Questions du sujet
1. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction dérivable telle que $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ pour tous réels $x, y$. Déterminer $f$. 2. Calculer la somme $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ pour un entier $n \geq 1$. 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^4 – 4x^2 + 4 = 0$. 4. Montrer que, pour tout entier $n \geq 1$, $7^n + 5^n$ est divisible par 6. 5. Soit $A$ la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.} 6. Calculer l’intégrale $\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x)\,dx$. 7. Résoudre le système $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x – y + z = 2 \\ x + y – z = 2 \end{cases}$ dans $\mathbb{R}^3$. 8. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal{N}(0,1)$. Calculer $\mathbb{P}(|X| \leq 1)$. 9. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$ pour $n \geq 0$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite. 10. Soit $E$ l’ensemble des fonctions $g : [0,1] \to \mathbb{R}$ telles que $g$ est continue et $\int_0^1 g(x) dx = 0$. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions continues sur $[0,1]$.}FAQ
Pour maximiser tes chances de réussir une épreuve de mathématiques au concours CCINP en filière PC, il est indispensable de bien travailler les calculs d’intégrales, les équations polynomiales, les récurrences, l’étude des suites, les matrices et diagonalisation, l’analyse de fonctions continues ou dérivables, ainsi que les bases de la probabilité et la loi normale. Ce sont des thèmes incontournables d’années en années. En t’entraînant sur ce type de sujet, tu gagnes en automatismes indispensables le jour J.
Les matrices sont incontournables en mathématiques de prépa scientifique car elles permettent de modéliser de nombreux systèmes linéaires et d’aborder des applications concrètes d’algèbre. Savoir calculer la puissance d’une matrice, étudier sa diagonalisabilité ou ses valeurs propres, c’est accroître ta capacité à résoudre rapidement des problèmes classiques et à gagner du temps sur l’épreuve. Pour t’entraîner, refais les sujets de concours et entraîne-toi à retrouver des méthodes générales plutôt qu’à apprendre des cas particuliers.
Les équations polynomiales sont au cœur des exercices d’analyse et d’algèbre, car elles interviennent souvent dans l’étude de suites, de fonctions ou lors de factorisations subtiles. Savoir trouver rapidement toutes les solutions réelles (voire complexes) d’un polynôme te permet d’éviter de perdre du temps et de renforcer ta rigueur. En t’exerçant régulièrement sur des équations classiques et en comprenant bien les méthodes de factorisation et de changement de variable, tu seras prêt à affronter tout type de polynôme qui tombe au concours. Si tu veux approfondir la méthode, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour t’entraîner efficacement !
Dès qu’une suite apparaît dans un sujet de concours, commence systématiquement par chercher à prouver sa convergence, puis à en déterminer la limite. Utilise la récurrence pour démontrer des inégalités ou une forme explicite si c’est possible. Pense aussi à exploiter les propriétés de monotonicité, de majoration/minoration, et à comparer la suite à une suite « connue ». Pour progresser, travaille sur plusieurs exemples variés issus de vrais sujets corrigés.
La loi normale intervient très fréquemment dans les exercices de probabilités des concours, souvent via le calcul de probabilités d’événements du type $\mathbb{P}(|X|\leq a)$. Tu dois maîtriser son lien avec l’intégrale de la densité, connaître les propriétés de symétrie, et savoir utiliser (ou lire) une table de valeurs usuelles. Prendre l’habitude de rédiger proprement l’argument géométrique lié à l’aire sous la courbe sera un vrai plus lors de l’épreuve.
Pour démontrer qu’un ensemble de fonctions est un sous-espace vectoriel, tu dois vérifier trois propriétés fondamentales : la présence de la fonction nulle, la stabilité par addition, et la stabilité par multiplication par un scalaire. Cela revient à vérifier que si $g$ et $h$ sont dans l’ensemble, alors $ag + bh$ (pour $a, b \in \mathbb{R}$) le sont aussi, et que la fonction identiquement nulle appartient bien à l’ensemble. Une bonne habitude est de toujours démarrer par ces trois points avant toute autre considération.
S’exercer sur les anciens sujets corrigés CCINP permet d’identifier les questions classiques, de repérer les astuces de rédaction attendues et de gagner en rapidité. C’est aussi la meilleure façon de repérer tes points forts et tes axes de progrès avant le jour du concours. Sur Prépa Booster, tu peux débloquer l’accès à tous les corrigés écrits, aux exercices corrigés, et au dashboard personnalisé pour cibler au mieux ta préparation. Lance-toi, tu verras vite la différence dans tes résultats !