Questions du sujet
1. I.1.1. Montrer que gs est solution de (Es) sur ] − 1, +1[. 2. I.1.2. Calculer gs(0) et g’_{s}(0). En déduire que fs est impaire. 3. I.2. Déterminer en fonction de s l’unique valeur de $\alpha \in \mathbb{R}$ telle que la fonction $x \mapsto (1-x^2)^{\alpha}$ soit solution de (Es) sur $]-1,+1[$. 4. I.3.1. Montrer que la dérivée $u’_{s}$ de $u_{s}$ est solution sur $]-1,+1[$ de l’équation différentielle : \[(E’_s)\ (1-x^2)y'(x) + 2sx y(x) = 0.\] 5. I.3.2. Déterminer l’ensemble des solutions de $(E’_s)$ sur $]-1,+1[$.} 6. I.3.3. Calculer $u’_{s}(0)$ et $u_{s}(0)$. En déduire que $u_s(x) = \int_0^x (1-t^2)^s dt$ pour tout $x \in ]-1,+1[$. 7. I.4.1. Montrer que pour que $y$ soit solution de (Es) sur I, il faut et il suffit que l’on ait pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[c_{n+1} = \frac{2s+2n+3}{2n+3}c_n.\] 8. I.4.2. En déduire pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ une expression de $c_n$ en fonction de $n$ et $c_0$. 9. I.4.3. Pour quelles valeurs de $s \in \mathbb{R}$ l’équation (Es) admet-elle des solutions polynomiales impaires non identiquement nulles ? 10. I.4.4. On suppose que $s \notin \{-n-\frac{3}{2}; n \in \mathbb{N}\}$, que $y(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^{2n+1}$ est solution de (Es) sur $I$, et que $c_0 \neq 0$. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} c_n x^{2n+1}$.} 11. I.5. Déduire des questions précédentes que pour tout $s \in \mathbb{R}$ et tout $x \in ]-1,+1[$ on a : \[ f_s(x) = x + \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ \frac{2^n n!}{(2n+1)!} \prod_{k=1}^n(2s+2k+1) \right] x^{2n+1}. \] 12. I.6. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$ et tout $x \in ]-1,+1[$ on a : \[ \int_0^x \frac{dt}{(1-t^2)^{p+\frac{3}{2}}} = \frac{Q_p(x)}{(1-x^2)^{p+\frac{1}{2}}}, \] où $Q_p$ est une fonction polynomiale impaire de degré $2p+1$ que l’on explicitera.\\ Expliciter en particulier $\int_0^x \frac{dt}{(1-t^2)^{3/2}}$ et $\int_0^x \frac{dt}{(1-t^2)^{5/2}}$. 13. II.1. Déterminer le domaine de définition de $\beta$. 14. II.2. Montrer que $\beta$ est continue sur $]-1,+\infty[$. 15. II.3. Montrer que $\beta$ est strictement monotone sur $]-1,+\infty[$ et préciser son sens de variation.} 16. II.4.1. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’on a $\beta(x+1)=\frac{2x+2}{2x+3}\,\beta(x)$ pour tout $x > -1$. 17. II.4.2. Calculer $\beta(0)$. En déduire la limite de $\beta(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$ par valeurs supérieures. 18. II.4.3. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ donner une expression de $\beta(n)$ à l’aide de factorielles. En utilisant la formule de Stirling, déterminer un équivalent de $\beta(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. En déduire la limite de $\beta(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, puis celle de $\beta(x)$, $x \in \mathbb{R}$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$. 19. II.4.4. Calculer $\beta\left(-\frac{1}{2}\right)$. En déduire la valeur de $\beta\left(-\frac{1}{2}+n\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 20. III.1.1. Préciser pourquoi $\varphi_\gamma$ est égale en tout point de $\mathbb{R}$ à la somme de sa série de Fourier.} 21. III.1.2. Que peut-on dire des coefficients $b_n(\gamma)$, $n \in \mathbb{N}^*$, et $a_{2p+1}(\gamma)$, $p \in \mathbb{N}$ ? 22. III.2.1. Montrer que $I_p – I_{p+1} = 2 \int_0^{\pi/2} \cos^\gamma x \sin x \sin(2p+1)x dx$. 23. III.2.2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[ I_p – I_{p+1} = \frac{2}{2p+1} (\gamma+1) \int_0^{\pi/2} \cos^\gamma x \cos x \cos(2p+1)x dx. \] 24. III.2.3. En déduire que $I_p – I_{p+1} = \frac{2p+1}{\gamma+1}[I_p + I_{p+1}]$. 25. III.2.4. Montrer que $I_0 = \beta(\gamma’)$, où $\gamma’$ est un nombre réel strictement positif que l’on calculera en fonction de $\gamma$.} 26. III.2.5. En déduire que pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ on a $I_p = \frac{\gamma}{\gamma+2p} A_p(\gamma) \beta(\gamma’)$, où $A_p(\gamma) = \prod_{k=0}^{p-1} \frac{\gamma-2k}{\gamma+2k}$. 27. III.3. Déduire de ce qui précède les valeurs de $a_0(\gamma)$ et de $a_{2p}(\gamma)$ pour tout $p \in \mathbb{N}^*$.}FAQ
Pour attaquer une équation différentielle du second ordre, comme celle rencontrée dans ce sujet CCINP PC 2008, il faut d’abord identifier la nature de l’équation (linéaire ou non, à coefficients constants ou variables). Les techniques à mobiliser comprennent notamment la recherche de solutions particulières, l’utilisation de la variation des constantes, et la mise en place d’une méthode adaptée si l’équation admet des solutions de type puissance ou polynomiale. Les questions d’existence et d’unicité sont aussi essentielles. Débloque le corrigé sur Prépa Booster pour voir ces méthodes appliquées pas-à-pas sur l’énoncé !
