}^{\infty} |c_k| < +\infty$ et $(\omega_k)_{k \geq 0}$ une suite réelle, la série de fonctions $\sum_{k=0}^{\infty} c_k e_{\omega_k}(t)$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ et appartient à $Q$.} 25. II.A.5) $Q$ est stable par produit des fonctions.} 26. II.A.6) Soit $y : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$, à valeurs réelles, et continue. Montrer que $x \circ y \in Q$ (le montrer d’abord lorsque $y$ est une fonction polynomiale à coefficients complexes).} 27. II.B - Les coefficients de Fourier-Bohr de $x \in Q$ sont définis, pour une fréquence $\omega \in \mathbb{R}$, par $c(\omega) = \langle x, e_\omega \rangle$. Si $x_n$ est une suite de polynômes trigonométriques convergeant uniformément vers $x$, la réunion des fréquences présentes dans chacun des $x_n$ est un ensemble fini ou dénombrable que l’on énumère donc selon le cas $\Omega = \{\omega_k, 0 \leq k \leq m\}$ ou $\Omega = \{\omega_k, k \in \mathbb{N}\}$. On pose $x_n = \sum_{k=0}^{n} c_{n,k} e_{\omega_k}$, $d(n) = \max\{k : c_{n,k} \neq 0\}$. Montrer que pour tout réel $\omega \in \mathbb{R}$, $\lim_{n \to \infty} \langle x_n, e_\omega \rangle = c(\omega)$. En déduire que : si $\omega \notin \Omega$, alors $c(\omega) = 0$, et pour tout $k$, $c(\omega_k) = \lim_{n \to \infty} c_{n,k}$.} 28. II.C - Si $\Omega$ est fini, montrer que $x(t) = \sum_{k=0}^{m} c_k e_{\omega_k}(t)$. En déduire la formule de Parseval : $M x^2 = \sum_{k=0}^m |c_k|^2$.} 29. II.D.1) On construit la suite $(n_j)_{j \in \mathbb{N}}$ définie par $n_0 = 0$, $n_k = \min \{ n : d(n) > d(n_{k-1}) \}$ strictement croissante vers $+\infty$ (le fait que la suite existe est admis). On pose $q_k(t) = P_{n_k}(t) – P_{n_{k-1}}(t)$. Calculer $M_x(q_k^2)$ et en déduire que $M_x(q_k^2) \geq \sum_{j=0}^{d_k} |c_j|^2$.} 30. II.D.2) Pour tout $k \geq 0$, montrer que $q_k$ est orthogonal au sous-espace vectoriel engendré par les $e_{\omega_j}$ où $0 \leq j \leq d_k$. En déduire que $M_x(q_k^2) \geq M_x(S_{d_k}^2) – M_x(S_{d_{k-1}}^2)$.} 31. II.D.3) Déduire alors de la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$ de $S_{d_k}$ vers $x$ que $M_x(S_{d_k}^2) \to M x^2$ lorsque $k \to \infty$. En conclure que $M x^2 = \sum_{k=0}^{+\infty} |c_k|^2$.} 32. III.A – Montrer qu’une fonction stationnaire appartient à $M_2$.} 33. III.B – Montrer que $\gamma_x(0) \leq \|x\|_\infty^2$, et que $\gamma_x(\tau) = \overline{\gamma_x(-\tau)}$.} 34. III.C – Si $x$ est stationnaire, montrer qu’il en est de même de $y = x e_\omega$ et que, pour tout $\tau \in \mathbb{R}$, on a $\gamma_y(\tau) = \gamma_x(\tau) e^{i \omega \tau}$.} 35. III.D.1) Si $x$ appartient à $Q$, montrer que $x$ est stationnaire. On note $\{\omega_k\}$ ses fréquences et $\{c_k\}$ coefficients de Fourier-Bohr, et le polynôme trigonométrique défini par $S_n = \sum_{k=0}^n c_k e_{\omega_k}$.} 36. III.D.2) Pour tout $\tau$, calculer $\gamma_{S_n}(\tau)$.} 37. III.D.3) Montrer que $\gamma_x$ est la somme de la série de fonctions $\sum_{k=0}^{+\infty} |c_k|^2 e^{i \omega_k \tau}$ normalement convergente sur $\mathbb{R}$ et que $\gamma_x \in Q$ (on majorera $\|\gamma_x – \gamma_{S_n}\|_\infty$ en fonction de $\|x – S_n\|_\infty$).} 38. III.E.1) Soit $x$ une fonction périodique de $B$. Montrer qu’elle est stationnaire, et que $\gamma_x$ est aussi périodique.} 39. III.E.2) On note $a_k = \int_0^1 x(t) e^{-2i\pi k t} dt$ les coefficients de Fourier complexes de $x$. Montrer que les coefficients de Fourier de $\gamma_x$ sont $|a_k|^2$.} 40. III.F.1) Soit $E(t) = [t]$ la partie entière de $t$ et $F(t) = t – E(t)$ sa partie fractionnaire. La fonction $x_1(t) = e^{-2i\pi a F(t)}$ où $a$ est un réel irrationnel, est une fonction périodique de $B$, de coefficients de Fourier complexes $a_k$. Calculer les $a_k$. Que vaut $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} |a_k|^2$ ?} 41. III.F.2) Calculer $\gamma_{x_1}(\tau)$ pour $\tau \in [0,1[$ et vérifier que $\gamma_{x_1}$ est continue sur $[0,1]$.} 42. III.F.3) En déduire que $\gamma_{x_1} \in Q$. Calculer $\gamma_{x_1}(-1)$.}

