Questions du sujet
1. Démontrer que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant pour $f$ et $g$ éléments de $E$ : $(f | g) = \int_{-1}^1 f(t)g(t) \;dt$. 2. On note $u: t \mapsto t$, $v: t \mapsto 1$, et $F = \mathrm{Vect}\{u,v\}$. Déterminer une base orthonormée de $F$. 3. Déterminer le projeté orthogonal de la fonction $w: t \mapsto e^{t}$ sur le sous-espace $F$ et en déduire la valeur du réel \[ \inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\int_{-1}^{1} \left(e^t – (a+bt)\right)^2 dt \] On pourra simplifier les calculs en utilisant le théorème de Pythagore. 4. Question préliminaire\\ Soient un réel $0 < \lambda <1$ et $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires qui suivent chacune une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, $p = \frac{\lambda}{n}$.\\ Justifier que, pour tout entier $k \geq 1$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(X_n = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$. On convient alors d’approximer pour $n \geq 50$, $0,01 \leq p < 0,1$ la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = np$. 5. Un examinateur interroge à l’oral du concours CCP $n$ candidats tous nés en 1998. On suppose que les dates de naissances des $n$ candidats sont uniformément réparties sur les 365 jours de l’année 1998. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui sont convoqués le jour de leur anniversaire. Déterminer la loi de la variable $X_n$ et donner son espérance.} 6. Dans le cas où l’examinateur interroge 219 candidats, donner une estimation de la probabilité que deux étudiants soient convoqués le jour de leur anniversaire. Prendre $0,55$ comme valeur approchée de $e^{-0,6}$. 7. On suppose que $u$ est diagonalisable et on note $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_p$ ($p \geq 1$) les valeurs propres distinctes de $u$. Démontrer que le polynôme $P(X) = (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_p)$ est annulateur de $u$. 8. Réciproquement, on suppose que $\mu_1, \mu_2, ..., \mu_r$ sont $r$ nombres réels distincts ($r \geq 1$) tels que $Q(X) = (X-\mu_1)\cdots(X-\mu_r)$ est un polynôme annulateur de $u$. En utilisant le lemme des noyaux, démontrer que $u$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ et que le spectre de $u$ est inclus dans l’ensemble $\{\mu_1, ..., \mu_r\}$. 9. On suppose que $V = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Démontrer que $V$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ et donner une matrice inversible que l’on notera $P = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$ et une matrice diagonale $D$ vérifiant $V = P D P^{-1}$ (on précisera $P^{-1}$). 10. Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. On pose alors la matrice par blocs $Q = \begin{pmatrix} \alpha I_n & \beta I_n \\ \gamma I_n & \delta I_n \end{pmatrix}$. Justifier que la matrice $Q$ est inversible, donner la matrice $Q^{-1}$ et démontrer que la matrice $\begin{pmatrix} 4A & 2A \\ 3A & A \end{pmatrix}$ est semblable à la matrice $\begin{pmatrix} 2A & 0 \\ 0 & 2A \end{pmatrix}$.} 11. On suppose que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$, ce qui signifie qu’il existe une matrice $R$ inversible et une matrice $\Delta$ diagonale telles que $A = R \Delta R^{-1}$. Calculer le produit de matrices par blocs : \[ \begin{pmatrix} R & 0 \\ 0 & R \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R^{-1} & 0 \\ 0 & R^{-1} \end{pmatrix} \] Que peut-on en déduire pour la matrice $\begin{pmatrix} 4A & 2A \\ 3A & A \end{pmatrix}$ ? 12. On se propose de démontrer la réciproque du résultat précédent. On suppose que la matrice $\begin{pmatrix} 4A & 2A \\ 3A & A \end{pmatrix}$ est diagonalisable. Soit $T$ un polynôme scindé à racines simples annulateur de cette matrice, calculer $T(A)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice $A$ pour que la matrice $\begin{pmatrix} 4A & 2A \\ 3A & A \end{pmatrix}$ soit diagonalisable. 13. Démontrer que la matrice $E = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ et donner une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1} E P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 14. Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$, démontrer que la matrice $\begin{pmatrix} 3A & 2A \\ 2A & A \end{pmatrix}$ est semblable à la matrice $F = \begin{pmatrix} 2A & 0 \\ 0 & 2A \end{pmatrix}$. 15. On suppose que la matrice $F$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Soit $U \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme annulateur de $F$, scindé sur $\mathbb{R}$ et à racines simples. On note $U'$ le polynôme dérivé de $U$. Démontrer que \[ \begin{pmatrix} U(A) & AU'(A)\\ 0 & U(A) \end{pmatrix} \] est la matrice nulle.} 16. Vérifier que le polynôme minimal de la matrice $A$ est $X$. En déduire la valeur de la matrice $A$. 17. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice $A$ pour que la matrice $\begin{pmatrix} 3A & 2A \\ 2A & A \end{pmatrix}$ soit diagonalisable. 