Questions du sujet
1. I.1. Montrer que si $y$ est une solution de (E) sur $I$, alors $y$ est de classe $C^{\infty}$ sur $I$. 2. I.2. Montrer que si $y$ est une solution de (E) sur $I$, alors la fonction $x \mapsto y(-x)$ est aussi solution de (E) sur $I$. 3. I.3. Montrer que $f_0$ est une fonction paire et $f_1$ une fonction impaire.\\ Exprimer la solution générale de (E) sur $I$ à l’aide de $f_0$ et $f_1$.\\ Déterminer parmi les solutions de (E) sur $I$ celles qui sont paires et celles qui sont impaires. 4. I.4. On suppose que $f_0$ ne s’annule pas sur $I$, et l’on pose $u = \dfrac{f_1}{f_0}$. 5. I.4.1. Montrer que $u’$ ne s’annule pas sur $I$, et exprimer $\dfrac{u”}{u’}$ en fonction de $\frac{f_0′}{f_0}$.} 6. I.4.2. En déduire qu’il existe une constante réelle $B$, que l’on calculera, telle que $u’ = \dfrac{B}{f_0^2}$. 7. I.4.3. On note $u_0$ la primitive de $\dfrac{1}{f_0^2}$ qui s’annule en $x = 0$. Exprimer $f_1$ à l’aide de $f_0$ et $u_0$. 8. I.5.1. Dans cette question, on suppose que $I = \left]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right[$ et que la fonction $x \mapsto \cos^2 x$ est solution de (E) sur $I$.\\ Déterminer $\varphi(x)$ et $f_0(x)$ pour tout $x \in I$. 9. I.5.2. Déterminer $u_0(x)$ pour tout $x \in I$. On pourra utiliser l’identité :\\ $ \dfrac{1}{\cos^4 x} = \dfrac{1+\tan^2 x}{\cos^2 x}. $\\ et exprimer $u_0(x)$ comme fonction de $\tan x$. 10. I.5.3. En déduire la valeur de $f_1(x)$ pour tout $x \in I$ et expliciter la solution générale de (E) sur $I$.} 11. II.1. Soit $y$ une solution de (E) sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer que la fonction $x \mapsto y(x + 2\pi)$ est solution de (E) sur $\mathbb{R}$. 12. II.2. En déduire qu’il existe des constantes réelles $w_{00}, w_{01}, w_{10}, w_{11}$, que l’on déterminera en fonction des valeurs prises par $f_0$, $f_0’$, $f_1$, $f_1’$ en $2\pi$, telles que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on ait :\\ $f_0(x + 2\pi) = w_{00}f_0(x) + w_{10}f_1(x)$,\\ $f_1(x + 2\pi) = w_{01}f_0(x) + w_{11}f_1(x)$. 13. II.3. Soit $W$ la matrice carrée d’ordre $2$ définie par $W = \begin{pmatrix} w_{00} & w_{01} \\ w_{10} & w_{11} \end{pmatrix}$.\\ Montrer que pour que (E) admette sur $\mathbb{R}$ des solutions non identiquement nulles $2\pi$-périodiques, il faut et il suffit que $W$ admette $1$ pour valeur propre. On pourra exprimer une telle solution $g$ en fonction de $f_0$ et $f_1$ puis utiliser la périodicité de $g$. 14. II.4. Montrer que si (E) admet sur $\mathbb{R}$ des solutions non identiquement nulles $2\pi$-périodiques, alors l’une au moins des deux fonctions $f_0$ et $f_1$ est $2\pi$-périodique. On pourra, $g$ étant une telle solution, considérer les fonctions $x \mapsto g(x) + g(-x)$ et $x \mapsto g(x) – g(-x)$. 15. II.5. On suppose dans cette question que la fonction $\varphi$ est définie par :\\ $\forall x \in \mathbb{R},\ \varphi(x) = a – \dfrac{k^2}{2} \sin^2 x$,\\ où $a$ et $k$ sont des constantes réelles choisies de telle sorte que la solution $f_0$ sur $\mathbb{R}$ de l’équation :\\ \[ (E)\quad y”(x) + (a – \frac{k^2}{2} \sin^2 x)y(x) = 0 \] soit $2\pi$-périodique (on ne cherchera pas à démontrer l’existence de telles constantes $a$ et $k$).\\ Soit $F$ la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $F(x) = \int_{-\pi}^{+\pi} e^{k\cos t \cos x} f_0(t)dt$.\\ On note $K$ la fonction définie pour tout $(x,t) \in \mathbb{R}^2$ par $K(x,t) = e^{k\cos t \cos x}$.} 16. II.5.1. Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et paire. 17. II.5.2. Vérifier que pour tout couple $(x,t)\in\mathbb{R}^2$ on a :\\ \[ \frac{\partial^2 K}{\partial x^2}(x, t) + \left(a – \frac{k^2}{2} \sin^2 x\right)K(x, t) = \frac{\partial^2 K}{\partial t^2}(x, t) + \left(a – \frac{k^2}{2} \sin^2 t\right)K(x, t) \] En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a :\\ $F”(x) + \left(a – \dfrac{k^2}{2} \sin^2 x\right)F(x) = \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\partial^2 K}{\partial t^2}(x,t) f_0(t) dt + \int_{-\pi}^{+\pi} \left(a – \dfrac{k^2}{2} \sin^2 t\right) K(x,t) f_0(t) dt,$\\ puis, au moyen d’une double intégration par parties, que $F$ est solution de (E) sur $\mathbb{R}$. 18. II.5.3. Déduire de ce qui précède qu’il existe une constante réelle $\lambda$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on ait :\\ $\int_{-\pi}^{+\pi} e^{k\cos t \cos x} f_0(t)dt = \lambda f_0(x).$ 19. III.1. Dans cette partie, on suppose que $I = \left]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right[$ et que $\varphi$ est une fonction constante sur $I$, égale à $\omega^2$, avec $\omega > 0$.\\ Déterminer dans ce cas la solution générale de l’équation (E) sur $I$, ainsi que ses solutions $f_0$ et $f_1$. 