Questions du sujet
1. I.1.1. On suppose que $S = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice $S$. Pour $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$ dans $\mathbb{R}^2$, calculer le produit scalaire $\langle s(x), x \rangle$. Montrer que l’ensemble $T$ est une ellipse dont on donnera une équation réduite. Tracer cette ellipse dans le plan euclidien muni du repère $\mathcal{R}$. 2. I.1.2. On suppose que $S = \begin{pmatrix}2 & 22 \\ 22 & 4\end{pmatrix}$. Déterminer les valeurs propres de $S$. Déterminer l’ensemble $T$ et tracer cet ensemble dans le plan euclidien muni du repère $\mathcal{R}$. 3. I.2.1. On suppose $M_1 \geq 0$. Pour $x = \sum_{i=1}^n a_i F_i \in \mathbb{R}^n$, calculer $\langle s(x), x \rangle$. Montrer que l’ensemble $\mathcal{E}$ n’est pas vide. Montrer que $\mathcal{E}$ est une partie bornée de $\mathbb{R}^n$. Montrer que l’application $x \mapsto \langle s(x), x \rangle$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ est continue. En déduire que $\mathcal{E}$ est une partie compacte de $\mathbb{R}^n$. 4. I.2.2.1. Montrer que l’inégalité $M_n \leq 0$ est impossible. 5. I.2.2.2. On suppose $M_1 < 0$ et $M_n > 0$ et, pour tout $r \in \mathbb{R}$, on considère le vecteur $x_r = r F_1 + \frac{1}{M_n}(1 – r^2 M_1) F_n$. Montrer que $x_r \in \mathcal{E}$. Calculer $\|x_r\|^2$ et déterminer sa limite lorsque $r$ tend vers $+\infty$. En déduire une contradiction avec l’hypothèse $\mathcal{E}$ compacte.} 6. II.1.1. On suppose que $S \in \mathcal{S}_n^+$. Montrer que pour tout $i \in \{1,\dots,n\}$, on a $M_i \geq 0$. 7. II.1.2. On suppose que pour tout $i \in \{1,\dots,n\}$, on a $M_i \geq 0$. Montrer que $S \in \mathcal{S}_n^+$. 8. II.1.3. On suppose que $S \in \mathcal{S}_n^{++}$ et donc que pour tout $i \in \{1,\dots,n\}$, $M_i > 0$. Montrer que $S$ est inversible et que son inverse $S^{-1} \in \mathcal{S}_n^{++}$. 9. II.2.1. Soient $D = \mathrm{diag}(M_1, \ldots, M_n)$ et $N \in \mathcal{S}_n^+$ vérifiant $N^2 = D$. On note $(C_1,\ldots,C_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ où $C_i$ est la matrice colonne dont le coefficient de la ligne $i$ est égal à 1 et les autres nuls. Soient $Y = \sum_{i=1}^n y_i C_i$ et $N = (n_{ij})$ avec $N \geq 0$ tels que $NY = Y N$. Montrer que pour tout $i \in \{1,\ldots,n\}$, on a $n_{ii}^2 = M_i y_i^2$ puis $n_{ii} = \sqrt{M_i} y_i$. En déduire que $N = \Delta$. 10. II.2.2. Soit $U \in O(n)$ telle que $S = U D U^T$. Déterminer une matrice $T \in \mathcal{S}_n^+$ telle que $T^2 = S$. Montrer que $T$ est unique. On notera $T = S^{1/2}$ l’unique matrice $T$ de $\mathcal{S}_n^+$ telle que $T^2 = S$.} 11. II.3.1. Pour $i \in \{1, \ldots, n\}$, calculer $L_k(S) X_i$ en distinguant les cas $N_k = M_i$ et $N_k \neq M_i$ (on rappelle que les $X_i$ définis au début de la partie II appartiennent à une base orthonormale de vecteurs propres de $S$, avec $SX_i = M_i X_i$). 12. II.3.2. Soit $P$ le polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$, à coefficients réels, tel que : pour tout $k \in \{1,\ldots,p\}$, $P(N_k) = \sqrt{N_k}$. Exprimer $P$ comme une combinaison linéaire des polynômes $L_k$. Calculer $P(S)X_i$ et en déduire que $P(S) \in \mathcal{S}_n^+$. Montrer que $P(S) = S^{1/2}$. 13. II.3.3. En application des questions précédentes, on prend $S = \begin{pmatrix}7 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$. Montrer que $S \in \mathcal{S}_3^+$. Exprimer $S$ comme une combinaison linéaire des matrices $S^{1/2}$ et $I_3 = \mathrm{diag}(1,1,1)$. 14. III.1.1. On considère la matrice $E = \mathrm{diag}(B_1, \ldots, B_n)$ avec : pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $B_i \geq 0$. Soit $V = (v_{ij}) \in O(n)$. Montrer que $\mathrm{tr}(E) \leq \mathrm{tr}(V^T E V)$. 15. III.1.2. En déduire que pour tout $U \in O(n)$, on a : $\mathrm{tr}(S) \leq \mathrm{tr}(U^T S U)$.} 16. III.2.1. Un lemme technique. Soient $a, b, R$ des réels. Montrer qu’il existe un réel $K$ indépendant de $R$, tel que $a^2 + b^2 + a b \cos(R) \sin(R) \leq K$. En déduire que l’inégalité « pour tout $R \in \mathbb{R}$, $ab \cos(R) \sin(R) \leq b^2$ » entraîne $a \leq 0$. 17. III.2.2. On considère l’espace euclidien $\mathbb{R}^n$ rapporté à la base orthonormale $(e_1, \ldots, e_n)$. Pour $p$ et $q$ entiers tels que $1 \leq pFAQ
