Questions du sujet
1. I.1. Montrer que cette s\’erie de fonctions converge simplement sur D.} 2. I.2.1. Soit p \in \IN^* donn\’e. Pour tout n \in \IN^*, soit u_n^{(p)} la d\’eriv\’ee de u_n \`a l’ordre p.~Calculer $u_n^{(p)}(x)$ pour tout $x \in \IR, x \neq -n$.} 3. I.2.2. Soient a et b deux nombres r\’eels tels que $-1 < a < b.$~Montrer que la s\'erie de fonctions de terme g\'en\'eral $u^{(p)}_n$ converge normalement sur $[a, b]$.} 4. I.2.3. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que U est de classe $C^{\infty}$ sur $]-1, +\infty[$.} 5. I.3.1. Soit $N \in \IN^*$ donn\'e. Pour tout $x \in D$, exprimer $U(x)$ \`a l'aide de $U_N(x)$ et $U(x+N)$.} 6. I.3.2. En d\'eduire que U est de classe $C^{\infty}$ sur $]-N-1, -N[$, puis sur $D$.} 7. I.3.3. Soit $p \in \IN$ donn\'e, $p \geq 2$.~Pour tout $x \in D$, \'etablir une expression de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n + x)^p}$ \`a l'aide de $p$ et de $U^{(p-2)}(x)$.} 8. I.4. Soit $N \in \IN^*$ donn\'e. Donner un \'equivalent de $U(x)$ lorsque $x \to -N$.} 9. I.5.1. Montrer que U est strictement d\'ecroissante sur $]-1, +\infty[$.} 10. I.5.2. Montrer que pour tout $x > 0$ on a $\int_{x+1}^{+\infty} \frac{dt}{t^2} \leq U(x) \leq \int_x^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$. En d\’eduire un \’equivalent de $U(x)$ lorsque $x \rightarrow +\infty$.} 11. I.6. Montrer que pour tout $x \in D$ on a $U(x) = \frac{1}{4} \left( U \left( \frac{x}{2} \right) + U \left( \frac{x-1}{2} \right) \right)$.} 12. II.1.1. D\’eterminer $\lim_{t \to 0} f_p(t)$ selon les valeurs de $p$.} 13. II.1.2. D\’eterminer un \’equivalent de $f_p(t)$ lorsque $t \to +\infty$.} 14. II.2.1. Montrer que le domaine de d\’efinition de $\varphi$ est $]-1, +\infty[$.} 15. II.2.2. Soient $p \in \IN$ et $a \in ]-1,+\infty[$ donn\’es. V\’erifier que pour tout $x \geq a$ et tout $t \geq 0$ on a $0 \leq f_p(t) e^{-xt} \leq f_p(t) e^{-at}$. Montrer que la fonction $t \mapsto f_p(t) e^{-at}$ est int\’egrable sur $[0,+\infty[$.} 16. II.2.3. D\’eduire de ce qui pr\’ec\`ede que $\varphi$ est de classe $C^\infty$ sur $]-1, +\infty[$.} 17. II.2.4. D\’eterminer $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x)$.} 18. II.3.1. Montrer que $\varphi(x) – \varphi(x+1) = \frac{1}{(x+1)^2}$ pour tout $x > -1$.} 19. II.3.2. En d\’eduire que $\varphi(x) = U(x)$ pour tout $x>-1$.} 20. II.3.3. Soit $p \in \IN$ donn\’e, $p \geq 2$. Pour tout $x > -1$, exprimer $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+x)^p}$ \`a l’aide de $p$ et de $\int_0^{+\infty} \frac{t^{p-1} e^{-xt}}{e^t – 1} dt$.} 21. III.1. Pr\’eciser pourquoi $g$ est \’egale en tout point de $\IR$ \`a la somme de sa s\’erie de Fourier.} 22. III.2.1. Calculer $b_n(g)$ pour tout $n \in \IN^*$.} 23. III.2.2. Calculer $a_n(g)$ pour tout $n \in \IN$.} 24. III.3.1. Calculer $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}$.} 25. III.3.2. En d\’eduire la valeur de $U\left(-\frac{1}{2}\right)$, puis celle de $U(0)$.} 26. III.4. Calculer $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k-1)^4}$. En d\’eduire la valeur de la somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$.} 27. III.5.1. On note $G$ la primitive de $g$ telle que $G(0)=0$. Montrer que $G$ est impaire, p\’eriodique de p\’eriode $2\pi$.} 28. III.5.2. Calculer les coefficients de Fourier de $G$. Pr\’eciser pourquoi $G$ est \’egale en tout point de $\IR$ \`a la somme de sa s\’erie de Fourier.} 29. III.5.3. Calculer les sommes $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k-1)^6}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^6}$.}FAQ
Le sujet couvre principalement les séries de fonctions et leur mode de convergence (simple, uniforme, normale), les fonctions de classe C∞, le lien entre séries et intégrales (formules sommatoires, équivalents, manipulations de séries), les applications de la transformée de Fourier (calculs de coefficients, développement de fonctions périodiques), et des liens avec les fonctions spéciales. Il s’agit d’exercices fondamentaux pour la maîtrise de l’analyse en prépa PC.