18. On suppose que la matrice $F$ est trigonalisable sur $\mathbb{R}$. Exprimer le polynôme caractéristique de $F$ en fonction de celui de $A$. En déduire que $F$ est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $A$ est trigonalisable sur $\mathbb{R}$. 19. Donner un exemple de matrice $A \in M_2(\mathbb{R})$ telle que la matrice $\begin{pmatrix} 4A & 2A \\ 2A & A \end{pmatrix}$ ne soit pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$. 20. Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^4$ dont la matrice dans la base canonique $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ de $\mathbb{R}^4$ est \[ M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 4 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 3 \\ 4 & 4 & 2 & 2 \end{pmatrix} \] Déterminer deux sous-espaces vectoriels de dimension 2 stables par $u$.\\ On pourra s’inspirer de la question Q10.} 21. En adaptant la démarche présentée dans le premier exemple de ce problème (page 4), démontrer que la matrice \[ M = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] est diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Déterminer une matrice $D$ diagonale et une matrice $P$ inversible telles que $M = P D P^{-1}$. 22. Utiliser la question Q21 pour donner les solutions du système différentiel de fonctions inconnues $x_1, x_2, x_3, x_4$ de la variable réelle $t$ : \[ \left\{ \begin{array}{l} x_1' = x_1 + 3x_3 \\ x_2' = 2x_2 + 4x_4 \\ x_3' = 3x_1 + x_3 \\ x_4' = 2x_2 + 4x_4 \end{array} \right. \] (on ne demande pas de détails). 23. Sachant que la solution $\varphi$ sur $\mathbb{R}$ du système différentiel $X' = M X$ vérifiant $\varphi(0) = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$ est la fonction $t \mapsto \exp(t M)\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$, où $\exp(tM)$ désigne l’exponentielle de la matrice $tM$, déterminer la matrice $e^M$.}FAQ
Le produit scalaire sur un espace de fonctions, comme défini dans ce sujet, permet de généraliser la notion de perpendicularité et de distance à des fonctions. En maths de prépa, il intervient partout : projections, orthonormalisation, approximation des fonctions (comme dans les moindres carrés), développement en séries, etc. C’est un outil fondamental pour l’analyse, mais aussi pour les probabilités ou la physique mathématique.
Lorsque l’on manipule une loi binomiale de paramètres n et p avec n grand et p petit (typiquement en probas de concours, p entre 0,01 et 0,1 et n assez élevé), son calcul direct devient fastidieux. L’astuce de prépa, c’est de passer à une loi de Poisson de paramètre λ = np, beaucoup plus simple à manipuler. Cette approximation est très classique, notamment dans les sujets qui abordent l’étude de répétition d’événements rares, comme ici avec l’anniversaire des candidats.
Diagonalisabilité = simplification maximale ! Si une matrice est diagonalisable, tu peux la réduire à une matrice diagonale (ou presque…), ce qui rend tous les calculs très simples (puissances, exponentielles, etc.). Pour savoir si une matrice (ou un endomorphisme) l’est, on regarde son polynôme minimal, le spectre, les espaces propres… En concours, c’est LA question récurrente, car la diagonalisabilité ouvre la porte à de nombreux calculs rapides et à l’étude de systèmes différentiels.
La trigonalisabilité signifie que ta matrice se ramène à une forme triangulaire supérieure par un changement de base. C’est forcément le cas pour toutes matrices à coefficients réels si le polynôme caractéristique est scindé, mais ce n’est pas toujours le cas pour la diagonalisabilité. Pour l’étude des suites récurrentes, des calculs d’exponentielles, des systèmes différentiels, cette notion intervient partout, surtout dans les sujets de matrices par blocs ou de systèmes linéaires.
Dans les sujets de concours, le découpage des matrices en blocs, souvent associé à l’étude d’espaces stables, simplifie énormément la résolution. Généralement, il suffit de trouver une base adaptée afin que l’endomorphisme ou l’application linéaire prenne une forme plus simple (diagonale ou triangulaire par blocs), ce qui facilite les calculs, notamment pour la résolution de systèmes linéaires ou différentiels. Tu veux aller plus loin ? Le corrigé détaillé sur Prépa Booster te montrera comment maîtriser ces techniques !
Lorsqu’on étudie un système différentiel linéaire, la solution générale s’exprime via l’exponentielle de matrice. Si ta matrice est diagonalisable, c’est rapide et efficace ! C’est une des techniques fondamentales pour résoudre de manière élégante ces systèmes, et les questions sur le calcul de l’exponentielle matricielle ou la diagonalisation tombent systématiquement en oral comme à l’écrit.
Pour réussir l’épreuve de maths du CCINP en MP, il faut bosser efficacement sur les notions de base : matrices, espaces vectoriels, probabilités, mais aussi savoir manipuler les outils de l’algèbre linéaire appliquée (diagonalisabilité, blocs, projections). Pratique sur des sujets corrigés est essentielle : débloque les corrigés sur Prépa Booster pour t’entraîner sur des exercices type concours, et analyse chaque étape de la solution. N’oublie pas de passer du temps à rédiger pour maîtriser la rédaction exigée en concours.