Questions du sujet
1. I.1.1. Déterminer $x_2$. Pour tout $p$ dans $\mathbb{N}^\ast$ expliciter $x_p$ en fonction de $p$ et de $\theta$. 2. I.1.2. Soit $n$ dans $\mathbb{N}^\ast$, à quelle condition sur $\theta$ a-t-on $x_{n+1} = 0$ ? 3. I.2.1. Calculer $d_1(t)$, $d_2(t)$, $d_3(t)$, $d_4(t)$. 4. I.2.2. Pour $n \geq 3$, établir une relation entre $d_n(t)$, $d_{n-1}(t)$ et $d_{n-2}(t)$. En déduire que $d_n$ est un polynôme en $t$, déterminer son degré ainsi que le coefficient du terme de plus haut degré. 5. I.3.1. Montrer que $d_n(\cos(\theta)) = \dfrac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}$.} 6. I.3.2. Déterminer les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $d_n(\cos(\theta)) = 0$. 7. I.4.1. Exprimer $\chi_n(\lambda)$ en fonction de $d_n$ et de $\lambda$. 8. I.4.2. Déduire de I.3.2. que la matrice $A_n(0)$ possède $n$ valeurs propres distinctes et donner ces valeurs propres. Montrer que la plus grande valeur propre est $\rho = 2\cos \left(\frac{\pi}{n+1}\right)$. 9. I.4.3. En utilisant I.1.2, déterminer un vecteur propre de la matrice $A_n(0)$ associé à la valeur propre $\rho = 2\cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$, dont toutes les composantes sont strictement positives. 10. II.1.1. Soit $\varphi$ un automorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^n$. Calculer $\|\!\|\!\|\varphi\|\!\|\!\|$.} 11. II.1.2. Soit $\delta$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ représenté dans la base $\mathcal{B}$ par la matrice diagonale $\operatorname{diag}(\alpha_1, …, \alpha_n)$, dont les coefficients de la diagonale sont les $\alpha_i$. Montrer que $\|\!\|\!\|\delta\|\!\|\!\| = \max_{i\in\{1,…,n\}} |\alpha_i|$. 12. II.1.3. En déduire que lorsque $f$ est un endomorphisme autoadjoint de $\mathbb{R}^n$ on a $\|\!\|\!\| f \|\!\|\!\| = \max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(f)} |\lambda|$. 13. II.2.1. Montrer que $\Phi$ est une application continue de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$. En déduire que la restriction de l’application $\Phi$ à l’ensemble $S$ admet un maximum. 14. II.2.2. Soit $u$ un vecteur de $S$ orthogonal à $v$ et soit $t$ un réel. Déterminer un scalaire $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $w = \frac{v + tu}{\alpha}$ appartienne à $S$. \newline En comparant $\Phi(v)$ et $\Phi(w)$, montrer que $(l(v)|u) = 0$.\newline En déduire que le vecteur $v$ est un vecteur propre de $l$. 15. II.2.3. Soit $\lambda$ une valeur propre quelconque de $l$ et soit $x$ un vecteur de $S$ qui est un vecteur propre de $l$ pour la valeur propre $\lambda$.\newline Comparer $\Phi(x)$ et $\lambda$.\newline Déduire des résultats précédents que $\lambda\leq\rho$.} 16. II.3.1. Soit $x = \sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$. Exprimer $\Phi(x)$ en fonction des scalaires $a_{i,j}$ et $x_i$. En déduire l’inégalité $|\Phi(x)|\leq \Phi(x^+)$. 17. II.3.2. Soit $x = \sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ un vecteur de $S$ tel que $\rho = \Phi(x)$. Montrer que $\rho = \Phi(x^+)$. En déduire que $\rho\geq 0$. 18. II.4. Soit $\lambda$ une valeur propre quelconque de $l$ et soit $x$ un vecteur de $S$ tel que $l(x) = \lambda x$. Montrer que $|\lambda|\leq\rho$. 19. II.5. Soit $x$ un vecteur de $S$ tel que $l(x) = \rho x$. Montrer que $l(x^+) = \rho x^+$, puis montrer que $x^+ > 0$ (pour montrer que $x^+ > 0$, on pourra raisonner par l’absurde et se souvenir que la matrice $A$ de l’endomorphisme $l$ vérifie la condition (2)). 20. II.6. Soient $x = \sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$ et $y = \sum\limits_{i=1}^n y_i e_i$, deux vecteurs non nuls tels que $l(x) = \rho x$ et $l(y) = \rho y$. \newline Justifier que $y \neq 0$. En considérant le vecteur $z = x – \frac{x_1}{y_1} y$, montrer que le sous-espace $D$ est associé à la valeur propre $\rho$ et est de dimension $1$.} 21. II.7. Soit $x$ un vecteur propre de $l$ associé à une valeur propre $\lambda$. On suppose $x > 0$. Montrer que $\lambda \geq 0$. Montrer que $\lambda = \rho$. 22. II.8. On suppose $n\geq 3$. Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice telle que : \begin{itemize} \item[(1)] $a_{1,n} = a_{n,1} = 1$ ; \item[(2)] pour tout $(i,j)\in [\![1,n]\!] \times [\![1,n]\!]$ tel que $|i – j| = 1$ , $a_{i,j} = 1$ ; \item[(3)] dans tous les autres cas $a_{i,j} = 0$. \end{itemize} Déduire des questions précédentes la plus grande valeur propre de la matrice $A$.}FAQ
Pour bien aborder ce sujet, il est essentiel de maîtriser les suites récurrentes, les polynômes de Chebyshev, la diagonalisation des matrices, les valeurs propres et vecteurs propres, ainsi que les endomorphismes autoadjoints. Les propriétés des normes d’opérateurs et quelques bases sur les matrices tridiagonales (ou de Toeplitz) peuvent aussi faire la différence.
Le polynôme caractéristique d’une matrice est un outil fondamental pour déterminer ses valeurs propres. Dans ce sujet, il est essentiel car il permet de relier algèbre linéaire, récurrence et trigonométrie pour étudier le spectre des matrices tridiagonales symétriques rencontrées en physique ou en mécanique. Savoir le calculer, l’interpréter et en déduire les valeurs propres est incontournable pour briller à l’écrit !
Les valeurs propres et vecteurs propres, ce sont un peu les super-héros de l’algèbre linéaire ! Ils interviennent dès qu’on manipule des matrices, en physique, mécanique, ou sur des problèmes de stabilité. Savoir déterminer un spectre et construire des bases de vecteurs propres t’ouvre la porte à la résolution de nombreux systèmes linéaires, à la compréhension des phénomènes vibratoires, et à l’optimisation d’endomorphismes. Les sujets aiment explorer toutes ces facettes, alors il faut être à l’aise avec ces notions.
Dans ce sujet, les polynômes de Chebyshev apparaissent naturellement à travers la récurrence liée à la forme tridiagonale des matrices. Leur propriété de transformer des problèmes trigonométriques complexes en équations algébriques est précieuse. Au-delà du concours, ils sont utilisés en approximation, en calcul numérique, en physique quantique : c’est donc un grand classique que tu retrouveras aussi bien en sciences fondamentales qu’en applications concrètes. Si tu veux t’entraîner sur ce genre de notions et progresser, débloquer les corrigés sur Prépa Booster t’offrira un accès à des explications détaillées et un dashboard pour suivre tes progrès !
La norme d’un endomorphisme, c’est un moyen d’évaluer à quel point une application linéaire (ou une matrice) peut « allonger » un vecteur, en quelque sorte. Quand l’endomorphisme est autoadjoint (ou la matrice symétrique), cette norme est liée à la valeur absolue de la plus grande valeur propre, ce qui simplifie pas mal de calculs ! Ce lien fort entre norme, valeurs propres et géométrie intervient régulièrement dans les problèmes de maximisation et d’optimisation en CPGE.
Optimiser sur la sphère unité (par exemple maximiser une forme quadratique sur les vecteurs normés) permet de relier géométrie et algèbre linéaire. Cela donne accès à des propriétés spectrales des matrices, te permettant de cerner la plus grande valeur propre par des arguments d’optimisation. C’est un grand classique des sujets à fort contenu structurel, comme celui de CCINP 2009.
Travaille les cas simples d’abord (petites tailles), puis généralise. Prends l’habitude d’écrire la récurrence, d’identifier les polynômes associés et d’utiliser la trigonométrie. Entraîne-toi à démontrer que les valeurs propres sont réelles, distinctes, et essaie d’anticiper leur répartition. Pour suivre ta progression, le dashboard Prépa Booster te permet de repérer tes points forts et axes d’amélioration, grâce à des corrigés d’épreuves récents et d’exercices type concours.
Quand tu as affaire à un endomorphisme orthogonal, pense d’abord à la conservation de la norme (isométrie), et à la structure très particulière des matrices associées (orthogonales ou unitaires selon le contexte). Ça te permet de calculer rapidement la norme d’opérateur et de lier la géométrie aux propriétés algébriques de la matrice. Attention aussi à la diagonalisation : toutes les matrices orthogonales ne sont pas diagonalisables sur R, mais là encore, tout ce que tu peux gagner en structure t’aide à aller plus vite le jour du concours !