Questions du sujet
1. I.1.1. Montrer que $\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ tout entier. 2. I.1.2. Montrer que, pour tout $a > 0$, $\sum u_n$ converge normalement sur $[-a,a]$.\\ La série $\sum u_n$ converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ? 3. I.1.3. Montrer que $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. 4. I.2.1. Soit $n \in \mathbb{N}$. Déterminer la primitive qui s’annule en $0$ de la fonction $u_n$. 5. I.2.2. Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définie par~:\\ pour tout $n \in \mathbb{N}$, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \\ \[ v_n(x) = \int_0^x u_n(t)\,dt. \] Montrer que $\sum v_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.} 6. I.2.3. On note $V(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} v_n(x)$ la somme de la série de fonctions $\sum v_n$.\\ Montrer que $V$ est la primitive qui s’annule en $0$ de la fonction $S$. 7. I.3. On considère la suite $(P_N)_{N \in \mathbb{N}}$ de fonctions polynômes sur $\mathbb{R}$ définie par~:\\ pour tout $x \in \mathbb{R}$, $P_0(x) = x$ ;\\ pour tout $N \geq 1$ et pour tout $x \in \mathbb{R}$,\\ \[ P_N(x) = x \prod_{k=1}^N \left(1 + \frac{x^2}{k^2 \pi^2}\right). \] Montrer que la suite $(P_N)_{N \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$, lorsque $N$ tend vers $+\infty$, vers une fonction $P$ que l’on exprimera à l’aide de $V$ puis de $S$.\\ Pour tout $x \in \mathbb{R}$, la limite donnant $P(x)$ sera alors notée : \[ P(x) = \lim_{N \to +\infty} x \prod_{k=1}^N \left(1+\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right). \] 8. II.1.1. Préciser pourquoi $f_x$ est égale en tout point $t \in \mathbb{R}$ à la somme de sa série de Fourier : \[ \frac{a_0(x)}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n(x) \cos nt + b_n(x) \sin nt \right). \] 9. II.1.2. Pour tout $n \geq 1$ et tout $x \in \mathbb{R}$, calculer $a_n(x)$. 10. II.1.3. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$, calculer $b_n(x)$. On distinguera les cas $x = 0$ et $x \neq 0$.} 11. II.2.1. En donnant à $t$ une valeur particulière dans la série de Fourier de $f_x$, montrer que, pour tout $x \neq 0$, \[ S(x) = \frac{\sinh x}{x}. \] 12. II.2.2. À partir de \[ V(x) = \int_0^x S(t) \, dt \] et du résultat de II.2.1, donner à l’aide des fonctions usuelles une expression de la fonction $V$ définie à la question I.2.3. 13. II.2.3. En déduire que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : \[ x\,\frac{\sinh x}{x} = \lim_{N\to+\infty} x\prod_{k=1}^{N}\left(1+\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right). \] 14. III.1.1. Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que la fonction $y \mapsto F(x, y)$ admet, quand $y$ tend vers $0$ par valeurs positives, une limite finie que l’on déterminera. 15. III.1.2. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction $y \mapsto F(x, y)$ est intégrable sur $]0,+\infty[$.} 16. III.2.1. Montrer que $F$ possède des dérivées partielles par rapport à $x$ en tout point de $\mathbb{R} \times\ ]0,+\infty[$ et à tout ordre. Calculer, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R} \times ]0,+\infty[$ et tout $n \geq 0$, $\frac{\partial^n F}{\partial x^n}(x, y)$. On distinguera les cas $n$ pair et $n$ impair. 17. III.2.2. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}$, la fonction $y \mapsto \frac{\partial^n F}{\partial x^n}(x, y)$ est continue et intégrable sur $]0,+\infty[$. 18. III.3. Soit $\Phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \Phi(x) = \int_0^{+\infty} F(x, y)\,dy \] pour tout $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $\Phi$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{N}$, \[ \Phi^{(n)}(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial^n F}{\partial x^n}(x, y)\,dy \] et \[ \Phi^{(n+2)}(x) + \Phi(x) = – \int_0^{+\infty} y^2 \frac{\partial^n F}{\partial x^n}(x, y)\,dy. \] 19. III.4.1. Montrer que, pour tout $y > 0$, on a : \[ F(x, y) = \sum_{n=0}^{+\infty} [f_n(x) – e^{-ny}] – \frac{1}{y}. \] 20. III.4.2. Montrer que, pour tout $n \geq 0$ et tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction $y \mapsto (f_n(x) – e^{-ny} – \frac{1}{y})$ est intégrable sur $[0,+\infty[$, et exprimer \[ \int_0^{+\infty} (f_n(x) – e^{-ny} – \frac{1}{y})\,dy \] à l’aide de $a_n(x)$.} 21. III.4.3. Pour tout $n \geq 0$, pour tout $x \in \mathbb{R}$, pour tout $y \in [0, +\infty[$, on pose : \[ S(x, y) = \sum_{k=1}^{n} F(x, ky), \] Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $y \in ]0, +\infty[$, \[ F(x, y) = F(x, y) – y\sum_{k=1}^{n} e^{-k\pi y} + G(y), \] Puis, montrer que : \[ \lim_{y \rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} F(x, y)\,dy = \Phi(x) \] pour tout $x \in \mathbb{R}$.\\ En déduire une expression simple de la fonction $\Phi$ à l’aide de la fonction $S$.}FAQ