FAQ

Qu’est-ce qu’une fonction moyennable et pourquoi est-ce important au concours Centrale en filière MP ?

Une fonction moyennable est une fonction pour laquelle la moyenne sur les intervalles, à la manière de la moyenne de Cesàro, admet une limite quand la longueur de l’intervalle tend vers l’infini. Cette notion est cruciale car elle permet d’introduire le concept de moyenne généralisée en analyse, ce qui est au cœur de nombreux exercices du concours Centrale, notamment dans le cadre de l’étude des espaces fonctionnels et des séries de Fourier.

Quelle est la différence entre une fonction périodique et une fonction presque périodique ?

Une fonction périodique est strictement répétitive au bout d’un certain intervalle tandis qu’une fonction presque périodique admet une forme de répétition qui n’est pas parfaite mais qui s’en approche arbitrairement près. L’étude des fonctions presque périodiques et des séries de Fourier-Bohr est très classique dans les sujets de Centrale MP, afin de tester ta compréhension fine des comportements asymptotiques des fonctions.

À quoi sert la notion de produit scalaire généralisé dans ce sujet ?

Ici, on généralise le produit scalaire classique aux espaces de fonctions, grâce à la moyenne d’un produit xy*. Cela sert à donner du sens à la notion d’orthogonalité et à l’inégalité de Schwarz dans des espaces de fonctions moins classiques comme ceux explorés dans cet énoncé. Ce type d’outil est fondamental en concours pour structurer les raisonnements sur les espaces fonctionnels, notamment lorsque tu traites les séries de Fourier ou l’étude de la stationnarité.

Pourquoi parle-t-on de convergence uniforme et pourquoi est-ce indispensable dans ce genre d’exercice du concours Centrale MP ?

La convergence uniforme garantit que la limite d’une suite de fonctions hérite des propriétés essentielles des fonctions approchantes, ce qui est crucial pour manipuler correctement les passages à la limite sous le signe de l’intégrale ou de la moyenne. Cette rigueur est systématiquement exigée en concours, notamment pour assurer la stabilité des espaces de fonctions et la validité des opérations analytiques (moyennes, produits, etc.) dans toute la résolution.

Peux-tu expliquer le lien entre polynômes trigonométriques et séries de Fourier au regard de l’épreuve de mathématiques Centrale MP ?

Les polynômes trigonométriques servent de base à la représentation et à l’approximation de toute fonction suffisamment régulière via la série de Fourier ou la série de Fourier-Bohr. Les exercices du concours, comme celui de 2005, te demandent de maîtriser la construction, la convergence et les utilisations de ces séries, notamment en relation avec les notions de moyenne, d’orthogonalité et de décomposition spectrale.

Qu’est-ce qu’une fonction stationnaire et pourquoi cette notion revient-elle souvent aux oraux et écrits des concours d’écoles d’ingénieurs ?

Une fonction est dite stationnaire si certaines de ses caractéristiques statistiques (comme la moyenne quadratique ou l’autocorrélation) ne dépendent pas du temps. C’est un outil fondamental, en analyse et en probabilités, pour l’étude des signaux et des séries temporelles, domaines qui ont des applications concrètes en physique et en ingénierie, d’où sa popularité dans les sujets de concours.

Comment réussir à bien aborder un sujet de mathématiques Centrale MP comme celui de 2005 sur les séries et fonctions moyennables ?

Pour réussir ce type de sujet, maîtrise les définitions fondamentales (moyenne, convergence uniforme, produit scalaire généralisé, stationnarité). N’hésite pas à bien t’entraîner sur les exercices des annales, à écrire des exemples et contre-exemples de fonctions, à manier la manipulation des séries de Fourier et à vérifier scrupuleusement toutes les hypothèses d’utilisation des propriétés. Pour aller plus loin et accéder à des corrigés détaillés de cet écrit ainsi qu’à un dashbord personnalisé pour suivre ta progression, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster !