Questions du sujet
1. I.1.1 Montrer que, pour tout entier $n$, la restriction, notée $\Phi_n$ de $\Phi$ à $\mathbb{R}_n[X]$, définit un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. 2. I.1.2 Montrer brièvement que : $(P, Q) \mapsto \langle P, Q\rangle = \int_{-1}^{1} P(t)Q(t)dt$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$. Vérifier que $\langle XP, Q \rangle = \langle P, XQ\rangle$. 3. I.2.1 Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. Déterminer deux polynômes $U$ et $V$ tels que : $$ \langle \Phi(P), Q\rangle – \langle P, \Phi(Q)\rangle = \int_{-1}^{1} (A(t)U(t) + A'(t)V(t)) dt. $$ En déduire que pour tout entier $n$, l’endomorphisme $\Phi_n$ est auto-adjoint. 4. I.2.2 Écrire la matrice de $\Phi_n : \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}_n[X]$ dans la base canonique $\{1, X, \cdots, X^n\}$ et en déduire les valeurs propres de $\Phi_n$. 5. I.2.3 Montrer qu’il existe une base $(P_0, \cdots, P_n)$ de $\mathbb{R}_n[X]$ formée de vecteurs propres de $\Phi_n$ unitaires tels que $\deg P_k = k$ pour tout $k \in \{0, n\}$.} 6. I.2.4 Montrer que si $i \ne k$ alors $\langle P_i, P_k\rangle = 0$. En déduire que $P_n$ est dans l’orthogonal de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. 7. I.2.5 Expliciter les polynômes $P_0, P_1, P_2$ et $P_3$, puis déterminer leurs racines. 8. II.1 Une relation de récurrence — Soit $n \geq 2$ un entier. Justifier l’existence d’un réel $\lambda_n$ tel que : $$ P_n – X P_{n-1} + \lambda_n P_{n-1} = S_n \in \mathbb{R}_{n-2}[X]. $$ 9. II.2 Dans cette question, on suppose $n \geq 3$.\\ En calculant $\langle X P_{n-1}, P_k\rangle$, pour tout polynôme $P_k \in \mathbb{R}_k[X]$ (avec $k \leq n-3$), montrer que $$ \langle S_n, P_k\rangle = 0. $$ 10. II.3 Montrer que pour tout entier $n \geq 2$, il existe $\lambda_n \in \mathbb{R}$ et $\mu_n > 0$, tels que : $$ P_n = (X – \lambda_n)P_{n-1} – \mu_n P_{n-2}. $$ Calculer de façon directe $\lambda_2, \mu_2, \lambda_3$ et $\mu_3$.} 11. II.4 Montrer que pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$, on a : $$ \int_{-1}^1 P_k(t)dt = 0. $$ En déduire que $P_k$ admet au moins une racine d’ordre impair dans $]-1, 1[$. 12. II.5 Soient $x_1, \cdots, x_k$, les racines distinctes d’ordre impair de $P_n$ dans $]-1, 1[$ et soit $Q$ le polynôme $\prod_1^k (X – x_i)$. En considérant $Q \cdot P_n$, montrer que $P_n$ a $n$ racines simples dans $]-1, 1[$ (on pourra raisonner par l’absurde et calculer $\int_{-1}^{1} Q(t)P_n(t)\,dt$ en supposant $kFAQ
Le sujet de maths CCINP PSI 2014 tourne autour des notions d’algèbre linéaire (endomorphismes, auto-adjoint, matrices, valeurs propres), de polynômes orthogonaux, de produits scalaires définis sur des espaces de polynômes, d’études des racines, ainsi que de la théorie spectrale des matrices. Ce sont des sujets classiques et fondamentaux qui peuvent tomber à tout moment aux concours, donc bien les maîtriser, c’est vraiment maximiser tes chances de réussite.
Le produit scalaire, ici défini par une intégrale sur un intervalle, permet de construire des bases orthogonales parmi les polynômes comme les familles de Legendre ou de Tchebychev. Cela facilite la diagonalisation des endomorphismes et l’étude des valeurs propres. Cette propriété d’orthogonalité est aussi essentielle pour résoudre de nombreux problèmes de calcul, que ce soit en analyse ou en probabilités.
Un endomorphisme auto-adjoint est une application linéaire égale à son adjoint, c’est un objet central dès que tu travailles sur des espaces munis d’un produit scalaire. En pratique, étudier ces endomorphismes permet de garantir l’existence de bases orthogonales de vecteurs propres, ce qui sera bien utile pour diagonalisier et résoudre des problèmes d’équations différentielles ou de physique. C’est pour ça que c’est une notion incontournable en CPGE : elle connecte l’abstrait au calcul concret !
Les relations de récurrence sont un outil puissant pour définir et étudier les familles de polynômes orthogonaux. Elles permettent notamment de générer toute la famille à partir des premiers termes, et de retrouver simplement leur structure. Pour le concours, bien maîtriser ces récurrences c’est s’assurer de pouvoir construire les preuves et les calculs demandés, notamment lors de l’étude de matrices ou d’opérateurs sur les systèmes de polynômes.
Pour t’assurer que les racines sont réelles et distinctes, il faut souvent exploiter à la fois les propriétés d’orthogonalité et de récurrence des polynômes, mais aussi des outils d’analyse comme le théorème des valeurs intermédiaires ou l’étude du signe des dérivées. Parfois, le lien avec les matrices auto-adjointes te donne également une preuve élégante via la théorie spectrale. Tous ces outils font partie de la panoplie du khôlleur et de l’examinateur en CCINP !
Il y a un lien direct : les matrices tri-diagonales représentent les actions des endomorphismes sur les bases de polynômes orthogonaux, et leurs polynômes caractéristiques sont justement les polynômes étudiés dans le sujet. Cela permet de relier la théorie matricielle (valeurs propres, vecteurs propres, interlacement des racines) à une base concrète de polynômes, ce qui explique pourquoi ces questions reviennent toujours au concours.
Maîtrise bien les définitions, mais surtout entraîne-toi à construire explicitement les bases orthogonales ou propres à partir des familles de polynômes. Reprends les récurrences, vérifie leurs propriétés (orthogonalité, normée) et entraîne-toi à compléter des matrices et à calculer leurs valeurs propres. Les annales CCINP regorgent d’exemples de ce type, donc n’hésite pas à en travailler plusieurs. Et si tu veux des corrigés détaillés avec des astuces, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster : c’est un gain de temps considérable !