En maths, tu rencontres souvent différents types de convergence. La convergence simple d’une série de fonctions signifie que, pour chaque réel fixé, la série de fonctions converge simplement comme une suite de réels. La convergence normale, c’est un cran au-dessus : on demande que la série des normes (ici, des majorantes sur un compact) converge, ce qui assure la convergence uniforme sur cet ensemble. C’est crucial en analyse, ça garantit par exemple la continuité de la somme si les termes sont continus ! Dans ce sujet CCINP PC 2011, ces notions sont à maîtriser sur des intervalles variés.
Les séries entières et les séries de Fourier reviennent souvent dans les sujets du CCINP car elles mettent en jeu des outils transversaux : convergence des séries de fonctions, propriétés de régularité, calcul de primitives et liens avec l’intégration terme à terme, mais aussi méthodes de calcul classiques en physique (solution d’équations différentielles, analyse de signaux…). Travailler sur ces questions permet de consolider ta maîtrise de l’analyse, ce qui est fondamental pour la réussite à l’écrit du concours. N’hésite pas à débloquer les corrigés pour t’entraîner sur des exercices de ce type et progresser plus vite !
La manipulation des séries de fonctions et de leurs primitives est centrale en analyse et ouvre la porte à de nombreuses applications : on peut obtenir des représentations intégrales d’une fonction définie par série, échanger sommation et intégration (dans les conditions de régularité), et même relier des séries à des fonctions usuelles via des arguments d’unicité d’extension analytique. Ces méthodes sont incontournables en CPGE scientifique pour aborder les questions d’intégration, de transformation de séries, et d’approche de problèmes physiques ou d’équations différentielles.
Les séries de Fourier sont des outils puissants, autant en analyse pure qu’en physique. Elles permettent de représenter une grande famille de fonctions périodiques, de résoudre des équations aux dérivées partielles, voire d’interpréter des phénomènes physiques comme la décomposition spectrale d’un signal. En concours, tu dois savoir calculer les coefficients (intégrales classiques), comprendre la convergence (ponctuelle, uniforme, en norme), et utiliser les propriétés d’orthogonalité. Pour progresser efficacement, explore les corrigés d’épreuves typiques sur Prépa Booster afin de repérer les raisonnements clefs que les correcteurs attendent.
L’intégration terme à terme et la différentiation sous le signe somme sont deux techniques qui simplifient grandement l’étude des séries de fonctions, mais elles demandent rigueur : il faut vérifier les conditions (convergence normale ou uniforme selon le contexte, continuité ou dérivabilité des termes). Dans le sujet CCINP PC 2011, tu retrouves ces méthodes à plusieurs étapes, que ce soit pour établir la régularité d’une somme ou pour justifier un passage limite-intégrale. Bien manier ces outils, c’est indispensable pour gagner du temps et des points !
Exprimer une fonction à l’aide d’un produit infini fait intervenir l’analyse complexe et l’étude des zéros d’une fonction. Cela sert à relier une série, un produit et une fonction connue (ici, le sinus hyperbolique ou d’autres fonctions spéciales). Ces réécritures sont utilisées en mathématiques pour démontrer des propriétés profondes, fournir des représentations analytiques ou établir des identités remarquables. Maîtriser cette technique est un vrai atout pour sortir du lot le jour du concours.
Parmi les pièges fréquents : oublier les hypothèses de convergence (simple, uniforme, normale), négliger les conditions nécessaires pour intervertir limite et somme/integrale, ou encore mal justifier la régularité (continuité, dérivabilité). Autre point crucial : la rédaction ! Il faut préciser les ensembles sur lesquels on travaille et adapter la rigueur selon la question. En t’exerçant sur les corrigés proposés, tu apprendras à repérer ces subtilités pour optimiser ton score à l’écrit.