20. III.2. Soit $z$ une fonction de classe $C^\infty$ sur $]-1, +1[$. Montrer que la fonction $y$ définie pour tout $x \in I$ par $y(x) = z(\sin x)$ est solution de (E) sur $I$ si et seulement si $z$ est solution sur $]-1, +1[$ de l’équation différentielle :\\ $(E’)\qquad (1 – X^2) z”(X) – Xz'(X) + \omega^2 z(X) = 0.$} 21. III.3.1. Soit $z$ une solution de $(E’)$ sur $]-1, +1[$, admettant sur $]-1, +1[$ un développement en série entière $z(X) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n X^n$.\\ Déterminer une relation de récurrence reliant $a_{n+2}$ à $a_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En déduire pour tout $p \in \mathbb{N}^*$ les expressions de $a_{2p}$ en fonction de $p$, $\omega$ et $a_0$, et de $a_{2p+1}$ en fonction de $p$, $\omega$ et $a_1$.\\ Pour quelles valeurs de $\omega$ l’équation $(E’)$ admet-elle des solutions polynomiales non identiquement nulles ?\\ Montrer que quelles que soient les valeurs de $a_0$, $a_1$ et $\omega$, le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n$ est supérieur ou égal à $1$. 22. III.3.2. On note $z_0$ la solution de $(E’)$ développable en série entière sur $]-1, +1[$ correspondant au choix $a_0 = 1$, $a_1 = 0$, et $z_1$ la solution de $(E’)$ développable en série entière sur $]-1, +1[$ correspondant au choix $a_0 = 0$, $a_1 = 1$.\\ Donner une expression, sur $I$, des fonctions $x \mapsto \cos \omega x$ et $x \mapsto \sin \omega x$ à l’aide des fonctions $z_0$, $z_1$ et $\sin$. 23. III.3.3. Soit $m$ un nombre entier strictement positif.\\ Exprimer $\cos 2mx$ et $\sin (2m+1)x$, pour tout $x \in \left]-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right[$, sous la forme :\\ $\cos 2mx = P_m(\sin x),\quad \sin(2m+1)x = Q_m(\sin x),$\\ où $P_m$ est une fonction polynomiale de degré $2m$ et $Q_m$ une fonction polynomiale de degré $2m+1$.\\ Ces expressions sont-elles valides sur $\mathbb{R}$ tout entier ?}FAQ
Pour bien aborder ce sujet, tu dois être à l’aise avec les équations différentielles linéaires du second ordre, la notion de solutions fondamentales (fonctions paires et impaires), et le maniement du changement de variables. Savoir manipuler les séries entières, la parité des fonctions, et comprendre les critères de périodicité te sera aussi très utile. Ce sont des classiques en PC, qui reviennent souvent lors des concours comme le CCINP.
En comprenant si une solution d’équation différentielle est paire ou impaire, tu simplifies énormément le travail de recherche de solutions générales et tu peux aussi anticiper leur comportement sur l’ensemble du domaine étudié. C’est également très utile pour profiter de certaines symétries lors des intégrations ou des études de périodicité, thématiques classiques du concours CCINP. Travailler sur ces propriétés renforce ton intuition mathématique, essentielle pour la résolution rapide lors de l’épreuve.
Les solutions périodiques sont fondamentales, notamment pour les équations du type de l’équation de Mathieu ou de Hill qu’on retrouve souvent sur ce concours. Il y a un lien direct avec la physique (oscillations, stabilité des systèmes). Être capable de repérer quand une solution devient périodique, et savoir relier cette propriété à des critères algébriques (valeurs propres d’une matrice de monodromie, conditions sur les coefficients de l’équation), c’est la clé pour scorer sur cette partie du sujet. Si tu veux t’exercer à ce type de raisonnement, débloque les corrigés sur Prépa Booster pour profiter de nos exercices corrigés et du dashboard personnalisé.
Je te conseille d’abord de maîtriser les équations à coefficients constants ; ensuite, entraîne-toi à exploiter les changements de variable et la recherche de solutions particulières. Mémorise les méthodes de réduction de l’ordre de l’équation (par quotient des solutions fondamentales, par exemple). N’oublie pas que les intégrations par parties et la recherche de primitives adaptées sont souvent au cœur des calculs, comme dans ce sujet CCINP PC 2007.
La technique des séries entières est essentielle pour résoudre les équations différentielles autour de points singuliers ou quand tu cherches toutes les solutions localement autour d’un point donné (zéro, par exemple). Savoir déterminer un rayon de convergence, trouver une relation de récurrence sur les coefficients, et discuter la nature des solutions (polynomiales ou non) font partie des incontournables à connaître, comme tu as pu le voir dans cette épreuve.
Lis bien l’intitulé de chaque question : une bonne partie des points se gagne en comprenant précisément ce que l’on attend de toi. Structure clairement tes réponses, rédige avec rigueur, valorise les notations et identifie dès que possible la nature de l’équation ou de la série étudiée. Garde toujours du temps pour relire ! Pour un accompagnement complet, pense à débloquer le corrigé détaillé sur Prépa Booster, où tu trouveras aussi des conseils de méthode adaptés à chaque sujet.