La convergence simple signifie que, pour chaque x fixé, la série de fonctions converge simplement. La convergence uniforme implique que la vitesse de convergence ne dépend pas de x, ce qui autorise le passage à la limite dans certaines opérations (comme la dérivation et l’intégration terme à terme). La convergence normale (plus forte) garantit la convergence de la série des normes, ce qui assure notamment la convergence uniforme sur les compacts. Ces notions sont incontournables pour manipuler rigoureusement les séries de fonctions rencontrées en CPGE scientifique.
Savoir si une fonction définie par une série est de classe C∞ sur un intervalle, c’est s’assurer que l’on peut la dériver à volonté, ce qui est essentiel pour utiliser les propriétés d’analyse classique (Taylor, développement limité, équations différentielles…). Cela permet aussi d’évaluer ou de majorer les dérivées des termes de la série afin d’établir leur convergence normale. En CPGE, ces questions sont récurrentes aussi bien pour les séries de fonctions que les séries numériques à paramètres.
La série de Fourier permet de représenter une fonction périodique à l’aide de fonctions sinus et cosinus. Cela sert, dans le sujet, à exprimer explicitement les sommes de séries d’inverses de puissances, mais aussi à illustrer l’universalité de l’outil en physique et en maths pures. Pour le concours, savoir calculer les coefficients de Fourier, exploiter la parité, la périodicité, et faire le lien entre une fonction et sa série sont des compétences-clefs.
Maîtriser l’équivalent d’une série ou d’une fonction pour x tendant vers une valeur particulière (par exemple, x→-N ou x→+∞) est indispensable pour l’analyse fine des comportements asymptotiques. Les équivalents donnent accès à la compréhension de la domination d’une partie de la série, facilitent l’estimation des restes et servent à calculer des intégrales approchées, très utiles aussi bien en mathématiques qu’en physique.
Déterminer une expression intégrale d’une série permet, via les intégrales de Riemann ou la formule d’Euler-Maclaurin, de retrouver des équivalents ou de passer d’une forme discrète à une forme continue. L’intégration par parties est ici utile pour mettre en évidence l’ordre de décroissance des termes ou transformer une série en une intégrale convergente, très appréciée dans les corrections de concours.
Ce sujet mélange analyse poussée (convergence, équivalents, analyse asymptotique), séries de fonctions et outils de calcul formel (Fourier, intégration), exactement dans la tradition et l’esprit des épreuves CCINP. Cela met en avant polyvalence et rigueur dans le traitement des notions clés du programme de prépa PC. C’est aussi révélateur du niveau d’exigence, où tout détail compte pour faire la différence.
Pour progresser, il faut s’entraîner régulièrement sur des annales et varier les approches : calcule à la main les premiers termes, rédige rigoureusement les méthodes (convergence, équivalent, série de Fourier), confronte tes résultats aux corrigés détaillés et n’hésite pas à utiliser Prépa Booster pour accéder à des exercices corrigés, ainsi qu’à ton dashboard personnalisé qui cible tes points à travailler. Débloquer les corrigés permet aussi de comparer tes rédactions à celles attendues au concours.