Dans ce sujet, tu travailles principalement sur les matrices symétriques, l’étude des valeurs propres et sous-espaces propres, la diagonalisation, ainsi que la notion de matrices définies positives ou semi-définies. L’étude d’ellipses dans des espaces euclidiens et l’application des produits scalaires, des polynômes caractéristiques ou encore des endomorphismes auto-adjoints sont également au cœur des exercices proposés.
Pour montrer qu’une matrice réelle symétrique est définie positive, il faut que toutes ses valeurs propres soient strictement positives. Cela garantit que le produit scalaire ⟨Sx, x⟩ est strictement positif pour tout vecteur x non nul. Une autre façon consiste à vérifier que les mineurs principaux sont tous strictement positifs.
Les valeurs propres d’une matrice symétrique permettent de comprendre la structure de l’endomorphisme associé, notamment par la diagonalisation. Elles permettent aussi de caractériser la nature de la matrice (définie positive, semi-définie, etc.), de simplifier les calculs de puissances de matrices ou encore d’étudier la géométrie des quadriques comme les ellipses. Lors des concours comme le CCINP, maîtriser la manipulation des valeurs propres te donne une longueur d’avance dans de nombreux exercices.
Dans un contexte de matrices symétriques définies positives, la racine carrée d’une matrice – notée S^{1/2} – permet d’effectuer des changements de variables élégants, d’écrire certaines inégalités matricielles et d’étudier la géométrie des quadriques. Elle est aussi centrale dans les méthodes d’analyse spectrale, utilisées pour simplifier l’étude d’endomorphismes ou pour faciliter des preuves d’inégalités (en connectant produit scalaire, matrice et géométrie).
Devant ce genre de question classique en épreuve de concours, commence toujours par prouver que l’ensemble est non vide (en trouvant au moins un vecteur qui satisfait la condition). Pour la bornitude, exploite le lien entre le produit scalaire impliquant une matrice définie positive et la norme euclidienne : souvent, une inégalité te permet d’encadrer ta norme. Pour la compacité, pense à montrer que l’ensemble est fermé et borné, puis à appliquer le théorème de Heine-Borel !
Une matrice orthogonale correspond à un changement de repère qui conserve les longueurs et les angles, c’est-à-dire à une isométrie dans l’espace euclidien. Lorsqu’on diagonalise une matrice symétrique, on utilise une matrice orthogonale pour passer dans la base des vecteurs propres, ce qui simplifie les formes quadratiques et les calculs. En concours, réussir à identifier ou manipuler ces matrices, c’est gagner en rapidité et en clarté dans la rédaction !
Ces thèmes mettent en avant une maîtrise globale de l’algèbre linéaire et des techniques de preuve sophistiquées. Les inégalités matricielles (par exemple enjeux sur la domination entre matrices, compacité de certains ensembles) comme les polynômes minimaux servent à démontrer la compréhension des liens entre spectre, structure et propriétés géométriques des espaces vectoriels. C’est un incontournable pour bien performer à l’écrit. Pour approfondir ces stratégies, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster, tu y trouveras aussi bien les corrections détaillées que des exercices pour te perfectionner.
Je te recommande de t’entrainer sur des sujets variés, en particulier ceux du CCINP et des autres banques d’épreuves pour la filière PSI. Apprends à manipuler les changements de base, à calculer et interpréter les valeurs propres, à raisonner sur les formes quadratiques et à t’entraîner sur les preuves d’inégalités. N’hésite pas à utiliser les corrigés de Prépa Booster pour t’auto-corriger, comparer les méthodes, et accéder à un dashboard qui te permettra de cibler tes points faibles.