Questions du sujet
1. Étant donné $\lambda \in \mathbb{R}$, comparer les équations $(E_\lambda)$ et $(E_{-\lambda-1})$. 2. Montrer que, pour que $y$ soit solution de l’équation $(E_\lambda)$, il faut et il suffit que l’on ait pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ a_{n+1} = \frac{(\lambda + n + 1)(\lambda – n)}{(n + 1)^2} a_n. $$ 3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda \in \left[-\frac{1}{2}, +\infty\right[$ pour que l’équation $(E_\lambda)$ admette des solutions polynomiales de degré donné $d \in \mathbb{N}$ ? 4. Lorsque c’est le cas, montrer qu’il existe une unique solution polynomiale de $(E_\lambda)$ de degré $d$, que nous noterons $\varphi_d,$ telle que $\varphi_d(0) = 1$. 5. Expliciter la fonction polynôme $\varphi_1$.} 6. Déterminer les coefficients $a, b, c, a’, b’, c’$ tels que : $$ \frac{8x^2 + 8x + 1}{x(x + 1)(2x + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{2x + 1}, $$ $$ \frac{1}{x(x + 1)(2x + 1)^2} = \frac{a’}{x} + \frac{b’}{x + 1} + \frac{c’}{(2x + 1)^2}. $$ En déduire la solution générale de l’équation $(E_1)$ sur $]0, +\infty[$. 7. On se place dans le cas où $\lambda \geq -\frac{1}{2}$, $\lambda \notin \mathbb{N}$. \begin{enumerate} \item[1.] On suppose que $y$ est une solution non identiquement nulle de $(E_\lambda)$. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. \item[2.] Montrer qu’il existe une unique solution de $(E_\lambda)$, que nous noterons $\varphi_\lambda$, développable en série entière de la variable $x$ sur $]-1, +1[$ et telle que $\varphi_\lambda(0) = 1$. \item[3.] Expliciter les développements en série entière de la variable $x$ des fonctions $\varphi_{-\frac{1}{2}}$ et $\varphi_{\frac{1}{2}}$. \end{enumerate} 8. Montrer que $\psi$ est définie et continue sur $[-1, +\infty[$, où $$ \psi(x) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 + x \sin^2 t}\; dt. $$ 9. Montrer que $\psi$ est indéfiniment dérivable sur $]-1, +\infty[$.} 10. \begin{enumerate} \item[1.] Montrer que pour tout $u \in ]-1, +1[$ on a $$ \sqrt{1+u} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} u^n. $$ \item[2.] Montrer que $\psi$ est développable en série entière de la variable $x$ sur $]-1, +1[$ et que l’on a : $$ \forall x \in ]-1, +1[, \quad \psi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \left( \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} t \; dt \right) x^n. $$ \item[3.] Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} t \; dt.$ Montrer que pour tout $n \geq 1$ on a $I_n = \frac{2n-1}{2n}I_{n-1}$. Calculer $I_0$. En déduire $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, ainsi que le développement de $\psi$ en série entière de la variable $x$ sur $]-1, +1[$. \item[4.] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $$ \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2} \leq 1. $$ \item[5.] Montrer que le développement de $\psi$ en série entière est intégrable terme à terme sur $]-1, +1[$, et en déduire que $$ \int_{-1}^{+1} \psi(x)\; dx = -2 \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{1}{(4p-1)(2p+1)} \left( \frac{(4p)!}{2^{4p}\; ((2p)!)^2} \right)^2. $$ \end{enumerate} 11. Déduire du développement de $\psi$ en série entière une expression de $\psi(x)$ en fonction de $\varphi_{\frac{1}{2}}(x)$ et $\varphi_{-\frac{1}{2}}(x)$ pour tout $x \in ]-1, +1[$. 12. Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, on considère l’ellipse $\mathcal{C}$ paramétrée par $t \in [0, 2\pi] \mapsto b\cos t\, \vec{i} + a\sin t\, \vec{j}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels donnés tels que $a \geq b > 0$. On note $\ell$ sa longueur et $e$ son excentricité. Montrer que $$ \ell = \pi a \left[ \varphi_{\frac{1}{2}}(-e^2) + \varphi_{-\frac{1}{2}}(-e^2) \right]. $$} 13. Soit $f$ la fonction de la variable réelle $t$ définie par : $$ f(t) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{+1} \sqrt{1 + x \sin^2 t} \; dx. $$ \begin{enumerate} \item[1.] Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, et $2\pi$-périodique. \item[2.] Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. \item[3.] Montrer que la série de Fourier de $f$ est de la forme : $$ \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_{2n} \cos 2nt, $$ où $\alpha_0, \alpha_2, \ldots, \alpha_{2n}, \ldots$ sont des nombres réels que l’on ne cherchera pas à calculer. Préciser pourquoi la fonction $f$ est égale à la somme de sa série de Fourier. \item[4.] À l’aide du résultat de la question II.3.5, donner une expression de $\alpha_0$ sous forme de somme d’une série numérique. \end{enumerate} }FAQ
Dans ce sujet, tu rencontres principalement des équations différentielles linéaires du second ordre, ainsi que des équations polynomiales et leurs récurrences associées. L’accent est mis sur la méthode de coefficients indéterminés et l’étude des solutions en série entière, techniques fréquemment exploitées en CPGE pour maîtriser les outils d’analyse nécessaires au concours.
Les séries entières apparaissent très souvent en analyse et en physique mathématique. Pour aborder le rayon de convergence, commence toujours par le critère de d’Alembert ou de Cauchy-Hadamard. Ensuite, regarde la nature des coefficients (factoriels, puissances…). Ça te permet d’obtenir une vision claire de la zone de validité de la série, point essentiel pour argumenter l’existence, l’unicité ou encore le développement en série entière d’une solution, comme c’est demandé dans ce sujet.
Les développements en série entière servent à obtenir des expressions analytiques utilisables pour des calculs ou des approximations. Ils révèlent aussi la structure profonde d’une fonction et permettent de lier diverses notions : convergence, unicité, propriétés de dérivation ou d’intégration terme à terme. Savoir manipuler ces outils donne un net avantage aux concours et te permet de relier directement théorie et applications, par exemple ici dans le calcul de longueurs d’ellipses ou l’étude de la régularité des fonctions.
La décomposition en éléments simples te permet de simplifier l’expression de certaines fonctions rationnelles, utiles dans la résolution d’équations différentielles ou de récurrence via la méthode des séries entières. C’est un outil central pour calculer explicitement les solutions – notamment pour les recouvrements d’équations types trouvés en physique ou en probabilités.
Cette intégrale, appelée parfois ‘intégrale elliptique’, intervient dans le calcul de longueurs d’ellipses (problème classique en mécanique et en optique), mais aussi en électromagnétisme ou en probabilités. Savoir la développer en série entière, c’est pouvoir approximer des quantités physiques complexes à partir des mathématiques et relier directement théorie et application. Pour voir le détail des calculs, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
La série de Fourier permet de représenter une fonction périodique sous forme de somme de fonctions trigonométriques simples – ce qui est crucial aussi bien en analyse qu’en physique. La périodicité te permet de retrouver les propriétés des fonctions sur des intervalles restreints, d’étudier leur régularité, et d’exploiter l’orthogonalité pour des calculs d’intégrales ou de projections. Maîtriser ces outils, c’est gagner beaucoup de temps et de points le jour du concours !
Pour réussir ce genre de sujet, commence par relire les notions fondamentales : équations différentielles, séries entières, propriétés des fonctions elliptiques et décompositions en éléments simples. Entraîne-toi sur des exercices variés, identifie les points techniques (comme l’intégrabilité terme à terme) et n’oublie pas de rédiger proprement. Profite aussi de Prépa Booster pour accéder à des corrigés détaillés, des exercices supplémentaires et construire ton propre tableau de bord de progression !