Les développements en série entière sont omniprésents dans les sujets de concours en maths PC. Dès qu’on rencontre une fonction à exprimer sous forme de somme infinie, il faut maîtriser notamment le rayon de convergence, les techniques de récurrence, ou l’analyse d’une relation de récurrence entre les coefficients. Un conseil : travaille aussi la reconnaissance des séries liées aux fonctions usuelles. Dans ce sujet 2008, on croise toutes ces méthodes. Pour t’approprier les astuces, pense à débloquer les corrigés détaillés et découvrir le dashboard Prepa Booster.
Les intégrales à paramètre réel sont un excellent terrain de jeu pour démontrer ta maîtrise du calcul intégral et des techniques d’analyse (continuité, dérivabilité, équivalents, etc). Elles interviennent aussi bien dans l’étude de fonctions spéciales (comme β dans ce sujet) que dans la résolution des équations différentielles. Ces calculs permettent de relier les notions d’intégration, de séries et parfois de probabilités. Pour découvrir comment les traiter efficacement, rends-toi sur le corrigé complet de Prépa Booster.
Savoir identifier la parité (ou impairité) d’une fonction, c’est gagner du temps au concours ! Cela permet par exemple de déterminer instantanément la forme d’un développement en série entière (seules les puissances impaires ou paires restent), de simplifier certains calculs d’intégrales, voire de vérifier plus facilement des relations de récurrence ou de coefficients. Ce sujet 2008 illustre ce genre de réflexe fondamental en maths sup/spé.
Le changement de variable est un outil universel pour adapter une intégrale à une famille de fonctions, faciliter un calcul ou exploiter des symétries. Au CCINP, c’est un incontournable pour traiter rapidement des intégrales à bornes variables, ou pour relier une fonction à sa dérivée ou à son développement en série. Pratique ce réflexe et retrouve des astuces concrètes en débloquant le corrigé de l’épreuve sur Prépa Booster.
Il faut bien repérer pour quelles valeurs de x ou de certains paramètres la fonction à une singularité ou un comportement asymptotique particulier. On analyse alors la régularité (continuité, dérivabilité), puis on utilise le développement limité ou un équivalent local à la main ou via une série entière déjà connue. L’étude du comportement aux bornes intervient aussi, surtout pour voir la convergence ou les limites. C’est classique dans les sujets CCINP, comme ici en 2008 où tu vois apparaître ces situations à plusieurs reprises.
Les relations de récurrence entre coefficients des développements en série entière permettent de déterminer explicitement chaque terme à partir du précédent, d’assurer le calcul du rayon de convergence, ou encore d’identifier la forme fermée de la solution. C’est un classique du concours : une bonne maîtrise, c’est la clé pour aller plus vite dans la construction d’approximations ou démontrer l’existence de solutions à une équation fonctionnelle.
En maths sup/spé, l’existence et l’unicité d’une solution garantissent que tes méthodes de résolution sont justifiées, et que la solution trouvée colle univoquement avec le problème posé. Ce type de preuve montre ta maîtrise de l’analyse rigoureuse, essentielle pour obtenir une bonne note au CCINP. Ce sont aussi des préalables aux manipulations sur des séries entières ou des intégrales sur un intervalle ouvert.
Dans de nombreux sujets, les polynômes ont des propriétés de symétrie, de degré ou de comportement aux bornes favorables. Reconnaître ces propriétés permet de résoudre plus vite certaines équations, d’isoler les coefficients pertinents (paires, impaires) ou de travailler sur les intégrales de polynômes, comme avec les fonctions Q_p dans ce sujet. C’est un vrai gain de temps et de rigueur en concours.
La formule de Stirling permet de traiter rigoureusement les équivalents de suites ou de factorielles pour des grandes valeurs de n, ce qui survient souvent au concours (séries, intégrales à paramètre, analyse de comportements limites…). C’est l’un des outils essentiels de l’analyse asymptotique qu’il faut savoir réutiliser aussi bien pour établir une limite, qu’un ordre de grandeur précis.